1.3.1函数的单调性例题

1、1.3.1 函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间例 1. 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1） y x2 1 ;（2） y x2 2x 3;（3） y x 1 （x 2） 2 ; （4） yx2 6x 9 x2 6x 9相应作业 1：课本 P32第 3 题 .题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值作差变形定号 下结论取值，即 ；作差变形 ,作差, 变形手段有 、等；定号，即 ;下结论，即 。例 2. 用定义法证明下列函数的单调性（1）证明： f （x）x3 1 在, 上是减函数 .定义法证明单调性的等价形式(x1x2) f (x1)f (x

2、2 )0f(x1)f(x2) 0f (x) 在 a,b 上是增函数；x1x2(x1x2) f (x1)f (x2 )0 f (x1 )f (x2 ) 0f (x) 在 a,b 上是减函数 .x1x2(2) 证明： f (x)2x21 x 在其定义域内是减函数；设 x1、x2 a,b ， x1x2, 那么(3)证明： f (x)12 在 ,0 上是增函数； x法一： 作差法二：作商4)已知函数 y f (x)在 0, 上为增函数，且 f (x) 0(x 0) ，试判断 F(x) 1 在 f (x)0, 上的单调性，并给出证明过程； 方法技巧归纳 判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数，如一

3、次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册P27( 2)P31 (上 5、 1)2、图象法；3、定义法；4、运算性质法：当 a 0时，函数 af (x)与 f(x)有相同的单调性；当 a 0时，函数 af (x) 与 f (x) 有相反的单调性； 当函数 f (x) 恒不等于零时， f (x) 与 1 单调性相反；f (x) 若 f(x) 0，则 f(x)与 f(x) 具有相同的单调性； 若 f (x) 、g(x)的单调性相同，则 f (x) g( x)的单调性与之不变；即：增 +增 =增减+减=减若 f(x)、g(x)的单调性相反，则 f(x) g( x)的单调性与 f(x) 同.即：增 -

4、减 =增减 - 增=增注意：( 1)可熟记一些基本的函数的单调性， 一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式， 再利用上述结论判断；2) f(x)g(x)与 f(x) 的单调性不能确定 g(x)ax相应作业 2：(1)讨论函数 f(x) 2 在 1,1 上的单调性( a 0)；x2 1k( 2)务必记住“对勾”函数 f(x) x (k 0)的单调区间(见练习册 P29探究之窗 .x探究 1)知识拓展复合函数单调性(难点)一、复习回顾：复合函数的定义：如果函数 y f(t)的定义域为 A，函数 t g( x)的定义域为 D，值域为 C， 则当 C A时，称函数 y f ( g( x)为 f 与

5、g在D上的复合函数，其中 t叫做中间变量， t g (x)叫内层函数， y f ( x)叫外层函数。二、引理 1 已知函数 y=f g(x) .若 t=g(x) 在区间 (a,b) 上是增函数，其值域为 (c，d)， 又函数 y=f(t) 在区间 (c,d) 上是增函数，那么， 原复合函数 y=f g(x) 在区间 (a,b) 上是增 函数.引理 2 已知函数 y=f g(x) .若 t=g(x) 在区间 (a,b) 上是减函数，其值域为 (c ，d)，又 函数 y=f(t) 在区间 (c,d) 上是减函数， 那么，复合函数 y=f g(x) 在区间 (a,b) 上是增函数 . 引理 1 的证

6、明：重要结论 1：复合法则若 t g(x)y f (t)则 y f g(x)增增增减减增增减减减增减规律可简记为“ ”(四个字)重要结论 2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函 数中减函数的个数决定 :若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则复合函数为减函数 .规律可简记为“ ”（四个字）题型三、求复合函数的单调区间例 3. 求下列函数的单调区间 .（1） y7 6x x2（ 2） y1x2 2x 3小结 ：1、注意：（1）求单调区间必先求定义域； （2）单调区间必须是定义域的子集；（3）写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“， ”

7、隔开 .2、判断复合函数单调性步骤：求函数的定义域；将复合函数分解成基本初等函数： y f （t）与 t g（x）；确定两个函数的单调性； 由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性 相应作业 3：求下列函数的单调区间3) y1x2 4x1) y 8 2x x2单调性的应用题型四、比较函数值的大小例 4. 已知函数 y f (x) 在 0,上是减函数，试比较f(34)与 f(a2 a 1)的大小 .题型五、已知单调性，求参数范围例 5. 已知函数 f (x) x2 2(x a)x 2(1) 若 f(x) 的减区间是,4 ，求实数 a的值；(2) 若 f(x) 在,4 上单调递减，求实数 a的取值

8、范围例 6.若函数 f(x) (2b 1)x b 1,x 0在 R上为增函数，求实数 b的取值范围 x2 (2 b)x,x 0题型六、利用单调性，求解抽象不等式 例 7. 已知函数 y f (x)是 1,1 上的减函数， 且 f (1 a) f(a2 1) ，求实数 a的取值范 围.x例 8.已知 f (x)是定义在 0, 上的增函数，且 f( ) f(x) f(y)，且 f (2) 1，解不 y等式 f (x) f ( 1 ) 2.x3相应作业 4：已知 f (x)是定义在 0, 上的增函数，且 f(xy) f(x) f (y)，且 f(2) 1，解不等式 f (x) f (x 2) 3.题

9、型七、抽象函数单调性的判断定义法 解决此类问题有两种方法：“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试 .例 9.已知函数 f(x)对任意实数 x、 y都有 f(x y) f (x) f(y)，且当 x 0时f(x) 0 ，求证： f (x) 在 R 上单调递增上单调性 .例 10. 已知定义在 0, 上的函数 f (x) 对任意 x 、 y 0, ，恒有 f(xy) f (x) f (y) ，且当 0 x 1时 f(x) 0，判断 f(x) 在 0,相应作业 5：定义在 0, 上的函数 f (x) 对任意 x 、

10、 y 0, ，满足f(mn) f (m) f(n)，且当 x 1时 f (x) 0.1)求 f(1) 的值；2)求证： f (m) f (m) f (n)；n3)求证： f (x) 在 0, 上是增函数；4)若 f(2) 1，解不等式 f(x 2) f (2x) 2；函数的最大（小）值1、函数的最大（小）值定义2、利用单调性求最值常用结论1）若函数 yf （x） 在闭区间 a,b 上单调递增，则 yminf (a) ， ymax f (b) ；2）若函数 yf （x） 在闭区间 a,b 上单调递减，则 yminf (b) ， ymaxf(a) ；3）若函数 yf （x） 在开区间 a,b 上单

11、调递增，则函数无最值，但值域为f (a), f (b) ；4）若函数 yf （x） 在闭区间 a,b 上单调递增，在闭区间 b,c 上单调递减，那么函数y f （x）， x a,c 在 x b处有最大值，即 ymax f （b） ；5）若函数 y f （x） 在闭区间 a,b 上单调递减，在闭区间 b,c 上单调递增，那么函数y f (x)， x a,c 在 x b处有最小值，即 yminf(b) .题型八、单调性法求函数最值（值域）1例 11、（ 1）函数 f （x）1 在 1,5 上的最大值为 , 最小值为 2x 12）函数 y 2x 1在 2,4 上的最大值为 , 最小值为x13）函数

12、y 2x 1 2x 的值域为 4）函数 y x x 1 的值域为 5）函数 y1x 2 的值域为y1x6）函数 yx 的值域为 二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间 m,n 上求最值，常见类型：（1）定轴定区间：对称轴与区间m,n 均是确定的；（2）动轴定区间：（3）定轴动区间：（4）动轴动区间：1、定轴定区间可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。例 12. 当 2 x 2 时，求函数 y2x2 2x 3 的最值 .相应作业 6：求函数 yx2 4x 5 在 1,5 上的最值 .2、动轴定区间例 13.已知函数 f（x） x2 2ax 2，求 f（x）在 5,5 上的最值 .动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确 定最值在区间端点处还是在顶点处取得 .2相应作业 7：求函数 f （x） x2 2ax 1 在 0,2 上的最值 .3、定轴动区间例 14. 已知函