第10章压杆稳定

1、南南 京京 工工 业业 大大 学学1南南 京京 工工 业业 大大 学学2南南 京京 工工 业业 大大 学学3(a)(b)(a): 木杆的横截面为矩形木杆的横截面为矩形（1 2cm), 高为高为3cm，当荷载重量为当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏时杆还不致破坏。(b): 木杆的横截面与木杆的横截面与(a)相同，高为相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。时杆被压弯，导致破坏。 南南 京京 工工 业业 大大 学学4P塑性材料 P脆性材料AP0南南 京京 工工 业业 大大 学学5bs或南南 京京 工工 业业 大大 学学6稳定性稳定性：指构件或

2、体系保持其原有平衡状态的能力。：指构件或体系保持其原有平衡状态的能力。失稳失稳：指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性，：指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性，由稳定平衡状态转变为不稳定状态。由稳定平衡状态转变为不稳定状态。南南 京京 工工 业业 大大 学学7 稳定性稳定性是指构件在压缩载荷的作用下，保持是指构件在压缩载荷的作用下，保持平衡形式不发生突然转变的能力。平衡形式不发生突然转变的能力。 翻斗车液压机构中的顶杆翻斗车液压机构中的顶杆南南 京京 工工 业业 大大 学学8运动项目中的稳定性运动项目中的稳定性 稳定性稳定性是指构件在压缩载荷的作用下，保持是指构件在压缩载荷的作用下，保持平衡形式

3、不发生突然转变的能力。平衡形式不发生突然转变的能力。 南南 京京 工工 业业 大大 学学9 稳定性稳定性是指构件在压缩载荷的作用下，保持是指构件在压缩载荷的作用下，保持平衡形式不发生突然转变的能力。平衡形式不发生突然转变的能力。 南南 京京 工工 业业 大大 学学10南南 京京 工工 业业 大大 学学11南南 京京 工工 业业 大大 学学12平衡的三种状态平衡的三种状态随遇平衡状态随遇平衡状态稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：稳定平衡稳定平衡 凹面上，刚球回到原位置；凹面上，刚

4、球回到原位置；随遇平衡随遇平衡 平面上，刚球在新位置上平衡；平面上，刚球在新位置上平衡；不稳定平衡不稳定平衡 凸面上，刚球不回到原位置，凸面上，刚球不回到原位置， 而是偏离到远处去。而是偏离到远处去。南南 京京 工工 业业 大大 学学13F1FFFFcrFFcrFFcr稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态干扰力干扰力南南 京京 工工 业业 大大 学学14南南 京京 工工 业业 大大 学学15南南 京京 工工 业业 大大 学学16 假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：处于微弯状态。考察微弯状态下局

5、部压杆的平衡：南南 京京 工工 业业 大大 学学17M (x) = FP w (x)22dd-)(xwEIxM0dd222wkxwEIFkP2 假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：南南 京京 工工 业业 大大 学学18微分方程的解微分方程的解w =Asinkx + Bcoskx边界条件边界条件w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 00dd222wkxwEIFkP2南南 京京 工工 业业 大大 学学19微分方程的解微分方程的解w =Asinkx + Bcoskx

6、边界条件边界条件w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 000sincos0ABklAklB1010sincosklklsin0kl 根据线性代数知识，上述方程中，常数根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：南南 京京 工工 业业 大大 学学20由此得到由此得到临界载荷临界载荷最小临界载荷最小临界载荷22PcrlEIF222PcrlEInFsin0kl ,1 2, ,klnnEIFkP2南南 京京 工工 业业 大大 学学21对于矩形截面对于矩形截面,1213bhIz3121hbIybhyzII zybh所以矩

7、形截面压杆首先在所以矩形截面压杆首先在xz平面内失稳弯曲，（即绕平面内失稳弯曲，（即绕 y 轴转动）轴转动）xyzhb 1）分析：）分析： 矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？FF南南 京京 工工 业业 大大 学学22位移曲线为一半波正弦曲线。位移曲线为一半波正弦曲线。,2时lx Awwlmax)2(A为压杆中点挠度。为压杆中点挠度。南南 京京 工工 业业 大大 学学23pFl2l南南 京京 工工 业业 大大 学学24CyBC段段,曲线上凸曲线上凸,; 0101CA段段,曲线下凸曲线下凸,0)1(C0CM即0.7l南南 京京 工工 业业 大大 学学250

8、.5lCD同理同理0, 0DCMM南南 京京 工工 业业 大大 学学26临界载荷欧拉公式的一般形式临界载荷欧拉公式的一般形式: :一端自由，一端固定一端自由，一端固定 : : 2.02.0一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定 : : 0.70.7 两端固定两端固定 : : 0.50.5 两端铰支两端铰支 : : 1.01.022cr)(lEIF南南 京京 工工 业业 大大 学学27Fcrl支承情况支承情况两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定，两端固定，但可沿纵向但可沿纵向相对移动相对移动一端固定一端固定一端自由一端自由两端固定，两端固定，但可沿横向但可沿横向相对移动相对移动

9、失稳时挠曲线形状失稳时挠曲线形状临界力临界力长度系数长度系数lFcrl0.5lFcr= 1= 0.7= 0.5= 2= 12llFcrFcr0.7ll22lEIFcr22rc)7 . 0(lEIF22)5 . 0(lEIFrc22(2 )crEIFl22lEIFcr南南 京京 工工 业业 大大 学学28 柔度柔度(细长比细长比)： iL一、欧拉临界应力公式及使用范围一、欧拉临界应力公式及使用范围 1.细长压杆的临界应力细长压杆的临界应力：临界力除以压杆横截面面积临界力除以压杆横截面面积得到的压应力，用得到的压应力，用 cr表示；表示；2222)/()(iLEALEIAFcrcr 横截面对微弯中

10、性轴的横截面对微弯中性轴的惯性半径惯性半径； AIi 欧拉临界应力公式：欧拉临界应力公式： 22crE 南南 京京 工工 业业 大大 学学29线弹性状态：线弹性状态： cr p，即，即 p22E p2pp2EE ，则则 p细长杆细长杆(大柔度杆大柔度杆)，欧拉公式的适用范围；，欧拉公式的适用范围； 对于对于Q235钢，钢，E=200GPa， p=200MPa： 1001020010200692p 用柔度表示的临界压力：用柔度表示的临界压力：AEFcr22南南 京京 工工 业业 大大 学学301.1.s cr p时采用经验公式：时采用经验公式： bacr1) crn。 、稳定条件还可写成：、稳定

11、条件还可写成：maxmaxcrcrwstFnnF nw工作安全因数工作安全因数南南 京京 工工 业业 大大 学学41表表 常用零件常用零件nst的取值范围的取值范围南南 京京 工工 业业 大大 学学42 考虑到临界应力考虑到临界应力cr是柔度是柔度的函数，安全因数的函数，安全因数nst也也因压杆柔度不同而规定不同的数值，这都说明稳定许因压杆柔度不同而规定不同的数值，这都说明稳定许可应力可应力st对柔度对柔度依赖敏感。稳定条件可写成依赖敏感。稳定条件可写成() c rs ts tn st稳定许用应力稳定许用应力； 强度许用应力强度许用应力； j jzyz，可以判定失稳首先发生在，可以判定失稳首先

12、发生在xzxz平面内，注意到平面内，注意到ypyp属于细长杆，可使用欧拉公式属于细长杆，可使用欧拉公式南南 京京 工工 业业 大大 学学60例例 MPa200,MPa235psxyxz南南 京京 工工 业业 大大 学学61zzzil35.99AIizzbhbh 12/3p2pExyzx考虑考虑xy平面失稳平面失稳(绕绕z轴转动轴转动)12h12/3 . 21h8 .132AIiyybhhb12/3考虑考虑xz平面失稳平面失稳(绕绕y轴转动轴转动)12byyyil12/3 . 25 . 0b6 .99pyz所以压杆可能在所以压杆可能在xy平面内首平面内首先失稳先失稳(绕绕z轴转动轴转动).南南

13、京京 工工 业业 大大 学学62其临界压力为其临界压力为AFcrcrbhEz22kN269pcrFFn150269793. 18 . 1stn所以压杆的稳定性是不安全的。所以压杆的稳定性是不安全的。南南 京京 工工 业业 大大 学学63例例 简易起重架由两圆钢杆组成，杆简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB： ，杆，杆AC： ,两杆材料均为两杆材料均为Q235钢钢, ,规定的强度安全系数，稳定安全系规定的强度安全系数，稳定安全系数，试确定起重机架的最大起重量。数，试确定起重机架的最大起重量。mm301dmm202dMPa240,GPa200sE60,1000p2sn3stnmaxFF45A21CB0

14、.6m南南 京京 工工 业业 大大 学学64解解:.受力分析受力分析AF1NFN2F)()(22N1N压，拉FFFF2. 由杆由杆AC的强度条件确定的强度条件确定 。maxF11N1AFssns1s2nAFkN7 .263. 由杆由杆AB的稳定条件确定的稳定条件确定 。maxFstN2crnFFn南南 京京 工工 业业 大大 学学6522il柔度柔度:4/6 . 012d80因此因此2crcrAF2)(AbakN47.151226410)8012. 1304(dstcrN2nFFF347.151kN5 .50所以起重机架的最大起重量取决于杆所以起重机架的最大起重量取决于杆AC AC 的强度，为

15、的强度，为kN7 .26maxF南南 京京 工工 业业 大大 学学66 例例 确定图示连杆的确定图示连杆的许用压力许用压力Fcr。已知。已知连 杆 横 截 面 面 积连 杆 横 截 面 面 积A=720mm2，惯性矩，惯性矩Iz=6.5104mm4，Iy=3.8104mm4， p= 2 4 0 M P a ，E=2.1105MPa。连。连杆用硅钢制成，稳定杆用硅钢制成，稳定安全系数安全系数nst=2.5。xx580700yzPPz580PPLy 若在若在x y面内失稳，面内失稳， =1，柔度为：柔度为：解：解：(1)失稳形式判断失稳形式判断：7 .73720/105 . 67001A/ILiL

16、4zz 若在若在x- -z平面内失稳，平面内失稳， =0.5，柔度为：，柔度为：所以连杆将在所以连杆将在xy平面内失稳，其许用压力应由平面内失稳，其许用压力应由 z决定。决定。9 .39720/108 . 35805 . 0A/ILiL4yy 南南 京京 工工 业业 大大 学学67 (2)确定许用压力确定许用压力： 由表查得硅钢：由表查得硅钢：a=578MPa，b=3.744MPa， s=353MPa，计算有关的，计算有关的 p和和 s为：为：60744. 335357893240101 . 2522baEsspp可见连杆为中柔度杆。其临界载荷为：可见连杆为中柔度杆。其临界载荷为：由此得连杆的

17、许用压力为：由此得连杆的许用压力为： (3)讨论：在此连杆中：讨论：在此连杆中： z=73.7， y=39.9，两者相差较大，两者相差较大。最理想的设计是。最理想的设计是 y= z，以达到材尽其用的目的。，以达到材尽其用的目的。kNbaAFcr218)(kNnPFwcrcr3 .875 . 2218南南 京京 工工 业业 大大 学学68解：解：CDCD梁梁0CM150030sin2000NFFwnkN6 .26NF得ABAB杆杆il1m732. 130cos5 . 1l南南 京京 工工 业业 大大 学学69kN6 .26NFABAB杆杆il1m732. 130cos5 . 1l)mm16464

18、4222244dDdDdDAIiP1081610732. 113得ABAB为大柔度杆为大柔度杆)kN11822lEIPljNljFPn 342. 46 .26118wnABAB杆满足稳定性要求杆满足稳定性要求wn南南 京京 工工 业业 大大 学学70 例例 一端固定，另一端自由一端固定，另一端自由的细长压杆如图所示。试导出其的细长压杆如图所示。试导出其临界力的欧拉公式。临界力的欧拉公式。APcrLBd d 例例2 导出一端固定、另一导出一端固定、另一端铰支压杆临界力的端铰支压杆临界力的 欧拉公式。欧拉公式。22cr)L7 . 0(EIP ABPcrL 例例3 试导出两端固定压杆的试导出两端固定

19、压杆的欧拉公式。欧拉公式。 PcrL南南 京京 工工 业业 大大 学学71PcrLABd dPcrMA=Pcrd dyx失失稳稳模模式式如如图图 d d d d d d 0EI)L(MyyLxkEIPEIMy0y0y0 x2crA，：，：边界条件：边界条件：0CCCC000kLcoskkLsink11LkLcoskLsink00k00010k0101043212222 d d 分方程的通解得：分方程的通解得：将边界条件代入统一微将边界条件代入统一微0kLcos 为为：解解得得压压杆杆失失稳稳特特征征方方程程：系系数数行行列列式式值值为为零零；有有非非零零解解的的充充要要条条件件为为)210n(2nLEIPkLcr， 22cr)L2(EIP1n 为：为：压杆临界力的欧拉公式压杆临界力的欧拉公式，得一端固定一端自由，得一端固定一端自由取取相当于相当于2L长两端铰支压杆的临界力长两端铰支压杆的临界力南南 京京 工工 业业 大大 学学72失失稳稳模模式式如