调性与极值课件

1、调性与极值第三节第三节一、函数单调性一、函数单调性二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法 函数的单调性与极值 第三三章 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题调性与极值xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA调性与极值一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法证：证：,b ,ax ,x21,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则定理定理1.b ,ab ,axfy内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数)()(.b

2、,axfyxfb ,a上单调减少上单调减少在在，那么函数，那么函数内内如果在如果在)()()()(02上单调增加；上单调增加；在在，那么函数，那么函数内内如果在如果在）（)()()(b ,axfyxfb ,a01).()(12xfxf .,)(上上单单调调增增加加在在baxfy 调性与极值, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上上单单调调减减少少在在baxfy (1) 如果定理如果定理1中的闭区间换成其他各种区间，结论也中的闭区间换成其他各种区间，结论也是成立的是成立的.注意注意调性与极值.b ,ab ,axfy内内可可导导上上连连续续，在

3、在在在若若函函数数)()()(1，内内在在00)()()(xfxfb ,a,xf的点都只有有限多个的点都只有有限多个使使0)(如果如果的任子区间上，的任子区间上，且在且在)(b ,a)(b ,axfy在在则则函函数数上单调增加上单调增加( (单调减少单调减少) )调性与极值例例2 2解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y上单调减少；上单调减少；函数在区间函数在区间(0 ,), 0(内内在在, 0 y.,上单调增加上单调增加函数在区间函数在区间) 0例例1 1.的单调性的单调性讨论下列函数讨论下列函数. xxxfxxfsin)()( ;)

4、()(2141调性与极值求函数的单调区间求函数的单调区间问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，xoy12单调区间的分界点单调区间的分界点为为称称点点21x ,x在该定义区间的部分区间上单调在该定义区间的部分区间上单调但但则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.调性与极值方法方法: :.x f,xfxfxf的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导数数的的定定义义区区间间分分函函数数不不存存在在的的点点来来划划的的根根及及用用方方程程)()()

5、()(0( (导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。）导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。）内的单调区间？内的单调区间？如何求函数在定义区间如何求函数在定义区间外具有连续的导函数，外具有连续的导函数，导点导点除去有限个不可除去有限个不可在定义区间上连续，且在定义区间上连续，且若函数若函数)(xf调性与极值例例3 3解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时时，

6、当当21 x, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在), 2 单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2调性与极值例例4 4解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,()., 0 32xy 调性与极值例例6 6证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当

7、当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即例例5 5.-2,30101243234的的实实根根个个数数上上在在区区间间讨讨论论方方程程xxx例例7 7.xxx,x110arctan)(ln试试证证时时当当调性与极值二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法为为函函数数的的极极大大值值点点；的的一一个个极极大大值值，称称是是函函数数就就称称成成立立恒恒有有取取若若任任内内有有定定义义的的某某

8、邻邻域域在在点点设设函函数数000000 xxfxf,xfxf,xUx,xUxxfo)()()()()()()(定义 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.为为函函数数的的极极小小值值点点；的的一一个个极极小小值值，称称函函数数是是就就称称成成立立，恒恒有有若若任任取取0000 xxfxf,xfxfxUxo)()()()()(调性与极值oxyoxy0 x0 xoxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x调性与极值定理定理2 2( (费马定理费马定理) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的

9、实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x,xf点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数)(.是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定处不可导，处不可导，在在再如，函数再如，函数0 xxy是函数是函数而而0 x.xy的极小值点的极小值点调性与极值定理定理3(3(第一充分条件第一充分条件) ).xUx,xxfo内内可可导导的的某某去去心心邻邻域域且且在在处处连连续续在在设设函函数数)()(000 xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形),(00 xxx ;)(0

10、 x f有有),(00 xxx,x f0)(有有.xxf处取得极小值处取得极小值在在则则0)(),(00 xxx ),(00 xxx)(x f.xxf处无极值处无极值在在0)(2)如果如果而而及及时时, 符号相同符号相同,(3)(3)如果当如果当则则),(00 xxx ;)(0 x f有有)(00 x ,xx而而,x f0)(有有.xxf处处取取得得极极大大值值在在则则0)(1)如果如果调性与极值xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数所有驻点与不可导点；所有驻点与不可导点；求出函数求出函数)()(xf2.)()(是是极极小小值值点点极极大大值值点

11、点还还极极值值点点，进进一一步步确确定定是是是是否否是是极极值值点点，如如果果是是判判断断该该点点左左右右的的正正负负号号在在驻驻点点以以及及不不可可导导点点的的检检查查,xf 3.)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)调性与极值例例8 8 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值的极值 . .解解: :1) 1) 求导数求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 2) 求极值可疑点求极值可疑点令令,0)( xf得得;521x.xxf处处不不可可导导在在02)(3) 3) 列表判别列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x

12、是极大点，是极大点， 其极大值为其极大值为0)0(f是极小点，是极小点， 其极小值为其极小值为52x33. 0)(52f调性与极值证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所所以以，函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 同理可证同理可证(2).定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件) ),x f00)(且且,x f00)(时时，00)(x f;)(处处取取得得极极大大值值在在函函数数0 xxf,x f时

13、时00)(那么那么(2)当当(1)当当.)(处处取取得得极极小小值值在在函函数数0 xxf调性与极值例例9 9解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下调性与极值Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍仍用用定定理理处处不不一一定定取取极极值值在在点点时时xxfxf 调性与极值三、最大值与最小值问题三、

14、最大值与最小值问题 .)()()(上上的的最最大大值值与与最最小小值值在在数数多多有有有有限限个个驻驻点点，求求函函点点外外处处处处可可导导，并并且且至至内内除除有有限限个个开开区区间间上上连连续续，在在在在若若函函数数b ,axfa,bb ,axfoxyoxybaoxyabab调性与极值求最值步骤求最值步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大比较大小小,哪个最大哪个就是函数在区间上的最大值哪个最大哪个就是函数在区间上的最大值,哪个哪个最小哪个就是函数在区间上的最小值最小哪个就是函数在区间上的最小值;调性与

15、极值)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例1010 求函数求函数xxxxf1292)(23在闭区间在闭区间,2541上的最大值和最小值上的最大值和最小值 . .解解: : 显然显然, ,)(2541Cxf且且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内内有有极极值值可可疑疑点点在在)(2541,xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在故函数在0 x取最小值取最小值 0 ;0 ;在在1x及及25取最大

16、值取最大值 5.5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx调性与极值点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例1111敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？调性与极值解解公公里里5 . 0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相

17、距函数敌我相距函数22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的的最最小小值值点点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分分钟钟射射击击最最好好处处发发起起追追击击后后故故得得我我军军从从B调性与极值实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或或最最小小大大求求的的最最点点处处的的函函数数值值即即为为所所要要内内部部取取得得，则则函函数数在在驻驻义义区区间间大大值值或或最最小小值值，且且在在定定可可判判断断目目标标函函数数确确有有最最点点，若若内内可可导导，且且只只有有唯唯一一驻驻若若目目标标函函数数在在定定义义区区间间)(调性与极值清楚清楚( (视角视角 最大最大) ? ) ? 观察者的眼睛观察者的眼睛1.8 m, ,例例12 12 一张一张 1.4 m 高的图片挂在墙上高的图片挂在墙上, , 它的底边高于它的底边高于x4 . 18 . 1解解: : 设观察者与墙的距离为设观察者与墙的距离为xm, , 则则x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arcta