一节未按教学设计完成的课正弦定理

1、正弦定理教学案例汾西一中 刘惠文一、背景介绍结合新课标课改的精神和我校“以人为本”的教育理念的指导，高中数学教学不 仅仅局限于接受、记忆、模仿和练习，更应该倡导自主探究、动手实践、合作交流、 阅读自学等数学学习方式，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”的过程。20XX 年 4 月 29 日上午第一节在高二 227 班（重点班） 讲的示范课， 正弦定理第一 课时。本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书·数学必修5（人教 A 版）第一章，正弦定理第一课时，是在高一学生了三角等知识之后，显然是对三角知识的应 用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中直角三角形内容的直接延伸，因而

2、 定理本身的应用又十分广泛。本课“正弦定理” ，作为单元的起始课，为后续内容作知 识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角 关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具） ，解决简单的三角形度 量问题。本节教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。1、设计思想根据实际教学处理，本节课采用探究式课堂教学模式，辅以讨论法以及多媒体演 示法。即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提， 以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容。分为三 个阶段：第一阶段教师通过引导学生学生对实际问题的探索，并大胆提

3、出猜想；第二 阶段由猜想入手， 带着疑问， 以及特殊三角形中； 边角的关系的验证， 通过“作高法”、 “向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性；第三阶段利用正弦定理解 决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证 明，感受“观察实验猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、 善于思考的品质和勇于求真的精神，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的 能力和创造性思维的能力。2、学情分析对普通高一的学生来说，在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系、 全等三角形等与三角形有关的基础知识；同时在必修 4 ，学生也学习了三角函数、向 量三角恒等变换以及平

4、面向量等内容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式， 在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。 但学生对 前后知识间的联系、理解、应用有一定难度。而且学生基础差、底子薄，数学运算能 力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课 的时候往往要多作铺垫，教学中以讨论法（师生对话、生生讨论）为主，以发现法、 类比法、接受法、练习法为辅。3、出现状况讲课中，第一阶段的引导、 、猜想顺利完成，第二阶段由猜想入手，带着疑问，以 及特殊三角形中；边角的关系的验证，通过“作高法

5、” 、 “向量法”等多种方法证明 正弦定理， 验证猜想的正确性， 也完成了 。本来一句“大家还有其他的证明方法吗？” 再来一句“还有很多，有兴趣的同学下去试一试。 ”就往下讲第三阶段了，但是 二、教学片段上面我们 结合实例，引出正弦定理的构造 a = b = c ，是否任意三角形都 sin A sin B sin C有这种边角关系呢？1、探索发现猜想老师：我们先通过特殊例子检验 a = b = c 是否成立，举出特例，给学sin A sin B sin C生指明一个方向。如图一的第一个图中，在 ABC中，A= B=C=60o，对应的边长 a：b：c=1，对 应角的正弦值分别为 3， 3 ， 3

6、 ；引导学生考察 a ， b ， c 的关系2 2 2 sin A sin B sin C学生 1：: 它们相等，都是 2 3如图一的第二个图中，在ABC中， A=B=45o， C=90o ，对应的边长 a=b=1，c= 2 ，对应角的正弦值分别为2， 2 ，1； ， 1；22学生 2：: 它们相等，都是如图一的第三个图中，在ABC中， A，B，C分别为 30o，60o，90o，对应的边长 a=1，b= 3 ，c=2，对应角的正弦值分别为 1 ， 23，1；2学生 3：: 它们相等，都是 2老师：下面我们考虑任意的 RtABC，结论如何？ 学生 4：思考交流得出，如图 2，在 Rt ABC中，

7、设 BC=a,AC=b,AB=c,则有 sinA= a , sinB= b , 又 sinC=1= c ,cc 则 a = b = c =c sin A sinB sinCa=b=c sin A sin B sinC 老师：更进一步，对于任意三角形是否有 a从而在直角三角形 ABC中，c 呢？sin A sin B sinC学生按事先安排分组，让学生阅读，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算。 ） 学生：分组互动，每组画一个三角形，席量出三边和三个角度数值，通过实验数 据计算，比较 a 、 b 、 c 的近似值。sin A sinB sinC 老

8、师：放映利用几何画板制作的多媒体动画，画面将显示：不管三角形的边、 角如何变化， 比值： a ， b ， c 的值都会相等。sin A sin B sinC我们猜想：a=b=c sin A sin B sinC设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行 实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面2、探索证明定理老师：我们通过验证知道结论成立，那么对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明 a = b = c 呢？前面探索过程对我们有没有启 sin A sinB sinC发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。学生 5：在三角形中，如图 3 设 BC=a， CA=b,

9、AB=c作： ADBC，垂足为 DAD 在 RtABD中， sinB= ADAB AD=AB·sinB=c · sinBAD在 RtADC中， sinC=AC AD=AC·sinC=b · sinC c· sinB=b ·sinCcbsinC sin B同理，在 ABC中，a=csin A sinCa = b = csin A sinB sinC学生 6：不对，如果是钝角三角形，就不对，如图 4老师：( _ ) 不错嘛，由于钝角三角形与锐角三角形的高位置不同，得重新考虑，那么同学 6 说一说你的证明方法。学生 6： 在钝角三角形中，如

10、图 4设C为钝角， BC=a,CA=b,AB=c作 ADBC交BC的延长线于 D，在 Rt ADB中， sinB=AB AD=AB· sinB=c ·sinB,AD在 RtADC中， sin ACD=AC AD=AC·sin ACD=·b sin ACB c·sinB=b ·sin ACB cb= sin ACB sin B同锐角三角形证明可知a=csin A sinCabcsin A sinB sinC3、深入探讨研究老师：我们把这条性质称为正弦定理。在向量中，我也学过 a ·b= a · b, 这与边的长度和三

11、角函数值有较这密切的联系，是否能够利用向量来证明正弦定 理？师生共同复习利用向量数量积解决数学问题的方法：先找向量等式，再同乘某一 向量来处理。学生 7：思考(联系作高的思想)得出：在锐角三角形 ABC中， AB BC = AC ，作单位向 量 j 垂直于 AC， AC · j =AB · j BC · j即 0=c·cos(90 o-A) a·cos(90 o-C)c·sinA-a · sinC=0ca= sinC sin A abc = =(图 5 )sin A sinB sinC对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交

12、代。老师：大家还有其他的证明方法吗？(本来这节课准备到此为止，讲例题，可有学生亟不可待的站起来 学生 8：可借助初中所学过的面积公式和三角函数知识思考得出。 老师：很好，你上来给咱们证明一下。学生 8 讲解：如图 6，对于任意 ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：ABC=1 AC·BD=1 CB·AE=1 BA·CF，而由图中可以看出：222sin BAC=BD ,sin ACB=AE ,sin ABC=CF ,AB AC BCBD=AB·sin BAC,AE=A·C sin ACB,CF=B·C sin ABC SABC= 1

13、AC·BD=1 CB·AE22=1 BA·CFcosS2=1 AC·AB·sin BAC2=1 CB·CA·sin ACB21=1 BA·BC·sin ABC2=1 b·c· sin BAC21=1 a·b· sin ACB21=1 c·a· sin ABC2等式 1 b· c· sin BAC=1 a·b· sin ACB=1 c· a· sin ABC 222中均除以 1 abc 后

14、可得2sin BAC =sin ABC =sin ACB abc 即a=b=c。sin BAC sin ABC sin ACB讲到此，我突然发现可讲在高中最常见的三角形面积公式：S ABC=1 absinC）2老师：在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高 AE=c· sin ABC=a· sin ABC,三角形的面积： SABC=1 a·AE，能否得到新面积公式。 2学生 9：我见过， SABC= 1 a·AE1 c·a·sin ABC得到三角形面积公式22S ABC111= absinC= casinB= bcsinA222（既然课

15、上的这儿，那就不如往下讲正弦定理的完整公式a = b = c =2R） si nA sin B sinC老师：大家还有其他的证明方法吗？比如： a 、 b 、 c 都等于同一个比 sin A sin B sinC值 k ，那么它们也相等，这个 k 到底有没有什么特殊几何意义呢？ 学生讨论，不知道该如何处理。老师提示先考虑 Rt ABC中学生 10：在前面的检验中， RtABC中，（图 7）a = b = c =c,c 是斜边。（此时及时提醒：斜边 c 在直角三角形中 sin A sinB sinC恰可做为三角形外接圆的直径。 ）老师：那么对于一般三角形呢？这个 k 到底有没有什么特殊几何意义呢

16、？ 学生讨论了半天，学生 11：好像应该是： k=c=2R，即正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径 2R 老师：如何证明呢？学生讨论激烈，老师参与并提示、引导先画三角形的外接圆， 把一般三角形转化为直角三角形来处理。终于有学生做出来了。可此时下课铃响了。（如学生 12已作出结论： k=c=2R作ABC的外接圆 O，O为圆心，连接 BO并延长交圆 O于 B/ ，把一般三角形转化为 直角三角形。证明：连接 BO并延长交圆于 B/ （图 8） B/AB=90O，B/=C 在 Rt B/ AB中， AB / =B/BsinB AB / = AB =B/ B=2R即 c =2R， sinB/ sinC

17、sinC 同理可证： a =2R， b =2R sin A sin B a = b = c =2R） sin A sin B sinC老师：同学们，部分同学已证明，比如同学 12，下去以后再研究，完善一下步骤。我们本节课通过“作高法” 、“向量法”、“等积法”、“外接圆法”等方法证明正弦定理， 由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。临时设计意图 :经历证明猜想的过程， 进一步引导启发学生利用已有的数学知识 论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。三、教学反思 本节课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历 了提出问题、解决问题、应用反思的过程，

18、学生成为正弦定理的“发现者”和“创造 者”，切身感受了创造的苦和乐， 知识目标、 能力目标、情感目标均得到了较好的落实， 为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。本节课是正弦定理教学的第一节课，课堂思维容量大，教学进度受学生的思维水 平的影响；教学中容易出现突发事件影响教学进度；象本节课，面积公式证明法，以 及完整正弦定理在备课时就没想到要讲，学生提供出新的证法，教师在此适时拓展， 讲到了三角形的新面积公式，接着提出完整正弦定理。课讲到此，正好是一节完整地 定理证明课，有证明，有拓展。而高 227 班是个重点班，学生学习兴趣浓，主动性强， 本节课才讲下来。因此在教学中，教师要灵活处理随机事件的能力高，在组织教学中， 采取“让学生走上讲台” 、 “师生、生生讨论”等模式，形成学生主动观察、分析、 归纳、探究、猜想、证明为主线的，教师的主导作用，真正体现了新课改的理念。这