有限元法基础等参元与数值积分（课堂PPT）

1、1第五章第五章 等参元与数值积分等参元与数值积分 5.1 等参变换的概念等参变换的概念5.2 等参变换的条件和收敛性等参变换的条件和收敛性5.3 数值积分方法数值积分方法5.4 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择25. 等参元与数值积分等参元与数值积分 本章重点本章重点l等参变化的概念和实现单元特性矩阵方法等参变化的概念和实现单元特性矩阵方法l实现等参变换的条件和满足收敛准则的条件实现等参变换的条件和满足收敛准则的条件l数值积分的基本思想和数值积分的基本思想和GaussGauss积分的特点积分的特点l单元刚度矩阵数值积分阶次的选择单元刚度矩阵数值积分阶次的选择有限元法基础35. 等参元与数值

2、积分等参元与数值积分关键概念关键概念 等等( (超、次超、次) )参变换参变换 雅克比矩阵和行列式雅克比矩阵和行列式等参变换的条件等参变换的条件 等参元的收敛性等参元的收敛性数值积分数值积分 高斯积分高斯积分 精确积分精确积分减缩积分减缩积分 矩阵的秩矩阵的秩 零能模式零能模式有限元法基础45.1等参变换的概念等参变换的概念 将局部（自然）坐标中的简单几何形状的单元，转换将局部（自然）坐标中的简单几何形状的单元，转换成总体（物理）坐标中的几何扭曲的单元，必须建立一成总体（物理）坐标中的几何扭曲的单元，必须建立一个坐标变换，即个坐标变换，即有限元法基础1234 LxLyLzL 或ff55.1等参

3、变换的概念等参变换的概念有限元法基础65.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础75.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础规则化单元：母单元在自然坐标系内(局部)实际单元：子单元 在总体坐标系内(整体)111mmmiiiiiiiiixN xyN yzN z利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系111nnniiiiiiiiiuN uvN vwN w85.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础l等参变换等参变换 坐标变换和场函数插值采用相同的节点，坐标变换和场函数插值采用相同的节点，m=n, 并且并且采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为等参元

4、等参元。l超参变换超参变换 坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即mn。这样建立的单元，称为这样建立的单元，称为超参元超参元。l次参变换次参变换 坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即mn。这样建立的单元，称为这样建立的单元，称为次参元次参元。95.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础l例：一维例：一维2节点单元节点单元 222111iiiiiiiiixN xyN yzN z1(1)(1,2)2iiNi105.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础l例：二维例：二维3节点单元节点单元 3331

5、11iiiiiiiiixN xyN yzN z1, , iN 115.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础l例：平面例：平面4节点单元节点单元 4411iiiiiixN xyN y1(1)(1)(1,2,3,4)4iiiNi125.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础l单元矩阵的变换单元矩阵的变换 等参变换单元矩阵的变化等参变换单元矩阵的变化： 等参变换等参变换单元矩阵的变化：单元矩阵的变化：B、K、d、135.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础 由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变换，如换，如B矩阵的偏微分计算，矩阵

6、的偏微分计算，K矩阵的积分计算。矩阵的积分计算。 000000iiiiiiiNxxNNNyyNNyxyxB145.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础1）导数之间的变换）导数之间的变换 由复合函数求导规则有由复合函数求导规则有写成矩阵形式写成矩阵形式J 称为称为Jacobi 矩阵矩阵 iiiiNNNNxyzxyziiiiiiiiiNxyzNNxxNNNxyzyyNxyzNNzzJ( , , )( , , )x y z J155.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础1iiiiiiNNxNNyNNzJ1*1J=JJJ 的伴随矩阵的伴随矩阵165.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基

7、础l由坐标变换求得由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素矩阵中的元素 111111111nnniiiiiiiiinnniiiiiiiiinnniiiiiiiiiNNNxxxxxxNNNyyyyyyNNNzzzzzz175.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础2）体积微元的变换）体积微元的变换 ()ddddd d d Jxyzddidjdkxyzddidjdkxyzddidjdk 185.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础单元刚度矩阵单元刚度矩阵等效体积力等效体积力 1 1 11 1 1eTTdd d d KB CBB CB J1 1 11 1 1eTFd d d QN F J19

8、5.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础3）面积微元的变换）面积微元的变换以以 为例，为例， 1xyzddidjdkxyzddidjdk0d1dAddAd d =1/2222yzyzZxzxxyxyA,ijkddxyzd dxyz 205.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础边界面力的变换边界面力的变换以以 为例，为例， 10d1 11 1eeTTAdAAd d QN TN TeeTTdQN T215.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础4）对二维问题）对二维问题u面元面元 xyyxJ*yyxxJ =( , )( , )iiiiiiiiNxyNNNx yxxxNNNNxyyy

9、y Jddxdyd d J1/222xydd u线元线元1225.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础5）面积坐标）面积坐标 , 1iN 123,1LLL3121231331212323iiiiiiiiiiiiNNNNLNNLLLLLLLNNNNLNNLLLLLLL2111200()()eLAddLdL J2 J直边三角形时：直边三角形时：235.1等参变换的概念等参变换的概念有限元法基础6）体积坐标）体积坐标 , 1iN 1234,1LLLL31241234143124123424312412342iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiNNNNLNNNLLLLLLLLLNNNNLN

10、NNLLLLLLLLLNNNNLNNNLLLLLLLLL4112111321000()()eLLLddL dL dL J1 (1,0,0)2(0,1,0)3(0,0,1)4(0,0,0)245.2 等参变换的条件与收敛性等参变换的条件与收敛性有限元法基础l等参变换的条件等参变换的条件等参变换中，需计算等参变换中，需计算Jacobi矩阵的逆矩阵的逆 是否存在？是否存在？存在的条件是存在的条件是 ( , , )0( , , )x y z J1J这是两个坐标系间一对一变换的条件这是两个坐标系间一对一变换的条件255.2 等参变换的条件与收敛性等参变换的条件与收敛性有限元法基础l以二维情况为例说明以二

11、维情况为例说明1）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反，）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反， ，顺序相同顺序相同2） 若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处 sin(,)sindAdddddddd0J0J01800sin10J1存在J265.2 等参变换的条件与收敛性等参变换的条件与收敛性有限元法基础l畸变单元举例畸变单元举例节点节点1 节点节点2 节点节点3 由于由于 是连续函数，故在是连续函数，故在1-2边至到边至到2-3边时边时必有一点必有一点 ，不具备等参变换条件。，不具备等参变换条件。11sin0,0J22sin0,0J33sin0,0JJ0

12、J275.2 等参变换的条件与收敛性等参变换的条件与收敛性有限元法基础l畸变单元举例畸变单元举例边边1-2 退化为一个节点退化为一个节点 在该点处在该点处 ，也不具备，也不具备 等参变换条件。等参变换条件。实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，实际计算单元刚度矩阵是用数值积分， 并不会出现奇异性，应用中仍可使用；并不会出现奇异性，应用中仍可使用；四边形退化为三角形单元的积分精度较差。四边形退化为三角形单元的积分精度较差。 0d0J285.2 等参变换的条件与收敛性等参变换的条件与收敛性有限元法基础l 等参单元的收敛性等参单元的收敛性 弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性：弹性力学问题的收敛性包括

13、完备性和协调性：完备性：完备性：场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移和常应变。和常应变。协调性：协调性：单元内部位移连续且满足几何方程，单元间单元内部位移连续且满足几何方程，单元间的位移场是连续的。的位移场是连续的。 295.2 等参变换的条件与收敛性等参变换的条件与收敛性有限元法基础l完备性完备性 设单元内任一点设单元内任一点i i的位移场为的位移场为代入位移插值函数代入位移插值函数 123412341234iiiiiiiiiiiiuxyzvxyzwxyz123411111123411111123411111nnnnniiiiiiiiiiiiiinnn

14、nniiiiiiiiiiiiiinnnnniiiiiiiiiiiiiiuN uNN xN yN zvN vNN xN yN zwN wNN xN yN z305.2 等参变换的条件与收敛性等参变换的条件与收敛性有限元法基础注意到等参变换注意到等参变换 123411123411123411nniiiiinniiiiinniiiiiuN uNxyzvN vNxyzwN wNxyz111,nnniiiiiiiiixN xyN yzN z315.2 等参变换的条件与收敛性等参变换的条件与收敛性有限元法基础只要只要 123411234112341niiiniiiniiiuN uxyzvN vxyzwN

15、wxyz11niiNNi 满足形函数性质，完备性就得到满足，满足形函数性质，完备性就得到满足，插值函数能够反映刚体位移和常应变。插值函数能够反映刚体位移和常应变。325.2 等参变换的条件与收敛性等参变换的条件与收敛性有限元法基础l协调性协调性 单元间边界上的位移场：单元间边界上的位移场：具有相同的节点和相同的节点数具有相同的节点和相同的节点数插值函数相同，有连续的位移场插值函数相同，有连续的位移场插值函数满足插值函数满足 (,)ijjjijN 335. 等参元与数值积分等参元与数值积分有限元法基础l 练习题：练习题：什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？同样什么是等参元满足有限元收敛准则的条

16、件？同样条件可否适用于次参和超参单元？条件可否适用于次参和超参单元？证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单元的元的JacobiJacobi矩阵是常数矩阵。矩阵是常数矩阵。证明面积坐标的幂函数的积分公式。证明面积坐标的幂函数的积分公式。 （提示：利用面积坐标之和等于（提示：利用面积坐标之和等于1 1的关系消去被积的关系消去被积函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。）函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。） 345. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础 有限元方程为有限元方程为单元刚度矩阵为单元刚度矩阵

17、为 Kq = QeeTdK =B CB355. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础1 1）母单元为）母单元为 自然坐标系列自然坐标系列 坐标变换坐标变换 位移插值位移插值 Jacobi Jacobi矩阵矩阵 应变的计算应变的计算 求求B B时需建立时需建立 , , ee= Du = (DN)qBqe XN( , ,)xe uN( , ,)q1( , , ),( , , )x y z JJ1TTxyzJ365. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础单元矩阵计算时单元矩阵计算时 1 1 11 1 11 1 1

18、1 1 11 11 1(=1)eTeTFeTTd d dd d dAd d 作用在的面上K =B CB JQ =N F JQN TT=xyzxyzxyzJ1/2222yzyzzxzxxyxyA375. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础2 2）母单元为体积坐标系列）母单元为体积坐标系列 取取L L1 1、L L2 2和和L L3 3为独立变量，为独立变量，L L4 4=1-=1-L L1 1- -L L2 2- -L L3 3单元矩阵计算单元矩阵计算 32332331111230001111230001123100(=0)LLLeTLLLeTFLe

19、TTdLdL dLdLdL dLAdL dLL 作用在的面上K =B CB JQ =N F JQN TT385. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础2 2）母单元为体积坐标系列）母单元为体积坐标系列 取取L L1 1、L L2 2和和L L3 3为独立变量，为独立变量，L L4 4=1-=1-L L1 1- -L L2 2- -L L3 3单元矩阵计算单元矩阵计算 32332331111230001111230001123100(=0)LLLeTLLLeTFLeTTdLdL dLdLdL dLAdL dLL 作用在的面上K =B CB JQ =N

20、F JQN TT395. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础l例：无限元例：无限元1 1）一维问题：）一维问题：2 2节点单元节点单元通常通常u u2 2是已知的。是已知的。 11()1xx是一个常数121122uuu2,211()(1)4xuuu405. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础l例：无限元例：无限元2 2）二维问题：）二维问题：4 4节点单元节点单元 415. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础坐标变换坐标变换 反映了反映了1-21-2边的变化

21、率。边的变化率。位移插值函数依然与传统单元一样。位移插值函数依然与传统单元一样。通常节点通常节点2 2和节点和节点3 3的量是已知的。的量是已知的。 1412141211111221221111122122xxxyyy111244111244,xxxxyyyy11/425.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础l数值积分的基本思想数值积分的基本思想关键在求积系数和求积点的确定！关键在求积系数和求积点的确定！ 0( )( )( )bniiiaf x dxA f xE f求积系数求积系数求积点求积点误差误差435.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础1 1）NewtonNewtonCotes

22、Cotes积分方案积分方案 将积分区域将积分区域a,bna,bn等分等分构造近似被积函数构造近似被积函数在取样点上在取样点上 abhn(0,1, )xaihin( )( )bbaaf x dxx dx( )( )(0,1,2, )iif xxin445.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础使用使用n n阶多项式构造近似函数阶多项式构造近似函数 为为Lagrange插值函数。插值函数。积分系数积分系数 0( )( )( )nniiixl f xf xnil00( )( )( )() ( )bbbbnnnniiiiiiaaaaf x dxx dxl f x dxl dx f xbniiaHl

23、dx455.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础积分系数积分系数与选取的积分点个数有关与选取的积分点个数有关与积分点位置有关与积分点位置有关与积分域与积分域a,b有关有关被积函数形式无关被积函数形式无关 0( )( )bniiiaf x dxH f x465.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础采用规范化的区域（采用规范化的区域（0 0，1 1），），n+1n+1个等距坐标为个等距坐标为 称为称为Cotes系数。系数。 这种积分具有这种积分具有n次的代数精度，即对次的代数精度，即对n次多项式能精次多项式能精确积分。确积分。 120,1nnxaba()niiHba C10( )nniiC

24、ldniC475.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础例：一维问题例：一维问题n = 1(梯形公式梯形公式) 0( )( )( )bbnniiiaaf x dxx dxH f x11000111101(1)212HCdbaHCdba ( )( ( )( )2babax dxf af b485.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础n = 2 (Simpson公式公式) 120012101230112 ()(1)2644(1)6112()26CdCdCd ( )( )4 ()( )62babaabx dxf aff b495.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础lNewtonCotes

25、积分特点积分特点积分取样点等距分布积分取样点等距分布有有n+1n+1个积分点，若被积函数是个积分点，若被积函数是n n次多项式，次多项式，代数积分是精确的代数积分是精确的 505.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础2 2）GaussGauss积分方案积分方案l特点特点 积分取样点非等间距分布，通过优化积分点积分取样点非等间距分布，通过优化积分点的位置，提高了积分精度，的位置，提高了积分精度，n n个积分点可达个积分点可达2n-12n-1次精度。次精度。 515.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础在积分域内构造多项式在积分域内构造多项式由条件由条件确定积分点的位置。确定积分点的位置。

26、 121( )()()()()nnjjP( )00,1,2,1biaPdin525.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础 的性质：的性质：（1 1）在积分点上）在积分点上（2 2）在积分域（）在积分域（a,ba,b）内与）内与正交。正交。 被积函数被积函数 可由可由2n-12n-1次多项式近似次多项式近似 ( )0iP( )P(0,1,2,1)iin1110( )( )( ) ( )( )nnniiiiiif xlfP ( )f535.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础 上式在形式上与上式在形式上与NewtonCotes积分是一样的，但是积分是一样的，但是近似函数是近似函数是2n-1

27、次，积分点是非均匀的分布。次，积分点是非均匀的分布。为了方便积分，一般积分限（为了方便积分，一般积分限（a，b）（）（-1，1）。）。11101( )( )( ) ( )( ) ( )bbbbnnniiiiiiaaaaniiifddRldfPdRH fR 545.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础例：两点例：两点GaussGauss积分积分积分点位置：积分点位置：i=0i=0i=1i=1 12( )()()P11( )00,1iPdi1121212()()203d 1121212()()()03d 555.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础得到得到 1210.577 350 269

28、189 62631121121221111,1HdHd 求解高阶积分点坐标和权系数，一般利用求解高阶积分点坐标和权系数，一般利用Legendre多项式来进行。多项式来进行。565.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础 575.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础n=2Newton-CotesGauss585.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础l二维和三维二维和三维GaussGauss积分积分 对二维积分对二维积分首先令首先令 为常数，对为常数，对 积分积分再对再对 积分，得到积分，得到 1 11 1( , )Fd d 111( , )(, )njjjFdH F 1 111111

29、1( , )(,)(,)nnnnijjiijjiijijFd dHH FH H F 595.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础类似地三维积分为类似地三维积分为注：每个方向可以选取不同的积分点数。注：每个方向可以选取不同的积分点数。 1 1 11111 1 1, ,1( , , )( ,) ( ,)nnnijmijmmjinijmijmi j mFd d dH H H FHF 605.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础3 3）IronsIrons积分方案积分方案 对三维六面体积分对三维六面体积分每个方向使用每个方向使用n n点点Newton-CotesNewton-Cotes积分，需

30、积分，需 n n3 3个点，在个点，在 每个方向的精度为每个方向的精度为n-1n-1次。次。每个方向使用每个方向使用m m点点GaussGauss积分，需积分，需 m m3 3个点，在每个方个点，在每个方 向的精度为向的精度为2m-12m-1次。次。IronsIrons积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积分精度。分精度。 1 1 11 1 1( , , )Fd d d 615.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础625.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础 635.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础4 4）HammerHammer积分方

31、案积分方案 讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分 1111232100(,)LF L L L dL dL 1121111234321000(,)LLLF L L L L dL dL dL 645.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础655.4 数值积分方法数值积分方法有限元法基础 665.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础积分点个数的选取是对数值积分阶次的选择积分点个数的选取是对数值积分阶次的选择计算精度计算精度计算工作量计算工作量计算成本计算成本675.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础l选取积分点个数的原则选取积分点个

32、数的原则1）保证积分精度）保证积分精度2）保证总体刚度矩阵满秩）保证总体刚度矩阵满秩3）有较好的计算效率）有较好的计算效率685.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础1）保证积分精度）保证积分精度以一维单元刚度矩阵积分为例以一维单元刚度矩阵积分为例 积分限标准化，并设积分限标准化，并设Jacobi行列式为常数行列式为常数()()eTTlldxdxKB CBDNC DN1111()()()()eTTJ dJdKDNC DNDNC DN695.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础对多数弹性力学问题对多数弹性力学问题Ni 插值函数：插值函数： p 阶多项式阶多项式D

33、微分算子：最高导数微分算子：最高导数 阶次阶次 m 原被积函数为原被积函数为2（p m）阶多项式）阶多项式705.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础为保证积分精度，为保证积分精度，Gauss积分点数为积分点数为n，应有，应有 按此规则选取积分点个数，才能使被积函数达按此规则选取积分点个数，才能使被积函数达到精度。到精度。212()npm1npm715.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础l对二维和三维单元对二维和三维单元 按一维的方法选按一维的方法选 nxn nxn 或或nxnxn nxnxn 个积分点，可能个积分点，可能被积函数达不到精确积分的要求！被积函数

34、达不到精确积分的要求！ 原因原因1 1：JacobiJacobi行列式可能不是常数行列式可能不是常数, , 这样提高了这样提高了被积函数的阶次。被积函数的阶次。 当物理坐标中的单元当物理坐标中的单元 平行四变形（平行四变形（2D2D） 平行六面体（平行六面体（3D3D）=J常数725.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础解决办法解决办法1）适当提高积分点数，以适应精度）适当提高积分点数，以适应精度2）剖分网格时，尽量避免过分扭曲单元）剖分网格时，尽量避免过分扭曲单元735.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础例：不同形状网格剖分的悬臂梁例：不同形状网格剖分的悬臂

35、梁745.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础755.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础原因原因2 2：B B矩阵中包含有高阶非完全项矩阵中包含有高阶非完全项 原插值函数：原插值函数：p p阶完备多项式阶完备多项式 p p阶非完全项阶非完全项采用精确积分方案，应以采用精确积分方案，应以pp为准，即为准，即 1npm765.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础例：二维例：二维4 4节点单元节点单元优化积分方案：优化积分方案：p=1, n = p-m+1 = 1, p=1, n = p-m+1 = 1, 一点积分一点积分非完全项含有非完全项含有 ,

36、 , 精确积分方案：积分点精确积分方案：积分点 2x22x2 2p 12npm 775.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础例：二维例：二维8 8节点单元节点单元优化积分方案：优化积分方案：p=2, n p=2, n = p-m+1 = 2, 2x2= p-m+1 = 2, 2x2积分积分精确积分方案：精确积分方案：非完全项含有非完全项含有 ， 积分点积分点 3x33x3 22, 3p 13npm 785.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础 在实际计算单元刚度矩阵时，还有其在实际计算单元刚度矩阵时，还有其他方面的考虑。他方面的考虑。 实际的实际的Gauss积分

37、点数积分点数 刚体位移数刚体位移数施加边界条件后，总刚度矩阵非奇异施加边界条件后，总刚度矩阵非奇异 存在，方程有解。存在，方程有解。1K815.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础l 矩阵的秩矩阵的秩1）矩阵相乘）矩阵相乘2）矩阵相加）矩阵相加 B = UAVmin(BU,A,V)秩秩秩秩C = A+BCA+B秩秩秩825.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础l 单元刚度矩阵的计算公式单元刚度矩阵的计算公式C是是dXd的方阵，的方阵，d是应变数量，三维问题为是应变数量，三维问题为6，平面，平面问题为问题为3，轴对称问题为，轴对称问题为4。 一般情况下，秩一般情况下，秩BdM个单元的结构个单元的结构 1GneTiiiiiwKB CB JeGnd秩KGM nd秩K835.5 数值积分阶次的选择数值积分阶次的选择有限元法基础 是是K非奇异的必要条件。非奇异的必要条件。GM ndN系统独立的自由度数系统独立的自由度数N超过超过(或或 ) 全部积分全