函数的极限00356PPT课件

1、北京邮电大学数学系1一、自变量趋于有限值时函数的极一、自变量趋于有限值时函数的极限限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例1 考虑函数考虑函数( )1,f xx当当1x 时，时，2 2为为1x 时时( )f x的极限，记为的极限，记为11lim( )lim(1)2xxf xx引例2考虑函数考虑函数21( )1xf xx当当1x 时，时，只能考虑点只能考虑点1 1的空心邻域内的空心邻域内( )f x的值的值21111lim( )limlim121xxxxf xxx 称称函数函数的值的值无限趋近于无限趋近于2 2。( )f x第1页/共32页北京邮电大学数学系2)(xf在点0 x的某

2、去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0定义1 . 定定义义设函数第2页/共32页北京邮电大学数学系3 的的几几何何解解释释 )(limAxfxx 该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内. A的的 邻域邻域, .)( Axf恒恒有有, 0 , 0 当当 x0的空心的空心 邻域邻域,时时, , |00 xx ( )( );f xAf xA表示任意小000

3、.xxxx表示的过程.0程度程度接近接近体现体现xx 函数极限0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 函数局部有界这表明极限存在 练习 p38 T1,T7第3页/共32页北京邮电大学数学系4例例1. 证明证明)(lim0为常数CCCxx常数在任意变化过程中的极限都是本身。例2. 证明1)12(lim1xx证证:( )f xA 1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时 , 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx求差求差 求求满足条件第4页/共32页北京邮电大学数学系5例例3. 证明证明222lim32xxxx 证证:Axf)(22( 3)2xxx

4、 13x 故,0取,当02x 时 , 必有22( 3)2xxx 因此222lim32xxxx 2x 函数在某变化过程是否存在极限与函数在该点是否有定义无关，因为函数极限是考察函数在某去心邻域去心邻域内的变化趋势。练习 p38 5-(1) 第5页/共32页北京邮电大学数学系6例例4. 证明证明: 当当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx()02x第6页/共32页北京邮电大学数学系7

5、32lim8xx E E证证x x：适当放大求出合适的,03300: lim.(0)xxxxx证明00330322333000|xxxxxxxxxxxx欲使,0,)( Axf只要30202,xxx00000,2xxxxx考虑 的邻域不妨限定002xxx且03202min,2xx则当00 xx必有330|xx0030230020,2xxxxxxxxx即例例5.证明证明: 证证:第7页/共32页北京邮电大学数学系8例如例如, ,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx

6、记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy2. 单侧极限单侧极限:第8页/共32页北京邮电大学数学系9左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf左极限与右极限统称为单侧极限。左极限与右极限统称为单侧极限。 0(0)f x0(0)f x第9页/共32页北京邮电大学数学系10定理定理Axfxx)(lim000lim( )lim( )xxxxf xAf x00()()f xf

7、x 即即使使和和注注意意: :都都存存在在，但不相等，0lim( )xxf x也也不不存存在在。0lim( )xxf xA Axfxx)(lim0,010, 当010(,)xxx 时, 有.)( Axf,020, 当002(,)xxx 时, 有.)( Axf 12min, 则当00 xx必有.)( Axf证明：证明：第10页/共32页北京邮电大学数学系11例例6. 设函数设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo解解: 利用定理.因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( f

8、f所以)(lim0 xfx不存在.练习练习 p38 T411 xy11 xy第11页/共32页北京邮电大学数学系1210limxxe讨讨论论极极限限解100limxxe 10limxxe 10 xx 当当时时，10 xx 当当时时，10limxxe所所以以不不存存在在练习：设函数1,0;( )cos ,0 xexf xax x 问a为何值时，)(lim0 xfx存在。1例例7. 第12页/共32页北京邮电大学数学系13;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .x 如何语言刻画的过程：. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 问题问题:如何用数学语言刻划函数“

9、无限接近”3、自变量趋于无穷大时函数的极、自变量趋于无穷大时函数的极限限00X 0, xX第13页/共32页北京邮电大学数学系14XXAAoxy)(xfy A定义定义2. 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作,0 xxf当)(A 为函数.2,)(,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当 AyxfyXxXx第14页/共32页北京邮电大学数学系15例例8. 证明证明sinlim0 xxx 证证:si

10、n0 xx sin|xx 取,1X,时当Xx sin0 xx 因此sinlim0 xxx 注注:就有故,0欲使sin0,xx 只要,1xsin0.xyyx为为的的水水平平渐渐近近线线1|x 练习 p38 T8第15页/共32页北京邮电大学数学系16x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义:例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线1y 又如，oxy

11、x21x211y 第16页/共32页北京邮电大学数学系17命题：命题：Axfx)(limAxfx)(limAxfx)(lim1lim(arctan ) (1)xxx 讨讨论论例例1lim(arctan ) (1)121lim(arctan ) (1)12xxxxxx ,xearctgx arcctgx若函数式中含有若函数式中含有要求要求 时的极限，考虑用极限存在的充要条件时的极限，考虑用极限存在的充要条件x 第17页/共32页北京邮电大学数学系18内容小结内容小结1. 函数极限的或X定义及应用思考与练习思考与练习1. 若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 设函

12、数)(xf且)(lim1xfx存在, 则. a3例3是否一定有1, 121,2xxxxa？第18页/共32页北京邮电大学数学系19三、函数极限的性质,)(lim0Axfxx自变量的六种变化过程对应六种不同的邻域。0 xx下下面面仅仅以以为为例例说说明明，|000 xxxx000 xxxxxxxx000Xxx|XxxxxX Nnn算上数列共有7种变化过程中的极限第19页/共32页北京邮电大学数学系20定理定理2（函数极限的唯一性）（函数极限的唯一性）如果如果0lim( )xxf x存在，存在，则这个极限唯一则这个极限唯一.局部性质：函数在某一邻域（空心邻域）内具局部性质：函数在某一邻域（空心邻域

13、）内具定理定理3（函数极限的局部有界性）（函数极限的局部有界性）,)(lim0Axfxx如果如果则存在常数则存在常数M 0和和 0,使得当使得当00 xx时时, 有有( ).f xM有的性质.第20页/共32页21定理定理4 局部保号性定理局部保号性定理若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,2A则在对应的邻域上( )0.2Af x 则存在(A 0),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy ,2A ( )0.2

14、Af x 第21页/共32页北京邮电大学数学系22AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:第22页/共32页北京邮电大学数学系23推论推论. 若在若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A证证: 用反证法.则由定理 4,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf所以假设不真, .0A思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf

15、是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 与已知条件矛盾,故时,当0)(xf第23页/共32页北京邮电大学数学系24（函数极限与数列极限的关系）0lim()lim( ).必有nnxxf xf xA如果 f(x)在 上有定义, 则 0()x0lim( )xxf xA的充要条件,nx的数列是对于 内任一收敛于0 x0()x0,nxx且证明证明设设0lim( ),xxf xA则则0, 0,当当00 xx时时, 有有( ).f xA又因又因0lim,nnxx故对上述故对上述0,nNN当时，0.nxx有由假设，由假设，00(),且nnxxxxnN故当时，00nxx从而从而|(

16、)|.nf xA即即lim()nnf xA必要性定理定理5第24页/共32页北京邮电大学数学系25证明证明充分性0lim( )xxf xA假设不成立, 即当 时,函数 f(x)0 xx不以A为极限. 即00,0,存在0(),xx0( )f xA 有当 00,xx利用 的任意性, 特别取定1,1,2,nn存在0(),nxx0().nf xA有当 00,nxx即找到位于0()x内的数列,nx0lim,nnxx且函数极限与数列极限的关系但0(),nf xA与已知条件相矛盾, 0lim( )xxf xA故必有第25页/共32页北京邮电大学数学系26例如例如, ,1sinlim0 xxx, 11sinl

17、im nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn第26页/共32页北京邮电大学数学系27说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf第27页/共32页北京邮电大学数学系28xx1sinlim0的存在性 .证证: 取两个趋于 0 的数列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn练习：讨论：练习：讨论：xxarctanlim的存在性 .例例9. 讨论讨论第28页/共32页北京邮电大学数学系29小小 结结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻( (见下表见下表) )第29页/共32页北京邮电大学数学系30过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn N