矩阵的特征值和特征向量PPT精选文档

1、返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20211第三章第三章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量2 矩阵的对角化矩阵的对角化返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20212第1节方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20213axx定义定义3.1ann非零设 是 阶方列向量x阵,如果存在 维数和满足a称特征值矩阵 的对应于特征值是矩阵a的(eigenvalue)，称x是(eigenvect的特征向量or)。3.1.13.1.1 特征值与特征向量的基本概念特征值与特征向量的基本

2、概念 返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20214例例1211402324a1121x 2213x2a1验证x，x 是否是 的特征向量。解解1211140223241ax 363 113 231x 2211240213243ax624 是是不是不是返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20215命题命题1nn非零 维向量x是 阶方阵 的的充分必要条件是：向量ax与特征向a量x共线。命题命题20kxaka（）如果x是矩阵 的对应特征值 的特征向量，则也是 的对应特征值 的特征向量。命题命题3矩阵矩阵a的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。12

3、0 xaxaxx，x，120 xx1200 x （）x120返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20216axx()0ai x它有非零解的充分必要条件是它有非零解的充分必要条件是0ai即即1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa怎样求矩阵怎样求矩阵a的特征值与特征向量？的特征值与特征向量？. x实数非要零向量求与返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20217矩阵的特征方程和特征多项式定义矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2a a的特征方程的特征方程a a的特征多项式的特征多项式iaa a的特征矩阵的特征矩阵ia0ia特征方程的根称为特征方程的根称为a的的特征根特

4、征根，也称为也称为a的的特征值特征值。返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20218求矩阵的特征值与特征向量的步骤求矩阵的特征值与特征向量的步骤 求矩阵求矩阵a a的特征方程的特征方程2.2.求特征方程的根，即特征值求特征方程的根，即特征值0ai3.对每个特征值对每个特征值i解方程组解方程组()0iaix求出该齐次线性方程组的通解，除去求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量向量便得属于便得属于i的全部特征向量。的全部特征向量。()0i xa返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20219例例2：求矩阵的特征值和特征向量：求矩阵的特征值和特征向量211020413a解解a的特征多项

5、式为的特征多项式为211020413ai 21(2)43 22(2)(64)(2)(2) a的特征值为的特征值为2(1)(2) 1231,2 返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202110110aix 当时，解方程 （）111030414ai314rr23r 11101003012rr323rr101010000得基础解系得基础解系11 0 1t（， ）1110kk 对应于的全部特征向量为（）23220aix当时，解方程 （）4112000411ai31rr41100000020113104 得基础解得基础解系系232对应于的全部特征向量为2233230kkkk（ ， 不同时为 ）返

6、回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202111练习练习:求下列矩阵的特征值和特征向量求下列矩阵的特征值和特征向量3113a解解a的特征多项式为311322(3)168 (2)(4)a的特征值为122,412当时，1231012302xx 121200 xxxx12xx即111 对应的特征向量可取为返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20211224当时1231014304xx 12110110 xx 12xx 对应的特征向量可取为21110kk1（）是对应于 的全部特征向量220kk（）是对应于 的全部特征向量返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/2021133.1.2

7、3.1.2 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 定理定理1tnaa阶方阵 与它的转置矩阵有相同的特征值。定理定理21212121212122212012,;,;,.immiiiirrrmmmrnaiaxim11设方阵有互不相同的特征值， ， ，（）的基础解系为， ，（， ， ， ）,则线性无关推论推论若若 n 阶方阵有互不相同的特征值阶方阵有互不相同的特征值12,m 则其对应的特征向量则其对应的特征向量12,mx xx线性无关线性无关。返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/2021141212121122(),(), (1)(2),ijn nnnnnnnaaaaaatr a 设

8、 阶方阵的n个特征值为重特征值按重数算则有 （ ）定理定理3121211212(1),| ()()()()( 1)nnnnnnaia n 由于为 的特征值故 =证证12120,| ( 1)( 1),|nnnnaaa 令得即 返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202115(2) 由于由于1112121222121122|,nnnnnnnnaaaaaaiaaaaaaa的行列式的展开中 主对角线的乘积 ()() ()11122()( 1) |nnnnaaaa n | i-a|=1nn是其中的一项;再由行列式的定义可知:展开式中的其余项至多包含n-2个主对角线上的元素,因此| i-a|中含与

9、的项只能在主对角线元素乘积项中出现,故有12112121121122| ()()()()( 1)nnnnnnnnniaaaa n =比较前的系数可得 =tr(a ) 返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202116定理定理4设设 a 是是 n 阶方阵，阶方阵，01( ),mmaa ia aa a01( )mmaaa 是是( )a的特征值的特征值.若若 为为 a 的特征值，则的特征值，则返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/2021170011222222,mmmmxaa ixa xa axaxa a xa a xaaxaxa a xax证明：设 为 对应于 的一个特征向量，则有(

10、 )( )( )( )a xxa 以上各式两端求和，即是的特征值。返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202118设设 a 是一个三阶矩阵，是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求是它的三个特征值，试求（1） a的主的主 对角线元素之和对角线元素之和（2）a2(3)aai解解112233123aaa1236 123a 1 2 36 2aai的特征值依次为的特征值依次为1 1 13, 222 17, 233 113 23 7 13273aai 返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202119试证试证 n 阶矩阵阶矩阵 a 是不可逆是不可逆(奇异奇异)矩阵的充要条件是矩阵的

11、充要条件是 a 中至少有一个特征值为中至少有一个特征值为0。证明证明因为因为1212(,nna 为a的特征值的特征值）所以所以0a 的充分必要条件是至少有一个特征值的充分必要条件是至少有一个特征值为零为零。返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202120第2节矩阵的对角化返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202121定定义义3.3 设设 a和和b为为 n 阶矩阵阶矩阵,如果存在如果存在n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵p，使得使得1p apb则称则称a相似于相似于b，或说，或说a和和b相似相似(similar) , 记做记做a b.b.性质性质（1）反身性）反身性 a相似于相似于a（2

12、） 对称性对称性 a相似于相似于b，可推出，可推出b相似于相似于a（3） 传递性传递性 a相似于相似于b，b相似于相似于c，可推出，可推出 a相似于相似于c。 3.2.1 3.2.1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202122容易证明相似矩阵的如下性质：容易证明相似矩阵的如下性质：（1 1）反身性，即）反身性，即aa（2 2）对称性，即如果）对称性，即如果则则abba,（3 3）传递性，即如果）传递性，即如果ab,bc则则ac,1iaia证明证明1papb111()pbpa证明证明11 , papbqbqc1 ()()pqa pqc证明证明返回返

13、回上页上页下页下页目录目录10/27/202123方阵的迹定义方阵的迹定义3.4ij11221a(a ),nn nnniiiaaaaa设方阵称为 的迹，记作1( )niiitr aa方阵的迹是它的主对角线上的元素和方阵的迹是它的主对角线上的元素和061530942atr(a)=2+(-3)+0=-1性质性质： (1) tr(a+b)=tr(a)+tr(b) (2) tr(ab)=tr(ba) (性质性质3.1)返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202124性质性质3.1 (2) 设设(),ijn saa()()tr abtr ba(),ijs nbb 则则证明证明1112121222

14、12ssnnnsaaaaaaaaa111212122212nnsssnbbbbbbbbb111212122212ssnnnsaaaaaaaaa111212122212nnsssnbbbbbbbbb()tr ab ()tr ba 1sijjija b1ni1njiijib a1sj 故故()()tr abtr ba返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202125相似矩阵的性质相似矩阵的性质若若a和和b相似，则相似，则 a和和b有相等的秩。有相等的秩。2.方阵方阵a和和b有相等的行列式有相等的行列式。(性质3.2)1p apb1p apb1pa pb1bpp a1,bp ap p可逆。1p

15、 p aa证明（证明（1） 1p apb1()( )r p apr b( )( )r ar b返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/2021263.方阵方阵a和和b有相等的迹有相等的迹。(性质3.2)4.方阵方阵a和和b有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。th51p apb1( )()tr btr p ap1()( )tr apptr a1p apbbi1p api1()pai p1pai pai推论推论如果矩阵如果矩阵a相似于一个对角矩阵，则对角相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是矩阵的主对角线上的元素就是a的全部特的全部特征

16、值。征值。返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202127易证易证对角形矩阵对角形矩阵12n 则则 12,n 是是 的全部特征值。的全部特征值。返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202128定理3.6 n 阶矩阵阶矩阵a与与n 阶对角矩阵相似的充阶对角矩阵相似的充分必要条件是分必要条件是a有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量。12n 充分性充分性111,axx,nnanxx11 设的个 特 征 向 量线 性 无 关 ，它 们 对 应 的 特 征 值 分 别 是则nnnaxx,111()()nnna xxxx1()npxx记app1p ap 3.2.2 3.2.2 矩

17、阵的对角化矩阵的对角化 返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202129必要性必要性设设a相似于对角矩阵相似于对角矩阵1nddd即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵b，使得，使得1b abd1(,)nbxx1b abdabbd11 1(,)(,)nnna xxd xd x11 1,nnnaxd xaxd x由由b可逆便知：可逆便知：1,nxx都是非零向量，因而都是都是非零向量，因而都是a的特征的特征向量，且向量，且1,nxx线性无关。线性无关。返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202130推论如果如果n阶矩阵阶矩阵a的特征值的特征值1,n互不相同互不相同则则a相似于对角矩阵相似于对角

18、矩阵1n定理3.7n 阶阶 矩阵矩阵 a 与对角矩阵相似的充分必要条件与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个是对于每一个 重特征值重特征值 ,对应着对应着 个线个线性无关的特征向量性无关的特征向量.inini返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202131a121np ap 相似变换相似变换12()npxxx0aii解出特征值0iai xi求出基础解系若若a有有n个线性无关的特征向量则个线性无关的特征向量则a相似于相似于对角阵对角阵返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202132110430102a 例例 矩阵矩阵 能否相似于对角阵能否相似于对角阵?解解a的特征方程为的特征方

19、程为110430102ea2(2)(1)得特征值为得特征值为1232,1返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202133对于对于231,解方程组解方程组解方程组解方程组()0ia x210420101ia1012100001312020 xxxx可求得特征向量可求得特征向量2( 1, 2,1) 23、是对应于是对应于 的全部特征向量的全部特征向量.2220kk（）不存在两个线性无关的特征向量不存在两个线性无关的特征向量. 由定理可知由定理可知a不能与对不能与对角阵相似角阵相似.231因为因为 是二重根是二重根, 而对应于特征根而对应于特征根231返回返回上页上页下页下页目录目录10/2

20、7/202134将一个方阵将一个方阵a对角化对角化,可以按可以按p88如下步骤进行如下步骤进行:12:| 0,.riaa 第一步 令求出 的全部特征值ii第二步:解( i-a)x=0(i=1,2, ,r),求出每个特征值对应的齐次方程组的基础解系.1212121,(,):nnnpp ap 第三步:若如上求出a有n个线性无关的特征向量令则有返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202135注注(1):若若a的全部线性无关特征向量个数小于的全部线性无关特征向量个数小于n 个个,则不能对角化则不能对角化,此时此时a只能化为若当标只能化为若当标准形准形.ii(2):上式中和 的对应关系以及矩阵p

21、中列向量的排列顺序在无重根时不能颠倒.但一般p不唯一。返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202136460350361a 例例 用相似变换化下列矩阵为对角阵用相似变换化下列矩阵为对角阵解解:a的特征方程为的特征方程为460350361ai 2(2)(1) 特征值为特征值为1232,1 对于对于12, 可求得特征向量可求得特征向量1( 1,1,1) 对于对于231可求得线性无关的特征向量可求得线性无关的特征向量23( 2,1,0) ,(0,0,1) 这三个特这三个特征向量线征向量线性无关性无关返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202137123211110010p112011

22、0121p 1000000211p ap返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202138123213336a用相似变换化矩阵为对角形用相似变换化矩阵为对角形.111,110t 229,1 12t330,1 11t100090000 111111021p 返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202139121np ap112mmmmnapp应用应用 :利用对角化计算矩阵的幂利用对角化计算矩阵的幂ma返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/20214032,34a设20a求解解:a的特征方程为的特征方程为3234ai276(1)(6)特征值为特征值为121,611对应的特征向量为对应的特征向量为1(1, 1)26对应的特征向量为对应的特征向量为2(2,3)1212,13p110,06p ap11006app202011006app2012103211306115，.例例7返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202141练习练习 已知已知 12012002aa 问问 满足什么条件时，满足什么条件时，a可对角化？可对角化？ a解解 首先首先 212| () ()ia所以，所以，a的特征值为的特征值为2（重数为（重数为1）和）和1（重数为（重数为2）。）。返回返回上页上页下页下页目录目录10/27/202142 考虑考虑 a的特