函数极限和连续3PPT课件

1、左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类第1页/共47页一、函数的连续定义1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUx

2、f .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 第2页/共47页2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设

3、),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是第3页/共47页定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .第4页/共47页例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.

4、0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 第5页/共47页3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 第6页/共47页例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)

5、(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf第7页/共47页4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图

6、形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第8页/共47页二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf第9页/共47页1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃

7、间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy第10页/共47页2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的

8、连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第11页/共47页解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.第12页/共47页如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处的左、右极限

9、都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 xoxy112第13页/共47页3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间第14页/共47页例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,

10、0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第15页/共47页o1x2x3xyx xfy 判断下列间断点类型判断下列间断点类型:第16页/共47页例例8 8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1

11、时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a第17页/共47页例例(03(03二二4 4）203(1),0,( )0.,0,xtedtxf xxaxax函数在处连续第18页/共47页例（01一04）下列结论正确的是： （ ）24(2)xyx xA.x=0是第一类间断点，x=2是第二类间断点B. x=0是第二类间断点，x=2是第一类间断点C. x=0是第一类间断点，x=2是第一类间断点D. x=0是第二类间断点，x=2是第二类间断点第19页/共47页三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与

12、判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)第20页/共47页可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x第21页/共47页一一、 填填空空题题：1 1、 指指出出23122 xxxy 在在1 x是是第第_ _ _ _ _ _ _ _类类间间断断点点；在在2 x是是第第_ _ _ _ _ _类类间间断断点点 . .2 2、 指指出出) 1(22 xxxxy在在0 x是

13、是第第_ _ _ _ _ _ _ _ _类类间间断断点点；在在1 x是是第第_ _ _ _ _ _ _类类间间断断点点；在在1 x是是第第_ _ _ _ _ _类类间间断断点点 . .二二、 研研究究函函数数 1, 11,)(xxxxf的的连连续续性性，并并画画出出函函数数 的的图图形形 . .练练 习习 题题第22页/共47页三三、 指指出出下下列列函函数数在在指指定定范范围围内内的的间间断断点点，并并说说明明这这些些间间断断点点的的类类型型，如如果果是是可可去去间间断断点点，则则补补充充或或改改变变函函数数的的定定义义使使它它连连续续 . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx

14、 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四四、 讨讨论论函函数数 nnnxxxf2211lim)( 的的连连续续性性，若若有有间间断断点点，判判断断其其类类型型 . .五五、试试确确定定ba,的的值值, ,使使) 1)()( xaxbexfx， （1 1）有有无无穷穷间间断断点点0 x； （2 2）有有可可去去间间断断点点1 x . .第23页/共47页一、一、1 1、一类、一类, ,二类；二类； 2 2、一类、一类, ,一类一类, ,二类二类. .二、二、,), 1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点. .三、三、1 1、1

15、 x为第一类间断点；为第一类间断点； 2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0( kkx为第二类间断点为第二类间断点. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,练习题答案练习题答案第24页/共47页), 2, 1, 0(2, 02,tan)(2 kkxkkxxxxf. .四、四、 1,0, 01,)(xxxxxxf1 x和和1 x为第一类间断点为第一类间断点. .五、五、(1)(1); 1, 0 ba (2) (2)eba , 1. .第25页/共47页三、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连

16、续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如, ,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx第26页/共47页四、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. .例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy第27页/共47页极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;意义意义定理

17、定理3 3.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 例如, ,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy)(lim0 xfxx ).()()(lim000ufxfxfxx 第28页/共47页五、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(

18、log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在第29页/共47页定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xyxaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .第30页/共47页1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内

19、不一定连续;例如, , 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在0 0点的邻域内没有定义. .), 1上上连连续续函函数数在在区区间间 注注:第31页/共47页例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例2 2.11lim20 xxx 求求解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.第32页/共47页一、一、 填空题

20、：填空题：1 1、 43lim20 xxx_. .2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tancos22lim _. .5 5、 tett1lim2_. . 6 6、设、设,0,0,)( xxaxexfx 当当 a_时，时，)(xf在在 ),( 上连续上连续 . .练练 习习 题题第33页/共47页7 7、 函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _. _.8 8、 设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 计算下列各

21、极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；第34页/共47页三三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已已知知)(xf在在 0 x处处连连续续，试试确确 定定a和和b的的值值. .四四、 设设函函数数)(xf在在0 x处处连连续续，且且0)0( f, ,已已知知)()(xfxg ， 试试证证函函数数)(xg在在0 x处处也也连连续续. .第35页/共47页一、一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212 e； 6

22、 6、1 1；7 7、), 2(),2 , 3(),3,( ；8 8、22,0,0,不存在不存在. .二、二、1 1、acos； 2 2、1 1； 3 3；21e. .三、三、eba , 1. .练习题答案练习题答案第36页/共47页六、最大值和最小值定理定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在.

23、 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y第37页/共47页定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.第38页/共47页xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2

24、(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxf第39页/共47页七、介值定理定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba

25、 ，使，使0)( f. .定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 第40页/共47页ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )( )(ba . .xyo)(xfy 第41页/共47页几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一