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1、1第一章 拓扑空间与连续映射 第一节 拓扑空间 2数学分析中连续概念的刻画 311 拓扑空间的定义 4例子 5ex.5 （欧氏拓扑）设r是全体实数的集合， 6拓扑的比较 7 问题1（如何构造具体的拓扑） （1）若x有一个元素，则x上一共有几个拓扑？（1个） （2）若x有两个元素，则x上一共有几个拓扑？（4个） （3）若x有三个元素，则x上一共有几个拓扑？（29个） （4）若x有n（）个元素，则4nx上一共有几个拓扑？(思考题) 8910111213 1.2 由度量诱导的拓扑 1415161718 13拓扑空间中的几个基本概念 闭集 def. 1 拓扑空间x的子集a称为闭集，如果ac是开集。 1

2、9202122 14子空间 232425第二节 连续映射与同胚映射 21连续映射的定义 2627 22连续映射的性质 下列映射一定连续： 2829 23同胚映射 303132下面求f 的逆映射，为此令 333435363738第三节 乘积空间与拓扑基 在第一节中，我们曾提出过如下问题： 问题3 设11(,x ) 和22(,x ) 都是拓扑空间，则如何给出1 xx2 上的拓扑结构？（乘积拓扑） 3.1 乘积空间 39 1 投射：注：是满足这两个投射都连续的最小拓扑。（思考为什么要这样？） 40 2 生成的子集族：生成的子集族：设是x的一个子集族，规定新的子集族 4142类似地，可以给出有限个拓扑空间的乘积空间。 任意多个集合的笛卡尔积 43无限个拓扑空间的乘积空间定义比较麻烦，一般有两种： 44 3.2 乘积空间的性质 45 33 拓扑基想法：度量空间中的开集是若干个互不相交想法：度量空间中的开集是若干个互不相交的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成；的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成；乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基就是从上述方法中抽象出来的。就是从上述方法中抽象出来的。46 pro1. 是集合x 的拓扑基的充分

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