函数的连续性66543PPT课件

1、1-5一、 函数的连续与间断函数的连续与间断二、 初等函数的连续性初等函数的连续性三、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第1页/共77页一、 函数的连续与间断函数的连续与间断第2页/共77页（一）（一） 函数的连续性函数的连续性0yx)(xfy )(0 xf0 x00000 ( )( )( )lim( )()xxf xf xf xxf xxxf x定义：设函数在点 及其邻域内有定义并满足 则称函数在点 处连，点 称为的续连续点.第3页/共77页左右连续：左右连续：定义：定义： 若函若函 f(x) 满足满足00lim( )()xxf xf x00000lim( )() lim( )l

2、im( )()xxxxxxf xf xf xf xf x同理可以定义右连续. 则称函数 f(x) 在点 x0 处左连续。第4页/共77页定义定义2 2：若函数：若函数 y = 在（在（a , b）内每一点都连续，）内每一点都连续， 且在左端点且在左端点a 处右连续，在右端点处右连续，在右端点b处左连续，则处左连续，则称称函数函数 y = f (x)在在 a , b 上连续。上连续。 区间连续区间连续: :定义定义1 1：若函数：若函数 f(x) 在（在（a , b）内每一点都连续）内每一点都连续 ，则称则称函数函数 y=f (x) 在在（a , b）内连续内连续。第5页/共77页0lim0yx

3、连续的定义 1)()(lim00 xfxfxx连续的定义 2)()(00 xfxxfyy的增量函数第6页/共77页（二）函数的间断点（二）函数的间断点连连续续在在0)(xxf处处有有意意义义。在在0)()1(xxf,则一定满足以下条件则一定满足以下条件存在存在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 0 x 如果如果 f(x) 在点在点 x0 不能满足以上任何一个不能满足以上任何一个条件，则点条件，则点 x0 是函数是函数 f(x) 的间断点。的间断点。第7页/共77页1.1.第一类间断点第一类间断点若若 x0 为函数为函数 y = f (x) 的间断点的间断点，则称

4、则称 x0 为为 f (x) 的第一类间断点的第一类间断点.即左即左、右极限都存在的间断点为右极限都存在的间断点为第一类间断点第一类间断点 . . )(lim )(lim 00都存在都存在和和且且xfxfxxxx 00 lim( )lim( ) 若，xxxxf xf x0 ( ) 则为函数 的可去间断点。xyf x第8页/共77页2. .第二类间断点第二类间断点若 x0 是函数 y = f (x) 的间断点， 且在该点至少有一个单侧极限不存在， 则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点., 0 1)(处处无无定定义义在在函函数数 xxxf故 x = 0 是该函数的间断点. ，又因为又因为 1

5、lim0 xx即该函数在 x = 0 处的左、右极限都不存在， 所以 x = 0 是该函数的第二类间断点.， 1lim0 xx例如，第9页/共77页可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x第10页/共77页 ) 1(3) 1()(112xxxfxx例例1 1解解)1(2lim)(lim11112fxfxxxx所以所以x =1=1是间断点是间断点求函数 的间断点（可去间断点）第11页/共77页例例2 2 (01)( )1 (12)xxf xxx 所以所以 x =1=1为间断点为间断点11lim1lim(1)0 xxxx左右

6、极限存在不相等左右极限存在不相等求函数间断点解解（第一类）（第一类）第12页/共77页答 x=0=0为为间间断点断点1yx 例例41( )sinf xx 答 x=0是其间断点是其间断点例例3 3 求函数 的间断点求函数 的间断点（第二类第二类）（第二类）（第二类）第13页/共77页20 (1)21 (12)1 (2)xyxxxx 分界点为分界点为 x =1,=1,x =2=2, 00lim)(lim11 xxxf（i i）当）当 x=1=1时时 所以所以 x= 1 是函数的第一类间断点是函数的第一类间断点11lim( )lim(21)3xxf xx 例例5 求函数间断点解解第14页/共77页2

7、2222lim( )lim(21)5lim( )lim(1)5xxxxf xxf xx（iiii）讨论）讨论 x=2 =2 而而f(2)=5 (2)=5 所以所以x= 2是函数的是函数的连续点连续点20 (1)21 (12)1 (2)xyxxxx 例例5 求函数间断点解解第15页/共77页二、 初等函数的连续性初等函数的连续性第16页/共77页定理定理1 1 设设 f( (x),),g( (x) )均在点均在点 xo 处连续处连续, ,则则0( )( )( ),( ()0)( )f xf xg xg xg x)()(xgxf定理定理2 2 一切初等函数在其定义区间内都是连一切初等函数在其定义区

8、间内都是连续的续的. .也在 xo 处连续两个结论：第17页/共77页.1elncoslim221xxxxxx求解解 由于被求极限的函数是初等函数，由于被求极限的函数是初等函数，x=1是其定义是其定义区间内的一点，所以区间内的一点，所以21222111e1ln1cos11elncoslimxxxxxx例例.2e1cos第18页/共77页例 求下列函数的间断点，并写出连续区间解：（1）f(x)是初等函数，使其无定义的点为 x2-1=0，即x=1， 故f(x)的间断点为 x1=1，x2=-1。 f(x)的连续区间即是其定义区间：(-，-1)(-1，1) (1，+)。第19页/共77页解（2）f(x

9、) 是分段函数，其间断点只可能在分段点 x=0 处出现，究竟 x=0 是否为 f(x) 的间断点，还需进一步判定。显然，f(x) 在 x=0 处有定义，但1) 1(lim)(lim200 xxfxx0sinlim)(lim00 xxfxx的间断点。是不存在，故即)(0)(lim0 xfxxfxf(x) 的连续区间为例 求下列函数的间断点，并写出连续区间(-，0)(0，+)。第20页/共77页三、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第21页/共77页试作试作闭区间上连续函数的图形闭区间上连续函数的图形问问: :图形有何特点图形有何特点oxyab)(xfy 1x第22页/共77页ab2

10、1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. .第23页/共77页xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. . 1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.注意:第24页/共77页定理定理 2(2(介值定理介

11、值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末， 对于那末， 对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数 C， 在开区间， 在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )( )(ba . . ACM1 2 2x1xxyo)(xfy BN.)(有一个交点至少直线与水平连续曲线弧Cyxfy几何解释:第25页/共77页几何解释:.,)(轴至少有一个交点曲线弧与则轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧xxxfy ab3 2 1 xyo)(xfy 000(

12、)0,( ).xf xxf x 如如果果使使则则称称为为函函数数的的零零点点第26页/共77页例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理,使),1 , 0(, 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内内至至少少有有一一根根在在方方程程 xx第27页/共77页第28页/共77页1.1.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy.0为函数的第二类间断点x.断断

13、点点这这种种情情况况称称为为无无穷穷间间0)(lim0 xfx)(lim0 xfx第29页/共77页的第二类间断点.2.2. 证明 x = 1 是函数 113)( xxf证证所给函数在 x = 1 处没有定义， 因此 x = 1 是它的间断点，又因为 , 03lim111xx因此， x = 1 为所给函数的第二类间断点 .3lim 111xx第30页/共77页o1x2x3xyx xfy 3. 根据图形判断下列间断点类型:跳跃（第一类）无穷（第二类）可去（第一类）第31页/共77页4.4.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解,)0(af

14、 xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx ,a ),0(f)(lim0 xfx)(lim0 xfx要使, 1 a,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf第32页/共77页5.5.设1,1,11)(2xAxxxxf，要使 连续,求)(xf. A 解：解：数，在分段区间内是连续函)(xf处连续即可。连续，只要分界点要使1)(xxf)(lim1xfxA) 1(fxxx11lim212A xxxx1)1)(1lim12) 1()(lim1fxfx即第33页/共77页即是定义区间为初等函数，连续区间)(xf没有定义的点间断点就

15、是)(xf函数函数23sin)(2xxexxxfx在在,内间断点个数是（内间断点个数是（ ） 解解.)(2, 1, 0的间断点是故xfxxx6.6.第34页/共77页解：)(lim0 xfx)(lim0 xfxlnb1)0(f)b(lnlim20 xxx)(lim20 xaxeb, 1 a处连续，在0)(xxf)0()(lim0fxfx连续，在),()(xfa7.7.第35页/共77页设0,0,2sin)(xxaxxxxf，要使，要使 在在)(xf0 x处连续，处连续，a= =（ ） 解：解：)(lim0 xfx)(lim0 xfxa2af)0()(lim0 xaxxxxsin2lim02 a

16、处连续，必须在点函数要使0)(xxf)0()(lim0fxfx)0()(lim)(lim00fxfxfxx8.8.第36页/共77页0 , 1, 0 , 0, 0 , 1)( xxxxxxf考察函数在点x=0处的连续性., 1) 1(lim)(lim00 xxfxx故 x = 0 是函数 f (x) 的间断点.9., 1) 1(lim)(lim00 xxfxx解)(lim)(lim00 xfxfxx.)(lim0不存在xfxxy0 01 xy1 xy11第37页/共77页0 , 1, 0 ,)( 2xxxxf考察函数在 x = 0 是否为函数f(x)的间断点.10.解, 0lim)(lim20

17、0 xxfxx, 1)0(f)0()(lim0fxfx即x=0是函数f(x)的间断点.xy112xy o第38页/共77页11.11.)1()(22 xxxxxf解：解： 函数在函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义处没有定义所以所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点是函数的间断点求函数 的间断点第39页/共77页1、函数的连续与间断，间断点类型; 2、初等函数的连续性，两个结论; 3、闭区间上连续函数的性质，三个定理*注意注意： 1闭区间； 2连续函数这两点不满足则三个定理不一定成立v小结第40页/共77页第41页/共77页本 章 练 习 题第42页

18、/共77页1ln(1)yx1. 求函数的定义域：1011xx 解：要使函数有意义，必有12xx(1,2)(2,)所以函数的定义域为函数练习题第43页/共77页2. 2. 求函数的定义域： 2411xxy04012xx12xx122xx 2 , 1 () 1 , 2解：要使函数有意义，必有所以函数的定义域为第44页/共77页3 . 求函数29) 1ln(1xxy的定义域。 1101xx21xx092 x 33x 3, 2()2 , 1 (解： 这函数是两项之和，由第一项有： 由第二项有： 取两者之交集即为所求之定义域：第45页/共77页)(xfy )(ln xfy ,1 e), 1 ,1 2e1

19、,02ln0 x20exe)(ln xf, 1 2e4 . 若函数的定义域是0，2，则的定义域是( ) 。 B. C. D. 解：由 有 得的定义域为故应选C A. 第46页/共77页1002xxxeyx1 ,(5. 求解 这是分段函数，其定义域应是两段函数定义域的并集，即为：的定义域第47页/共77页6. 已知 求函数的定义域， 。 2210( )log02xxf xxx(0),(1),(2)fff解：函数的定义域为2 ,(110)0(2f01log) 1 (2f12log)2(2f第48页/共77页1)( xxf( ( )1)( )ff x 7. 设 ，则) 1)(xff1) 1)(xf(

20、 )2f x(1)23xx解:第49页/共77页xxf1) 1()2(f8. ，则 3x31)2(f1 xu11( ) ( )11f uf xux31121)2(f解法1 将代入原式有： 解法2 令则由题设有： 第50页/共77页0102)(xxxxxfy( 1)f 2()f a()xf e(1) ( 1)1( 1)2f 02a222)(aaf0 xexxeef 2)(9 .设 求：（1） （2） （3）解 （2） （3）第51页/共77页10.10. ,)1(2xxf 设设).12( xf求求解 令 u = x 1, 得 f (u) = (u 1)2,再将 u = 2x 1 代入,即得复合函

21、数.)1(41)12()12(22 xxxf第52页/共77页57) 1(lim1233xxxx求极限例分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。62485373) 13(57lim) 1(lim57) 1(lim232333233解：xxxxxxxxx极限综合练习题(一)第53页/共77页. 01coslim1cos1cos1|1cos|00lim00 xxxxxxxxxxx是无穷小量，于是有知，是有界变量，由性质可，即又时的无穷小量。是，即解：因为01 lim cosxxx例2.第54页/共7

22、7页例3 求下列极限：52312lim)2(3213lim) 1 (22232xxxxxxxxx32523112lim52312lim)2(01032113lim3213lim) 1 (222233232xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：第55页/共77页)(lim0011)(40 xfxxxxfx，求设例解： 当x从0的左侧趋于0时， 1) 1(lim)(lim00 xxfxx 当x从0的右侧趋于0时,11lim)(lim00 xxxf不存在。，所以因为)(0lim)(0lim)(0limxfxxfxxfx第56页/共77页例5 求下列极限11lim)2(965lim) 1 (220

23、223xxxxxxx分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的 极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为： 若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）； 若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。第57页/共77页解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。61332332lim)3)(3()3)(2(lim965lim33223xxxxxxxxxxxx再求极限。去致零因式，把分母有理化后，消分子、分母

24、同乘以) 112()2(x2) 11(lim11) 11(lim11lim202220220 xxxxxxxxx第58页/共77页)(sinsinlim60均为常数，求极限例babxaxx两个函数乘积的极限，于是可把上极限化为解：因bxxxaxbxaxsinsinsinsin求解。又当x0时，ax0，bx0，于是有bababxbxbaxaxabxxxaxbxaxxxxxx1111sin1lim1sinlimsinlimsinlimsinsinlim00000txttsinlim7求极限例xxxtxtxtxttttxtxtt1)sin(limsinlim0是无穷小量，于是有，即时，是变量，当解：

25、在极限过程中，第59页/共77页220sin11lim8xxx求极限例分析：当x0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第1个重要极限。 ) 11(2 x21211111limsinlim) 11(sin11limsin11lim202202220220解：xxxxxxxxxxxx)()1 (lim9为常数求极限例knknn个重要极限求解。，即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型，无穷小是无穷小量，符合“，即时，分析：当”）无穷大21 (0nknknkkknnnnenknk)1(lim)1 (l

26、im解：第60页/共77页)()1 (lim1010为常数求极限例kkxxx极限求解。个重要”，即可利用第”的倒数“配成“”型，再把无穷小）“于是无穷大量，即极限属是无穷小量，时，分析：当无穷大2111 (10kxkxxxkxxkkkxxxxekxkx)1(lim)1 (lim1010解：3)5(lim11xxxx求极限例5355331)51(lim)51 (lim)51 (lim)5(limexxxxxxxxxxxx解：第61页/共77页nnnn)13(lim12求极限例444141)11 (lim)11(lim)11 (lim)13(lim14114141141131eetttnntttt

27、tnntntntnnnnnn，于是有：时，且当，即故令因为：解法解法2：413133)11(lim)31(lim)11 (lim)31 (lim)1131(lim)13(limeeennnnnnnnnnnnnnnnnnnn第62页/共77页xxxx31) 3(1lim130求极限例形后再求极限。式，一般采用先通分变”型未定属“均趋于无穷大，此极限与时，分析：当xxxx3131091)3(31lim)3(3)3(3lim31)3(1lim000 xxxxxxxxxx解：xxxxtancos1lim140求极限例分析：当 x0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍

28、“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。第63页/共77页xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcos1cossin)cos1 (cossinsin)cos1 (tancos1)cos1 (tan)cos1)(cos1 (tancos122解：21211cos1coslimsinlimtancos1lim000 xxxxxxxxxx所以，1sinlim152xxxx求极限例解：因当x时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到 xxxxtancos1lim140求极限例第64页/共77页是无穷小量

29、，即的性质，是有界变量，由无穷小，即是无穷小量，而时，即xxxxxxxxsin12sin1sin1201sinlim2xxxx0111lim1lim22xxxxxx1sinlim152xxxx求极限例解:第65页/共77页)4421(lim22xxx2224lim()(2)(2)4xxxxx22lim(2)(2)xxxx211lim(2)4xx解1. 求极限:)4421(lim22xxx极限综合练习题(二)第66页/共77页1) 1sin(lim21xxx 解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 ) 1)(1() 1sin(lim1) 1sin(lim121xxxxxxx11lim1) 1

30、sin(lim11xxxxx2111112.求下列极限：第67页/共77页解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即xxx33sin9lim0 xxx33sin9lim0)33sin9()33sin9)(33sin9(lim0 xxxxx003sin31limlim39sin33xxxxx216133. 求下列极限：第68页/共77页15510) 13()23() 12(lim4xxxx求极限例分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。解：分子分母同除以x15，有 101551015510151555101015510)32(332)13()23()12(lim) 13()23() 12(lim) 13()23() 12(limxxxxxxxxxxxxxxx第69页/共77页)cos