核心素养视角下培育思维模式的实践策略

1、核心素养视角下培育思维模式的实践策略随着 教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务意见的正式引发， 我国教育界各级人士纷纷积极响应，学校教育也将迎来课堂转型的多方挑战， “核心素养”理念的 提出，指导、引领中小学课程教学改革实践。STE M教育的践行者贾炜指出当前教育的现状：做题比较多、实践比较少；分科学习比 较多、综合学习比较少；被动式学习比较多、主动式学习比较少；各自为阵的学习比较多、 团队合作的学习比较少。 如何处理好这些矛盾有助于我们寻找有效的教学模式， 从而更好地 落实“核心素养”的理念。一、数学学科的核心素养首先我们先理解素养的概念， “素养”在英汉字典中的释义是： “平日的

2、修养” ，将其拆 分成两个字时，发现其中的“素”可引申为“本来的” ，而“养”可引申为“培育” 。由此可 见，“素养”具有培育本真的属性。因此数学核心素养指的是在数学知识、 技能的学习过程中， 感悟该学科的核心思想与方 法从而形成必备的学科观念、 学科能力， 并掌握学科本质。 因此数学核心素养依赖于数学知 识与技能，又高于数学知识与技能，凌驾于数学思想与数学方法之上。二、思维方式培养的重要性学生的数学素养不是老师能教会的， 而是在掌握数学知识的基础上， 通过数学活动逐步 形成的。 在数学知识的教学中寻找培养学生核心素养的途径，应该是我们思考问题的基本出发点。数学是思维的科学，人民教育出版社教研

3、室主任章建跃在 2016 年浙江省高中数学“疑 难问题解决”会议中指出：推理是数学的“命根子” ，运算是数学的“童子功 ”，思维训练的 载体就是推理和运算。在教学过程中，必然会有解题教学，一线教师首先要关注“小巧” （就题论题） ，更要在 中巧（就题论法）下打功夫，也要涉历大巧（以题论道） ，只有涉及了后面两种境界学生的 思维才能逐步打开， 学生看问题的方式就能更为广阔， 我们以一类数列求和问题作为我们讨 论的对象。典型案例：数列求和问题以近两年的浙江省模拟卷以及高考压轴题为例， 很多学生看到数列与不等式结合的题目 就直摇头， 觉得放缩的技巧太过特殊， 很难找到固定的解法。 其实对于此类问题只

4、需了解到问题的本质是求和， 无论题目怎么变， 就是将不能求和的数列转化为能求和的数列。不妨来看几个例题：接下来例1、求证:1 1川(2n1)(2n 1) ：2(n N)(PPT中展示:12 :n1£ 2n -n分析：用到的解题技巧即为裂项相消:11 11丄丄()，而问题(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1的实质就是求和冋题。变式1、求证：1 1 11歹于川苕如N)分析：左边是一个无法求和的式子， 故应该通过适当的技巧将其转化为能够求和的结构,将其看成为数列 $的前n项和，对通项进行放缩处理In J(n _ 2)，便可通过n(n -1)裂项相消得到结果。1117变式2、求

5、证：1 二 22 (n N )22 32n2 4分析：变式2的结论比变式1强，需要将放缩的“度”进行修正，如何修正？1 1 1思路1:由于误差 丄 占二丁丄 会随着n的增加逐渐减少，因此可以尝试保 n(n -1) n n (n -1)留前2项，从第三项开始放缩(戏称“留一手”);r1" -丄(打川(122n -1 n 4717-<-n 41思路2:由于误差一1n(n T) n22 会随着n的增加逐渐减少, n (n T)能否将两者的误差变得更小?由于$ :n(n 1)(n -1)(n -2)，且(n 1)(n -1) n2 n(n -1)1三，因此我们从 n放缩的程度上下手也可

6、得到相应的结论。由此我们不难得到针对变式3的做法:变式3、求证:11151 22 32 川 乂寸 N)分析：变式3的结论比变式2更强，需要将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正?思路1 :多保留几项，但是这个代价相比较高，因为越到后面运算的要求越高，因此此法建议仅在理论上可行，不建议用于实践。1思路2 :如果依照上述的方式，我们将目光依旧聚焦在的处理之上，不妨去寻找一n一 1111个更为“逼近”的放缩方式，如：22 (n_2)，显然是成立的。n 21 n 1 n-nn 一41 1 1因为2()(n _2),因此上述不等式是成立的。2 1、2n-1 2n +1 八>n _41放缩法的证明

7、过程要像“秋风扫落叶”一样干脆利落！针对通项为2放缩方法不同，n得到的结果也不同，显然问题的上界满足关系5<7 <2，故后一个结论比前一个结论更强,34也就是说如果证明了变式 3，那么变式1和变式2显然成立。对 厶 的3种放缩法体现了三nnn2种不同的“境界”，得到-r的三个“上界”，其中-最接近无穷级数和.，其心 k3k=1 k6二2中为该级数和的上确界，而6715与Y之间的误差已经控制在310工数量级内，因此在精度要求不高的前提下可以忽略，这对于实际应用具有特殊的意义。放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，由于很多时候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项

8、或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放的过大或缩得过小。13-2丄丄32 -2 33 -2：?(n N )2(PPT中展示：如何处理通项为1n na b(a b 0)的数列放缩)分析：此数列的通项与案例1的稍微有些不同，无法放缩成裂项相消的结构，从而得到不等式左端的近似解，却可以放缩成等比数列进行求和。思路2 :利用数列的单调性进行放缩：将通项适当地变形为32，又因3"扣为1 -冷随着n单调递增,3n13(一#)3n(v|)丄，这样又可以得3n思路1:利用“糖水”不等式：131皿“护N)，然后右侧便可求和;到上述一样的结果。1173-2 32 -2 33 -23

9、2：詁 N)17 3分析：由于，因此命题又加强了，必须对原来的两种思路进行改进，对思路1,142由于前几项的误差太大，因此只能采用“留一手”，经计算若留两项放缩的结果为55422038留三项放缩的结果为，而利用数列的单调性“保留”一项即可，这个主要的原因就在1575于后一种方法所产生的误差小于前者所产生的误差。变式2、亡七？川占挣"N)也可以用类似的方式进行放缩求和，最后证明命题。我们亦可去思考另外一类递推型数列也可用类似的方式去思考。如浙江省2015年理科数学高考压轴题第 20题，在证明第二小问的时候可以通过裂项相消来得到an的取值范围。案例3、已知数列an满足a11=且 an -

10、1(i) 证明：1 _-a _2(n N”)；an十S(n)设数列a2的前n项和为Sn,证明： 一 "- (n，N”).2( n+2)n 2(n+1)解析：(i)略(n )由题意得a：二a. -a. 1 ,所以Sa -a .因为a. 1二可-玄,所以111 （an 1an1_an1 1.1 _ -an 1 an1 1化简可得： an1_（nN ），因此,2（n 十1）n+2an“十亠11-_ 2，从而有n2n .an 1an -1 ai1Sn1nn N .2 n 2 n 2（n 1）在高考制度的重压之下， 学生的学习负担很繁重,教师的教学课时也很紧张，赶、抢教三、拓展教学的模式与时空

11、学进度的学校也很多。因此，大部分数学教师在日常教学活动中主要还是使用“传授-演练、一个知识点几项注意”的教学模式，在课堂中也存在许多被冠以“情景”“探索”之名的活动，由于受到课时的限制，大部分教师都未给学生充足的时间与空间供学生思考与探索，并未能达到培养学生数学核心素养的根本目的。我国著名教育家叶圣陶曾说：凡为教，最终目的都在于达到不需要教。学生是学习的主体，在数学课堂上我们教给学生的不仅仅是数学知识与方法，还有更为重要的是思考问题的 方式。一个人的能力能持续提高，但是思维方式应该早早养成，我们经常说的思维定势就是这个道理。为了培养我校学生的创新思维， 我校组织学生积极参加数学建模活动。 对于

12、大部 分的高中生而言，数学建模是一种新生的事物，其实它与传统的数学竞赛有很大的区别， 它 的目的在于培育而不是培优，从定位上就可以发现数学建模参与群体比数学竞赛更为广泛。曾有学生这样问我：学生A:老师，我觉得一些生活中的问题用数学的观点去理解非常酷，但是我觉得数学 学得不是很好，你觉得我也能来参加吗？学生B: “老师，我一直以来不知道学数学有什么用，所以数学学得就不上心，我想通 过咱们这个课自救一下，您看我这样的可以选课吗？”那么什么是数学建模呢？所谓数学建模就是针对一个现实的问题（非理想化），用已有的知识体系（或是现学的知识）对问题进行适当地简化， 利用自己的思维模式去构建符号化体系，接着通

13、过一些编程软件实现问题的求解与表达， 最后得出原问题的一种解决方案。数学建模的解答具有开放性，即学生只要给出的方案是有效合理的，不管结果是否给出都应给予肯定，因为想法比结果更为重要。那么如何在高中开展数学建模活动呢？如果仅通过阅读几篇优秀论文或几次经验交流会，那么学生最大的感慨就是： 老师好牛， 知识好难！这样的话，会将很多同学关在数学建模的“大门”之外，或者觉得自己很笨，听 不懂高深的数学模型。 数学建模活动对学生的学科要求门槛较低， 只需要有对建模问题有自 己的想法， 并有较强的意志品质均可。 为了让学生能更好地体验数学建模， 并使学生在活动 过程中得到自我的升华，我校依托本校的学生社团以

14、及校本课程进行了为期四年的教学实 践，经过四年的努力已取得一定的效果。目前形成了较为稳定的培育模式：前期培训： 对所有建模学员进行培训， 介绍一些高等数学的基本知识便于后期阅读各类 建模书籍以及聆听各类学术报告。 期间， 还会邀请社会中的成功精英来校讲述思维模式的重 要性并给予一定的指导意见。校本课程： 在学校开展的校本课程中，培训教师主要介绍一些数学建模中经典的模型。 在培训过程中不是直接给出模型， 而是先让建模学员发表自己的见解， 然后遇到问题集体讨 论不断地攻克难题，最终引出经典模型，体会前人思考问题的方式。学生社团： 依托学校的学生社团，让全体建模学员开展研究性学习。通过小组的形式，

15、每个小组定期汇报一个数学模型， 这样一方面开阔了学生的视野， 另一方面也锻炼了学生的 团队意识以及语言表达能力。参加竞赛： 关于高中生的数学建模比赛， 目前中国的学生参加的主要有国际数学建模挑战赛（中学）（IM2C）、美国高中生数学建模竞赛（ HIMCM ）以及清华大学“登峰杯”数学 建模比赛，我校主要参加由美国数学与应用协会主办的HIMCM（ PPT展示近2年我校的建模成绩 ），今年 12 月份首次参加“登峰杯”数学建模比赛，学生只有通过这种正式的比赛， 团队之间的思维才能迸发更为精彩的火花，学生才能实现真正的成长。学员的转变当一个孩子参与数学建模活动， 并与自己的小伙伴们一起参加过一两次竞

16、赛， 有了几天 几夜不眠不休地“团队作战”的创新经历后，他们也必将蜕变成一个个“思想达人”。由于数学建模的问题与实际相关， 学生能将数学知识应用到实际问题中， 让学员体会数 学的实用性。思维的蜕变一定会显化为具体的表现形式，比如：我校某建模学子参加复旦大学自主招生面试时， 遇到这样一道面试题： 如何估计上海的 公共厕所的个数？她是这样回答的（片段） ：关于厕所的统计，首先必须了解一个公共厕所 所能满足的人群数量， 然后结合本市的常住人口进行简单的估计， 当然上海作为国际大都市， 很多的公共设施要求会比一般的城市要求要高， 因此我们必须了解这个差异性的系数， 才能 更准确地进行估计。 这样的开放性问题， 更能体现学生的综合素养与思维方式， 对于这种没 有标准答案的问题，更应该成为选拔优秀人才的方式之一。近几年比较时髦的网约车或导航软件， 建模学员能通过其实现的功能， 通过数学的方式 进行描述，将其理论基础归结为最短路问题； 由于自己邮箱以及手机经常收到一些垃圾短信， 通过分析垃圾短信发送者的“通信指纹” ，撰写了一篇如何治理垃圾短信的论文；在第 二届的 “登峰杯”比赛中， 通过分析城市交通拥堵产生的主因， 并结合驾驶员个体存在的趋 利心理， 撰写了一篇 基于博弈理论浅谈交通