必修4第三章三角恒等变换测试题

1、第三章测试（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. sin 105c0s105 的值为（）1A-413D-解析工亠111原式=2$i n210 = qSi n30 = 4-答案B1 n n2.若 si n2a= 4，4<a<2，贝y cos a- sina 的值是()“3 亚A. 2B.- 23C43D- 4解析13(cos a- sin a)2= 1 si n2 a= 1 4=4.n n3Y又 4<a<2, coso<s in a, cos a sin a=答案

2、 B4a3.已知 180 ° a<270 ° 且 sin(270 +°)=5 贝S tan?=(D. 3C. 2答案 D4.在 ABC中，/ A= 15° 贝S V3sinA cos(B + C)的值为( 厂V2A. 2B. 2C.D. 2解析在厶ABC中，/ A+/B+/ C= n,3sinA cos(B + C=3sinA + cosA2( 231sinA + cosA)=2cos(60 A)= 2cos45 = V2.答案 A1 15.已知 tan 0= 3,则 cos2 e+ 尹n2B等于()A.B.C-56解析原式=co$ 0+sin 8

3、cos0= 1 +tan 0 = 6 cos2 0+ sin2 01 + tan2 0 5.答案 D6.在 ABC中，已知 sinAcosA= sinBcosB，则 ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形n解析 V sin2A=sin2B,./ A=Z B,或/A+/ B=答案 Dx2l37.设 a=(sin17 +cos17°, b= 2co$13° 1,，则()B. b<c<aD. b<a<cA. c<a<bC. a<b<c解析a=sin17 +cos17 = cos(

4、45 17 ° = cos28 ,b= 2cos213° 1 = cos26 ；c= 2 =cos30°V y= cosx在(0,90 )内是减函数，二 cos26°cos28°cos30° 即 b>a>c.答案 A8. 三角形ABC中，若/ C>90 °则tan Ata nB与1的大小关系为 ()A. tanAtanB>1B. tanAtanB<1C. tanAtanB= 1D.不能确定解析 在三角形ABC中，v/ 090°, / A, / B分别都为锐角.则有 tanA>0,

5、 tanB>0, tanC<0.又V/ C= n (/A+/ B),-tanC= tan(A+ B)=tanA+tanB1 tanA tan B<0,易知 1 ta nA ta nB>0, 即 tan A tan B<1.答案 B9. 函数 f(x) = sin 2 222 sin2x+ 2 cos2x=f+ "sin(2x+ 4).t x R,二当sin2x + j = 1时，y有最大值1； 2; x+4 sin2 x4 是()A. 周期为n的奇函数B. 周期为n的偶函数C. 周期为2 n的奇函数D. 周期为2 n的偶函数nn解析f(x)= sin2

6、x+4 sin2 x4=cos2 才x sin2 x=cos2 x 4 sin2 x 4n=cos2x 2=sin2x.答案 A10. y= cosx(cosx + sinx)的值域是()A. 2,2B呼C.D. 1,解析y= cosFx + cosxsinx=1 + cos2x 1-2+ sin2x当sin 2x+=- 1时，y有最小值1 2 2二值域为宁，宁答案 C11.2COsl° °sin20 的值是(sin70A.1C. 3D. 2解析原式二2COs?30 °20sin20sin702?cos30 Cos20+sin30 °n20? sin20

7、=sin70_ V3cos20 ° 3=Cos20 ° 3.答案 C12312.若 a, B 为锐角，C0s(a + ®= 13， C0s(2a+ ® = 5，贝"COSa的值为（）56A A.6516B-65C655或 eiD.以上都不对12解析 T 0< a+ 仟 n, C0S(a + ® =13>0,0< a+吋，sin(a+ ® = 13/ 0<2a + 仟 n C0S(2a + ® = 55>0,n4 0<2a + 仟2，sin(2a+ ® = 5.-COS

8、a= COS(2 a+ ® ( a+=COS(2a+ ®COS(a + ®+ Sin(2 a+ ®Sin(a+ ®3 12 4 556=5P + 5吊=65.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中横线上)13. 已知 a, 3为锐角，且 cos(a + 0 = sin( a 则 tan a=解析 t coS(a + 0 = sin (a 0),cosocosp sin asin 3= sin ocosp coso(sin 0coso(sin 3+ cos0 = sin o(sin 3+ cos®.t 3

9、为锐角，二 sin p+ cos 0cosa= sin a,tan a= 1.答案1114. 已知 cos2a= 3，贝S sin4 a+ cos4 a=.1 解析 T cos2a= 3, Sin22 a= 9.2cosa二 sin4 a+ cos4 a= (sin2 a+ coS2 a 2sin2 acoS2 a=1-121 85-sin22 a= 1>9 = &答案5915.Sin?a+ 30 °+ coS?a+ 60 °=解析t sin(a+ 30° + cos(a + 60° = sino(cos30° + cososin

10、30 °cosacos60 ° sincsin60 =cosa.原式=COS a 12C0Sa= 2.1答案1nn16.关于函数f(x)= cos(2x 3)+ cos(2x +石)，则下列命题： y=f(x)的最大值为2; y=f(x)最小正周期是n; y=f(x)在区间盘，罗上是减函数； 将函数y= 2cos2x 的图象向右平移 労个单位后，将与已知函数的图象重合.其中正确命题的序号是.nn解析 f(x) = cos 2x 3 + cos 2x+6n n n=cos2x 3 + sin 一2x+ 6nn=cos2x 3 sin 2x3= 2 _22cos2x扌-承n 2

11、xn=2cos 2x3 +=2cos 2x,y=f(x)的最大值为(2,最小正周期为n,故，正确.n 13 n 上24，24 上n 13 n tn亠 n又当 x 24,莎时，2x 1 0，n. y=f(x)在刃是减函数，故正确.由得y- 2cos2x 2n = ', 2cos2x芸，故正确.答案三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤）x/217. (10 分)已知向量 m一 cosaE, 1 , n (sinx,1), m 与 nn为共线向量，且a 2，0 .(1)求 sin a+ cos a 的值;(2)求.sin2a 的值. Sin a co

12、s a解（1）T m与n为共线向量, coSa¥ X1 ( 1) x sin= 0,即 sina+ COSa=彳.2 2(2) T1 + sin2a= (sin a+ cos"2=9, sin2a- 7.2 16(sin a cos"2= 1 sin2 a= "9.n c .又 T a 2 , 0，二 sin a COSo<0._4-Sin a cos a一 一 3._ 7sin a cos a 12.sin2a3 nn1 + tan a1 tan a2 2sin a+ "4 cos a+ 418.（12分）求证：cossn2 2si n

13、 a+ 4 + 2 cos a+ 4cos a Sin a证明 左边=?co$ a+ sin2 0?co$ a- sin2 a?2-2co& a+ 4cos2 a sin2 an1 cos 2 a+ 2 cos2 a sin2 a_ 1 + sin2 a?sin a+ cos a?2cos2 a sin2 a cos2 a sin2 acosa+ sin a 1 + tan a cos a sin a 1 tan a原等式成立.19. （12 分）已知 cosxn_ x n 3510，xu 2， 4 .（1）求sinx的值;求sin 2x+ 3的值.解(1)解法1:丁 x二 x-74n

14、4,于是sin1cos2 xn _警n nsinx=sin x4 + 4. n nn n=sin x 4 cos + cos x 4 sin&=口/ + 二/=10 a2 + 10 a2=4=5.解法2:由题设得 孑沁+承inx=希1即 cosx + sinx=.5又 sin2x + cos2x= 1,从而 25sin2x- 5sinx 12= 0,4解得sinx= 5或sinx=35,因为xn2,所以4Sinx=：5cosx=1 sin2x=1- ：2=35.24sin 2x= 2sinxcosx= 25.27cos2x= 2cos x 1 = 25.n二 sin 2x+ 3=sin

15、2xcos§ + cos2xsin324 + 7j3 =_50 .,3x . 3xx . x20. (12 分)已知向量 a= cos, sinq , b = co$2， sin2 , c=(.3,- 1),其中 xR.(1) 当a丄b时，求x值的集合；(2) 求|a ©的最大值.解 (1)由a丄b得a b = 0,3x x . 3x x 门即 cosycossinysin2 = 0,则 cos2x = 0,得 x= k2n+ 4(k Z), X值的集合是x x=牙+才，k Z .(2)|a c|2 = cosj 32 + sin3x + 1 23x23x3xcosy +

16、3+ sin2 + 2siny +1则| a c|2的最大值为9.I a c|的最大值为3.21. （12分）某工人要从一块圆心角为45。的扇形木板中割出一块 一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm,求割出的长方形桌面的最大面积（如图）.连接 0C,设/ COB= 0,贝y 0°0<45°, OC= 1.t AB= OB OA= cos 0 AD= cos 0 sin 0,二 S矩形 abcx AB BC= (cos0 sin 0) sin 02 1 1=sin2 0+ sin 0cos 0= ?(1 cos2 0+2sin2 0=*(si n2 0+ cos2 0) 1二子cos20 n12.当 2 0 n= 0, 即卩 0=8时，Smax= 22 1 (m2).二割出的长方形桌面的最大面积为m2.22. (12 分)已知函数 f(x) = sin( n wXcoswx+ cos2®*®。)的最小正周期为n.(1)求 w的值;1(2)将函数y= f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标n不变，得到函数y= g(x)的图象，求函数g(x)在区间0,上的最小值.解 (1)因为 f(x) = sin( n 3 C0S3 汁 cog 3X所以 f(x) = sin