四川省联测促改活动数学理工类

1、四川省2019年“联测促改”活动数学(理工类)一、选择题：1.集合，则 ( )a. b. c. d. 2.复数的共扼复数是 ( )a. b. c. d. 3.“”是“”成立的 ( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c. 充要条件 d. 既不充分又不必要的条件4.编号为1,2,3,4,5,6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法 ( )a.60种 b.120种 c.240种 d.480种5.已知菱形abcd的对角线ac长为4，则 ( )a.2 b.4 c.6 d.8 6.设a,b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法准确的是 ( )a. 若a，则a b. 若ab，a

2、，则b c. 若a，b，则ab d. 若ab，a，则b7.函数的零点个数为 ( )a.1 b.2 c.3 d.4 8.某算法程序框图如图所示，若，则输出的结果是 ( )a. b. c. d. 9.已知abc的周长为,且.若abc的面积为,则角c的大小为( )a. 30° b. 60° c. 90° d. 120° 10.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于a,b两点,分别过a,b作抛物线的切线,则与的交点p的轨迹方程是 ( )a. b. c. d. 二、填空题：11.二项式的展开式中的常数项是 12.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方

3、形,俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为 .13.已知a,b是正数,且,则ab的最小值为 .14.过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于a、b两点,若满足的直线l共有3条,则实数 .15.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为。现有下列命题:已知p (1,3)，q() ()，则d(p,q)为定值；原点o到直线上任一点p的直角距离d (o, p)的最小值为;若表示p、q两点间的距离，那么；设a(x,y)且，若点a是在过p (1,3)与q(5,7)的直线上，且点a到点p与q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点a只有5个.其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)四川省2014

4、年“联测促改”活动数学(理工类)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题（本大题 共5个小题，每小题5分，共25分）11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了6位同学，这6位同学的成绩(分数)如茎叶图所示.求这6位同学成绩的平均数和标准差;从这6位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况，设为这两位同学中成绩低于平均分的人数，求的分布列和期望.17.( 12分)学校餐厅每天供应500名学

5、生用餐,每星期一有a, b两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选a菜的,下星期一会有改选b菜;而选b菜的,下星期一会有改选a菜.分别表示第个星期选a的人数和选b的人数.试用表示，判断数列是否成等比数列并说明理由;若第一个星期一选a神菜的有200人，那么第10个星期一选a种菜的大约有多少人?18. (12分)已知向量，函数.设，x为某三角形的内角，求时x的值;设，当函数取最大值时，求cos2x的值.19. (12分)已知四棱锥p-abcd中,pb平面abcd,底面abcd是直角梯形,abc=bcd=90°,pb=bc=cd=ab.q是pc上的一点,且pa平面qbd.确定q的位置;求

6、二面角q-bd-c的平面角的余弦值.20.(13分)巳知椭圆的离心率是.若点p(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程;若存在过点a(1,0)的直线，使点c(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.21.(14分)已知函数.求函数在处的切线方程；当时，求证：；若，且对任意恒成立，求k的最大值.四川省2014年“联测促改”活动数学(理工类)一、选择题：1.集合，则 ( c )a. b. c. d. 2.复数的共扼复数是 ( b )a. b. c. d. 3.“”是“”成立的 ( d )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c. 充要条件 d. 既不充分又不必要的条件4.编号为1,2,

7、3,4,5,6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法 ( c )a.60种 b.120种 c.240种 d.480种5.已知菱形abcd的对角线ac长为4，则 ( d )a.2 b.4 c.6 d.8 6.设a,b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( b )a. 若a，则a b. 若ab，a，则b c. 若a，b，则ab d. 若ab，a，则b7.函数的零点个数为 ( b )a.1 b.2 c.3 d.4 8.某算法程序框图如图所示，若，则输出的结果是 ( d )a. b. c. d. 9.已知abc的周长为,且.若abc的面积为,则角c的大小为 ( b )

8、a. 30° b. 60° c. 90° d. 120° 10.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于a,b两点，分别过a,b作抛物线的切线,则与的交点p的轨迹方程是 ( a )a. b. c. d. 二、填空题：11.二项式的展开式中的常数项是 15 .12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为 .13.已知a,b是正数，且，则ab的最小值为 9 .14.过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于a、b两点，若满足的直线l共有3条，则实数 4 .15.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距

9、离”为.现有下列命题:已知p (1,3)，q() ()，则d(p,q)为定值;原点o到直线上任一点p的直角距离d (o, p)的最小值为;若表示p、q两点间的距离,那么;设a(x,y)且，若点a是在过p (1,3)与q(5,7)的直线上,且点a到点p与q的“直角距离”之和等于8,那么满足条件的点a只有5个.其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)三、解答题：16.(12分)为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了6位同学，这6位同学的成绩(分数)如茎叶图所示.求这6位同学成绩的平均数和标准差;从这6位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况，设为这两位同学中成绩低于平均分的

10、人数，求的分布列和期望.解:这6位同学的成绩平均效为,又故这6位问学成绩的标准差为s=7(6分);随机变量可能的取值为0,1,2,则012p故的分布列为即的数学期望12分17.( 12分)学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有a, b两种菜可供选择。调查表明，凡是在这星期一选a菜的，下星期一会有改选b菜;而选b菜的，下星期一会有改选a菜。用分别表示第个星期选a的人数和选b的人数.试用表示，判断数列是否成等比数列并说明理由;若第一个星期一选a神菜的有200人，那么第10个星期一选a种菜的大约有多少人?解:由题知,对有,所以当且时,当时,不是等比数列；当时，是以 为首项，为公比的等比数列 (

11、7分);当时,第10个星期一选a种菜的大约有300人(12分).18. (12分)已知向量,函数.设，x为某三角形的内角，求时x的值;设,当函数取最大值时，求cos2x的值.解:由题可知,当时,为三角形的内角,(5分);当时,其中为锐角,且当且仅当时,函数.此时则.12分19. (12分)已知四棱锥p-abcd中,pb平面abcd,底面abcd是直角梯形,abc=bcd=90°,pb=bc=cd=ab.q是pc上的一点，且pa平面qbd.确定q的位置;求二面角q-bd-c的平面角的余弦值.解:当时，pa平面qbd，证明如下:连结ac交bd于点m，2cd=ab,cdab,am=2mc,

12、过pa的平面pac平面qbd=mq,pa平面qbd,apmq,pq=2qc(4分);设bc=1，如图，以b为坐标原点，以bc,ba,bp分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系o- xyz(其中点b与点o重合)，则c(1,0,0)，a(0,2,0)，d(1,1,0)，p(0,0,1).pq=2qc，设平而qbd的一个法向量为,则取.又平面cbd的一个法向量为,设二面角q-bd-c的平面角为，又为锐角二面角q-bd-c的平面角的余弦值(12分).20.(13分)巳知椭圆的离心率是.若点p(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程;若存在过点a(1,0)的直线，使点c(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.解:,点p(2,1)在椭圆上,(5分);依题意,直线l的斜率存在且不为0,则直线l的方程为：.设点c(2, 0)关于直线l的对称点为,则,若点在椭圆上,则,设,因此原问题转化为关于t的方程有正根.当