工程造价Unit2

1、 第七章 第 三节估计量的评选标准(13)二、有效性二、有效性 三、相合性三、相合性一、无偏性一、无偏性 从上一节可知，对于同一未知参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，而用相同的估计方法得到的估计量也可能不同，也就是说，同一未知参数可能具有多种估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？通常认为误差越小的估计量越好.由于待估参数是未知的，所以误差也是未知的.又由于所求的估计量与样本有关，所以估计量也是随机变量,因此在评价估计量的优劣时，应考虑估计量的整体性能.主要有以下三个方面：一是有无系统偏差；二是波动性的大小如何；三是随着样本容量的增大估计量是否越来越精确，这就是评价估计量优劣的无偏性，

2、有效性和相合性三项标准.一、无偏性则 是一个而若 的数学期望恰等于其真值， 设 是未知参数 的估计量,我们总希望估计值在 的真值左定义1: 设 是未知参数 的估计量,若 存e在, 且对 有 ， e则称 是 的无偏估称 具有无偏性. 在科学技术中,称为以 作为 的e这就是所谓的无偏性.右摆动，的估计值，对于不同的样本值就会得到不同随机变量，估计量，系统误差.无偏估计的实际意义就是无估计的系统误差，例1： 设总体总是kme x), 2 , 1(,)()(nimxemekkk 特别，不论 服从什么分布，只要 存在，)(xexxx1111()()nnkkkiiiie mexe xnn11()()nkk

3、iie xe xnqk) 1()(kxemkk存阶中心矩的计.的无偏估nikikxnm11总是x服从什么分布，论证明：不),(21nxxxx的一个样本，是 总体在，证明： 与nxxx,21x同分布，的无偏估计.例例2 2： 设总体且 ,02若 均为未知，2,则 的估2证明： 21212211xxn)xx(nniinii222221)()(nnnniniixexdxenxexene1221222)()(1)()(1)( 若在的两边同乘以 ，则所得到的估计1nn而 恰恰就是样本方差21nnniixxns122)(11. .222)(1)1(ennnne即：，2)(,)(xdxe的数学期望和方差ni

4、ixxn122)(1是有偏的. .计量都存在，x量就是无偏了. .而且常用偏的角度考虑，2s比 可见,2s222s2m2s可以作为 的估计，2 在实际应用中，无系统偏差只能对整个系统（整个实验）而言.就一次实验来讲，可能偏大也可能偏小，无系统偏差实质上并说明不了什么问题，只是平均来说它没有偏差.所以无偏性只有在大量的重复实验中才能体现出来；而另一方面，往往一个参数的无偏估计有多个，而仅由无偏性无法确定哪个估计量更好.从无因此，估计.是无偏的估计量.作为方差的估计好.作为 那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计量的观察值更接近真实值的附近，即估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近.

5、我们知道，方差是反映随机变量取值的分散程度.所以同一参数的不同无偏估计以方差较小者为更好、更合理.为此引入了估计量的有效性概念.例例3: 设 是总体 的一个样本,12(,)nxxxx体 的数学期望 ,xe x方差 ，20均值 与 均为 的无偏估计.x11nniiiiia xa为任意常数 .10niia总ia其中则样本二、有效性定义定义2: 设 与 都是 的无偏估计量,12意的样本 都有 ,nxxx,21)()(21dd例例4： 问例3中的 与 哪一个更有效？x11nniiiiia xa解：22()()d xd xn2221111nnnniiiiiiiiida xaaa（许瓦兹不等式 ，2, 1

6、2,1,1,1na aa得222211111,nnnniiiiiiiiaanaan11nniiiiid xda xa若对任更有效。22比则称令）更有效。x例例5：设 是来自总体 的一个样本，12,nxxxx服从 上的均匀分布,0,求 的矩估计量与解:11mm即： ，2xex12x极大似然估计:计量为21ii nmax x 下面考虑上例两种估计方法的优劣：1222eexexex极大似然估计量.由上一节知其极大似然估令矩估计: :的分布函数21ii nmax x 22fxpx121,ini np max xxp xx xxxx 12nnxp xx p xx p xx的密度函数21ii nmax x

7、 21nnnxfx1201nnnxnexdxn现在将极大似然估计量进行修正，则3e，321nn令这里的13和均为愿未知参数的无偏估计,我们再来比较它们谁更有效：2123xxdxnn32211nnnn22112001nnnnnnxnxxdxxdxn 2222121nnnnnn2 2221212nnnn nnn231可见即极大似然估计比矩估计要更加精确一些.三、相合性 关于无偏性和有效性是在样本容量固定的条件下提出的.我们不仅希望一个估计量是无偏的，而且是有效的，自然希望伴随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数的真值，为此引入一致性概念.定义定义3： 设 是 的估计量,若对 ，0则称 是 的相合性估计计量（一致性估计量）.有1|li