2412垂径定理1

1、问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重

2、复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴圆的对称性及圆的对称性及特性特性n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形, ,它的对称中心就是圆它的对称中心就是圆心心. .n用旋转的方法可以得到用旋转的方法可以得到: :n一个圆绕着它的圆心旋转任一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度意一个角度, ,都能与原来的图都能与原来的图形重合形重合. .n这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个性质: :圆的圆的旋转不变性旋转不变性o如图，如图，ab是是

3、 o的一条弦，做直径的一条弦，做直径cd，使，使cdab，垂足为，垂足为e（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？oabcde活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径cd所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： ae=be弧：，弧：，把圆沿着直径把圆沿着直径cd折叠时，折叠时，cd两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点a与点与点b重合，重合，ae与与be重合，重合，和和 重合，重合，和和重合

4、重合直径平分弦，并且直径平分弦，并且平分及平分及oabcde垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧即即，ae=be,n由由 cd是直径是直径 cdab可推得可推得ad=bd. ac=bc,cdab,n由由 cd是直径是直径 ae=be ac=bc,ad=bd.可推得可推得垂径定理：垂径定理：推论：推论：垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理oabcdm条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两

5、条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂

6、直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 解得：解得：r279（m）bodacr解决求赵州桥拱半径的问题解决

7、求赵州桥拱半径的问题在在rtoad中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 r2=18.72+（r7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.oa2=ad2+od2,7.184.372121abadab=37.4，cd=7.2，od=occd=r7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为o，半径为半径为r经过圆心经过圆心o 作弦作弦ab 的垂线的垂线oc，d为垂足，为垂足，oc与与ab 相交于点相交于点d，根据前面的结论，根据前面的结论，d 是是ab 的中点，的中点，c是是 的中点，的中点，cd 就是拱高就是拱高1如图，

8、在如图，在 o中，弦中，弦ab的长为的长为8cm，圆心，圆心o到到ab的距离为的距离为3cm，求，求 o的半径的半径oabe练习练习解：解：oeab222aooeae2222= 3 +4 =5cmaooeae答：答： o的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三118422aeab 在在rt aoe 中中 3.已知：如图，在以已知：如图，在以o为圆心的两个同心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆中，大圆的弦ab交小圆于交小圆于c，d两点。两点。你认为你认为ac和和bd有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：过证明：过o作作oeab，垂足为，垂足为e， 则则aebe，cede。 aecebede

9、 即即 acbd.acdboe2.2.在半径为在半径为3030的的oo中，弦中，弦ab=36ab=36，则，则o o到到abab的距离是的距离是= = ， oabp24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法活活 动动 三三e小结小结: : 解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线，或，或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定等辅助线，为应用垂径定理创造条件。理创造条件。.cdabomn

10、e.acdbo.abo2如图，在如图，在 o中，中，ab、ac为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，odab于于d，oeac于于e，求证四边形，求证四边形adoe是正方形是正方形doabce证明：证明： oeac odab abac90 90 90oeaeadoda四边形四边形adoe为矩形，为矩形，又又ac=ab11 22aeacadab， ae=ad 四边形四边形adoe为正方形为正方形.练习练习3:在圆在圆o中，直径中，直径ceab于于 d，od=4 ，弦，弦ac= ， 求圆求圆o的半径。的半径。10dceoab反思：反思：在在 o中，若中，若 o的半径的半径r、 圆心到弦

11、的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中， 任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量：cdbao例例3：如图，圆：如图，圆o的弦的弦ab8 ， dc2，直径，直径ceab于于d， 求半径求半径oc的长。的长。dceoab垂径垂径直径直径mnab,垂足为垂足为e,交弦交弦cd于点于点f.驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我画一画画一画 2.已知：如图已知：如图, o 中中,弦弦abcd,abcd,直径直径mnab,垂足为垂足为e,交弦交弦cd于点于点f.图中相等的线段有图中相等的线段有 : .图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有: .feomnabcdoab60在直

12、径是在直径是20cm的的中，中，的度数是的度数是，那么弦，那么弦ab的弦心距是的弦心距是. d a b o5 3cm弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则，则这弓形所在的圆的半径为这弓形所在的圆的半径为. d c a b o134cm垂径定理的应用垂径定理的应用 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示面如图所示.若油面宽若油面宽ab = 600mm，求油的最大深，求油的最大深度度. 做一做做一做baoed 600 2 2、在直径为、在直径为650650mmmm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的的圆柱形油槽内装入

13、一些油后，截面的油面宽油面宽ab = 600ab = 600mmmm，求油的最大深度，求油的最大深度. . bao600 650dcbaoed 600cd 3.已知直线ac:y=2x+4与x轴交于a,与y轴交于c, m为x轴上的点，以m为圆心的圆经过点a.c,求m的坐标bmoac某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为.2 m ，过过o 作作oc ab 于于d， 交圆弧于交圆弧于c，cd=2、4m， 现有现有一艘宽一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（ab）2m的货船的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？要经过拱桥

14、，此货船能否顺利通过这座拱桥？cnmaehfbdo船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ? 如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长米、船舱顶部为长方形并高出水面方形并高出水面2 2米的货船要经过这里米的货船要经过这里, ,此货船能顺利此货船能顺利通过这座拱桥吗？通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为o,o,半径为半径为rmrm, ,经过圆心经过圆心o o作弦作弦abab的垂线的垂线od,dod,d为垂足为垂足, ,与与 相交相交于点于点c.c.根根据垂径定理据垂径定理,d,d是是abab的中点的中点,c,c是是 的中点的中点,cd,cd就是就是拱高拱高. .由题设得由题设得abababab. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7mnhncdababad21, 6 . 32 . 721dcocod. 4 . 2 r在在rtoad中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222