导数在研究函数中的应用新人教A版选修22课

1、用用导导数数在在研研究究函函数数中中的的应应3 31 1.分的创立分的创立导致了微积导致了微积期的研究期的研究数量的变化规律进行长数量的变化规律进行长我们可以对我们可以对通过研究函数这些性质通过研究函数这些性质常重要的常重要的或最小值等性质是非或最小值等性质是非与慢以及函数的最大值与慢以及函数的最大值减的快减的快了解函数的增与减、增了解函数的增与减、增研究函数时研究函数时型型化规律的重要数学模化规律的重要数学模函数是描述客观世界变函数是描述客观世界变,.,.,数数中中的的作作用用可可以以体体会会导导数数在在研研究究函函从从中中你你的的性性质质我我们们运运用用导导数数研研究究函函数数下下面面函数

2、的单调性与导数函数的单调性与导数1 13 31 1. ?,.5.6t8.9thtvtv213.1,10t5.6t9.4thh113.12别别区区时间的运动状态有什么时间的运动状态有什么段段及从最高点到入水这两及从最高点到入水这两以以运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点的图象的图象化的函数化的函数变变随时间随时间运动员的速度运动员的速度表示高台跳水表示高台跳水图图的图象的图象时间变化的函数时间变化的函数随随台跳水运动员的高度台跳水运动员的高度表示高表示高图图观察观察othab 1 11 13 31 1.图图otabv 2 21 13 31 1.图图.,运运动动状状态态观观察察运运动动员员在在

3、各各时时段段的的通通过过动动画画演演示示 .thtv,.th,th,:,0 01 1相应地是增函数即的增加而增加时间随离水面高度运动员从起跳到最高点我们可以发现通过观察图象 .thtv,.th,th,0 02 2相应地是减函数即的增加而减小时间随运动员离水面高度从最高点到入水?性性呢呢这这种种情情况况是是否否具具有有一一般般思思考考.,.系系调性与其导数正负的关调性与其导数正负的关探讨函数的单探讨函数的单图图观察下面一些函数图象观察下面一些函数图象2 23 31 1xy yxo 1 12 2xy oyx 2 23 3xy oyx 3 3xy1 1oyx 4 42 23 31 1 .图图3 33

4、 31 1.图图 xfy oyx0 00 0 xf ,x1 11 1xf ,x .xxf,xf ,xx;xxf,xf ,xx.xf ,xxfxf,.附近单调递减在数函这时式的左上右下切线是处在附近单调递增在函数这时式的下右上左切线是处在处的切线的斜率在点表示函数导数如图1 11 11 10 00 00 00 00 00 00 00 03 33 31 1.动画演示:,正负有如下关系函数的单调性与导数的一般地 .xfy,xf;xfy,xf,b, a在这个区间内单调递减那么函数如果在这个区间内单调递增那么函数如果内在某个区间0 00 0 ?xfy,xf有什么特征有什么特征那么函数那么函数如果在某个区

5、间内恒有如果在某个区间内恒有 0 0 .,关系何意义与其导数正负的的平均变化率的几思考某个区间上函数并单调性的定义请同学们回顾一下函数思考xfy .xf.xf ,x,x;xf ,x,x;xf ,x:xf图象的大致形状图象的大致形状试画出函数试画出函数时时或或当当时时或或当当时时当当的下列信息的下列信息已知导数已知导数例例0 01 14 40 01 14 40 04 41 11 1 ;xf,xf ,x在此区间内单调递增知可时当解0 04 41 1 .,xf ,x,x临界点称它们为我们这两点比较特殊时或当0 01 14 4 ;xf,xf ,x,x内单调递减在这两个区间可知时或当0 01 14 4

6、.xf,所示图象的大致形状如图函数综上4 43 31 14 43 31 1.图图oxy4 41 1 .1x24x3x2xf4;, 0 x, xxsinxf3;3x2xxf2; x3xxf1:,22323并求出单调区间并求出单调区间判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性例例 .01x33x3xf, x3xxf1223所以因为解 .153.1,rxx3xxf,3所示如图上单调递增在函数因此xyo o x3xxf3 153.1图图 .1x22x2xf, 3x2xxf22所以因为 ;3x2xxf,1x, 0 xf2单调递增函数时即当 .3x2xxf,1x, 0 xf2单调递减函数时即当 .253.1

7、3x2xxf2所示的图象如图函数xyo o 3x2xxf2 253.1图图1 1 .xf, 0 x, xxsinxf3所以因为 .353.1., 0 x, xxsinxf,所示如图内函数因此xyo o xxsinxf 353.1图图 .453.11x24x3x2xf23所示的图象如图?,有有什什么么体体会会你你麻麻烦烦吗吗运运算算过过程程你你如如何何求求解解本本题题义义直直接接运运用用单单调调性性的的定定如如果果不不用用导导数数的的方方法法 .xf, 1x24x3x2xf423所以所以因为因为15oxy 1x24x3x2xf23 453.1图图 ;xf, 0 xf函数时即当 .xf, 0 xf

8、函数时即当63.1图图.th,)(, 63.13的函数关系图象的函数关系图象与时间与时间出与各容器对应的高度出与各容器对应的高度请分别找请分别找同的容器中同的容器中注入下面四种底面积相注入下面四种底面积相积相同积相同体体即单位时间内注入水的即单位时间内注入水的水以恒速水以恒速如图如图例例 1 1 2 3 4 aoth both coth doth 2 aoth .a,.,2况况可知其他三种容器的情可知其他三种容器的情同理同理符合上述变化情况符合上述变化情况上上反映在图象反映在图象度增加得越来越快度增加得越来越快以后高以后高开始阶段高度增加得慢开始阶段高度增加得慢所以水以恒速注入时所以水以恒速注入时上细下粗上细下粗由于容器由于容器为例为例以容器以容器分析分析 .c4,d3,a2,b1解?,.,3增增减减快快慢慢的的情情况况吗吗你你能能从从导导数数的的角角度度解解释释结结合合图图象象慢慢还还可可以以看看出出其其增增减减的的快快数数的的增增与与减减不不仅仅可可以以看看出出函函通通过过函函数数图图象象表表明明例例思思考考oxyaa73.1图图 .a, a, 0 , aa, 0 xfy,73.1.,;,平平缓缓内内或或在在陡陡峭峭内内图图象象或或在在函函数数所所