高等数学考研辅导

1、高等数学考研辅导兼谈随机事件与概率一章的辅导向以华 (重庆三峡学院计算机科学系, 重庆万州 404000 ) 摘 要 在高等数学研究生入学考试前的辅导中，首先要熟悉各个知识点，理清各知识点的相互联系，达到融汇贯通的目的，其次要熟悉题目的类型和求解思路。做到有的放矢，弄清各种问题间的联系。培养解决实际问题的能力。关键词 高等数学 ; 考研辅导 ;知识点；相互联系在高等教育大众化的今天，考研热已逐步形成，众所周知，考研的难点在数学，外语，尤其是数学是一道门槛，硕士研究生入学考试的数学试题题量适当，各试卷题量为21道左右，主客观性试题在试卷中占分比例为7：3主观性试题包括计算题，证明题，综合题和应用

2、题，客观性试题有填空题和选择题：试题要有较大的章节内容覆盖面，但不要求面面俱到，节节有题，一般要求重点章节能被考查到即可，试题以考查数学的基本概念、基本方法和基本原理为主，在此基础上注重考查学生的抽象概括能力，逻辑思维能力，空间想象能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力；填空题是主要用于考查“三基”以及数学重要性质，一般不出成省去解答过程的大计算题，以中等难度试题为主；选择题主要考查考生对数学概念，数学性质的理解并能进行简单推论、判定和比较；综合题考查的是知识点之间的有机结合，应用题一般结合与考生专业具有共性的相关背景知识。从而既有利于国家对高等层次人才的选拔，也利于促进高等学校各类数学课

3、程教学质量的提高。本人从九九年开始直到现在为止一直从事考研数学的辅导。有如下体会：首先要熟悉各个知识点，理清各知识点的相互联系，达到融汇贯通的，其次要熟悉题目的类型和解题思路，做到有的放矢，最后要弄清各种问题间的联系。培养解决实际问题的能力。1.熟悉各个知识点，理清各个知识点的联系，达到融汇贯通。在具体的辅导教学中，我们首先给出每章的知识点，要点分析，理清各个知识点的联系，解题思路，让学生记住重要的结论或公式等。如随机事件与概率统计一章，我们首先介绍知识点：随机试验，事件与事件的关系，概率的定义，古典概型，加法公式，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式，贝努里概型。在这里尤其要弄清加法原理和乘法原

4、理，排列与组合是解决古典概型的关键，事件的对立与互斥，事件的相互独立是解决加法公式和乘法公式的根据。对于排列与组合：虽然学生在中学就开始接触，但做题仍有些困难，为此我在教学中总结出了 可以、可以加法原理，必须、必须乘法原理的口决；排列与组合的本质区别：与顺序有无关系来确定，但学生理解仍存在问题，我是这样体会的：从n 个元素中取出m个元素，（mn ）取出来的这种状况将其交换，若发生变化则与顺序有关，属于排列问题，否则属于组合问题；如在全班40个同学，其中25个男生，15个女生，从中选出5个同学，求至少有4个男同学的概率，通过分析发现属于古典概型，试验的一切基本事件总数为作为分母，分子可以分为两类

5、，一类选出为4男一女，其选法数为 ，另一类选法为5男，其选法数为，则概率为。理解多个事件相互独立与两两相互独立的关系：如三个事件，相互独立一定两两独立，逆之不真，如2003年数三试题：掷一枚硬币独立地掷两次，引进事件=掷第一次出现正面， =第二次出现正面， =正，反面各出现一次， =正面出现两次，则可推出两两独立，而不能推出相互独立。在这一章，做应用题时，很多学生对解题的格式和方法，往往是可意会而不能言传，特别是有些题就无法表达，自己也困惑，我总结了解决概率应用题的三步曲：第一步用字母表示事件，第二步，依题意建立事件间的关系，第三步是用概率的有关知识加以计算。例：天空中飞来一架敌机，现派甲、乙

6、两门高射炮打击来犯的敌机，甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求敌机被击中的概率。 解此题：第一步：a=“甲命中敌机”，b=“乙命中敌机”第二步：c=a+b,a与b是相互独立的，第三步：。这样既简单又明了。理解全概率公式是本章的重点，书中介绍了全概率公式的前提是理解划分或者完备事件组，这对学生理解是相当困难的。为此我总结出了：某一结果的发生有n种原因造成，每种原因对这结果的发生作出一定的“贡献”，那么要求这结果发生的概率就用全概率公式，n种原因n项的和，每一项是两者的乘积，一者是某种原因的概率，另一者是某种原因发生下这一结果发生的条件概率，这是一种因果关系。如例，一道单项选择题

7、有4个答案，回答者以50%的概率做出来，求答对的概率。分析此人答对有两种原因：一种是做出来，另一种是猜，求答对的概率，用全概率公式。同理可理解，由果寻因。采用贝叶斯公式。本章中，在做加法公式和乘法公式时，记住和的时候关心互斥与否，乘积的时候关心独立与否。2.审题，确定题目的题型和解题方法，做到有的放矢。题目的类型决定其解法，在随机事件概率一章中，弄清古典概型，加法公式，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式，bernoulli概型，这些类型的区别不清楚，是无法给出解答的。例1（匹配问题）：某人写了n封不同的信，欲寄往n个不同的地址，现将这n封信随意的插入n只具有不同通信地址的信封里，求至少有一封信插

8、对信封的概率。例2，98年数一： 设有来自不同地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份，5份。随机地取一个地区的报名表。从中先后抽两份。（1）求先抽出的一份是女生表的概率。（2）已知后抽出的一份是男生表。求先抽出的一份是女生表的概率。例3某类灯泡使用时数为一千小时的概率为0.2。求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。在以上三个例题中，例1 =“第i封信装对” b=“至少有一封信装对”。 则 显然用一般的加法合式。例2核心问题，报名表来自于三个地区，三个地区是构筑报名表的三个原因。从而要用全概率公式。 例3 关键是一个灯泡在使用1000小时以后要

9、么是好的要么是坏的。只有两个结果。三个灯泡可看作一个灯泡重复作了三次试验。从而 属于服从3重bernoulli概型 。审清题目是关键，也是很多学生学习概率的门槛。3.弄清各种问题间的联系，培养学生解决综合问题的能力。弄清本章，节的知识与其它知识的联系。培养学生利用所学知识解决综合问题的能力。我们现在有很多学生独立地解决问题还可以，但解决附有若干知识点特别是跨章节学科的一些题无从下手。在辅导时介绍与本章节的相关知识点。如有：随机变量、数字特征、微积分、线性代数。例1在电源电压不超过200伏，200240伏和超过240伏的情形下某种电子元件损坏的概率分别为0.1和0.001和0.2。假设电源电压服

10、从正态分布n（220，）试求：1该电子元件损坏的概率。2该电子元件损坏时电源电压在200至240伏的概率。例2（ 02数一） 随机变量x的概率密度为：对x独立重复观察4次，用y表示观察值大于 的次数。求的数学期望。 例3 从数集1、2、3、4、5中任意取出一数（取后放回），用表示第i次取出的数（i=1、2、3）记=（，如果三阶矩阵，求线性方程组有解的概率。在解答上述例题时，例1.必须搞清楚：事件、随机变量、全概率公式、贝叶斯公式，跨章节的知识点。例2.必须搞清楚：事件、随机变量、二项分布、期望与方差。例3.必须搞清楚线性代数、方程组有解的必要条件、古典概型、概率的加法公式这些跨学科、章节的知识点。