卷积积分介绍

1、卷积卷积利用卷积积分求系统的零状态响应利用卷积积分求系统的零状态响应卷积图解说明卷积图解说明卷积积分的几点认识卷积积分的几点认识卷积积分介绍2一卷积（Convolution）积积分分和和设设有有两两个个函函数数),()(21tftf d21 tfftf tftftftftftf2121)( 或或，记记为为的的卷卷积积积积分分，简简称称卷卷积积和和称称为为)()(21tftf利用卷积可以求解系统的零状态响应。利用卷积可以求解系统的零状态响应。卷积积分介绍3二利用卷积求系统的零状态响应 d tete则响应为则响应为的的为为若把它作用于冲激响应若把它作用于冲激响应LTIS,)(th teHtr )(

2、任意信号任意信号e(t)可表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和 dteH dtHe d the这就是系统的零状态响应。这就是系统的零状态响应。 thtethtetr zs卷积积分介绍4三卷积的计算由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定积分限的确定是是非常关键的。非常关键的。借助于阶跃函数借助于阶跃函数u(t)确定积分限确定积分限利用图解说明确定积分限利用图解说明确定积分限卷积积分介绍5例2-6-11列写列写KVL方程方程 tetRittiL dd2 2冲激响应为冲

3、激响应为)(e)(tutht d)(e)2()(e)(21tuuut d)()2(ed)()(ee22 tuuetuutt d)()()( . 3theti 的的零零状状态态响响应应。，求求已已知知)( )2()(e)(2titututet )(tiH1 L 1R 卷积积分介绍64.4.定积分限（定积分限（关键关键） 10: 时时存存在在，宗宗量量特特点点u 22002ttt )2(deedee)(2202 tututitttt 00 t)()( tuu d)()2(eed)()(ee22 tuutuutitt)()2( tuu 00tt 卷积积分介绍7波形 2 ,ee220 , )ee (2

4、)()1(2tttitttt分分段段表表示示：Ot th1Ot ti2Ot te12 )2()(e2 tutut)(etut 卷积积分介绍8卷积的图解说明 用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定出定积分限积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。两种方法结合起来。 d21 tfftf ),()(. 111积积分分变变量量改改为为ftf)()()()(. 22222 tffftf时时延延倒倒置置)()(. 321 tff相相乘乘： d)(. )(. 421 tff乘乘积积的的积

5、积分分： tt)(t时时延延对对 的的函函数数积积分分结结果果为为t 再再移移动动倒倒置置为为的的图图形形不不动动， 2221, ffff卷积积分介绍9Ot tf1111 Ot tf2323O 2f3 23O 1f111 3 tt t tt例2-6-2)30(2)(1011)(21 tttftttf卷积积分介绍10浮动坐标O 231 1浮动坐标：浮动坐标：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f tf2t ：移动的距离：移动的距离t =0 f2(t- ) 未移动未移动t 0 f2(t- ) 右移右移t 0 f2(t- ) 左左移移 从从左左向向右右移移动动对对应应到到从从 tft2, 1f

6、-113 t tf2卷积积分介绍11O 1f111 t -13 tt tf2两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 021 tff 021 tftftg1 t卷积积分介绍12-1 t 1O 1f111 3 tt tf2 向右移向右移 tf2 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限- -1，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;1 t d)()()(211 tfftgt d211 tt1422 t 41242 tt卷积积分介绍131 t 2O 1f111 3 tt tf2 113tt即即1 t 2

7、 tttg d21)(11卷积积分介绍142 t 4O 1f111 3 tt tf2即即2 t 4 1313tt224d)(21)(213 ttttgt 卷积积分介绍15O 1f111 t 43 tt tf2即即t 4t- -3 1 0 tg卷积积分介绍16卷积结果 ttttttttttg其他其他04222421114124)(22Ot tf1111 Ot tf2323)(tgtO2421 1卷积积分介绍17积分上下限和卷积结果区间的确定 tf1 tf2A,BA,BC,DC,DA+C,B+DA+C,B+D tg一般规律：一般规律：上限上限下限下限 tf1 tf2当当 或或 为非连续函数时，卷积

8、需分段，积分限分为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。段定。 021的的范范围围（区区间间）确确定定。由由 tff上限取小，下限取大上限取小，下限取大(1)(1)积分上下限积分上下限(2)(2)卷积结果区间卷积结果区间- -1 tf2 tg1 tf1034+1卷积积分介绍18例2-6-3 ttAC desine0202000)cossin(ee ttACtttA)(thO A)( thO t desind)()()()(0tACthetr ttAC )sin(0202 0 202 )( eO ttCtetuAtht0sin)()(e)( 卷积积分介绍19四对卷积积分的几点认识(1)t ：观

9、察响应的时刻，是积分的参变量；观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时刻，积分变量信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有从因果关系看，必定有 t(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容内容；即即d f( ) 是是h(t- )的加权，积分的加权，积分 f( ) 是是h(t- )的加权，求和的加权，求和 (t- )的响应的响应 d thetr卷积积分介绍20(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建建立了响应立了响应r(t)与激励与激励e(t)之间的关系。之间的关系。 (4

10、)卷积是数学方法，也可运用于其他学科卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。信号无起因时：信号无起因时： d)()()(thftg一般数学表示：一般数学表示： d)()()(21tfftg(5)积分限由积分限由 存在的区间决定，即由存在的区间决定，即由 的范围决定。的范围决定。 )(),(21tftf0)()(21 tff卷积积分介绍21总结求解响应的方法：求解响应的方法：时域经典法：时域经典法：双零法：双零法： thte 零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：完全解完全解=齐次解齐次解 + 特解特解解齐次方程，用初（起）始条件求系数；解齐次方程，用初（起）始条件求系数； 卷积积分介绍

11、22一代数性质1交换律2分配律3结合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 系统并联运算系统并联运算系统级联运算系统级联运算卷积积分介绍23系统并联 ththth21 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf 系统并联，框图表示：系统并联，框图表示： )(tg)(tf)(th)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)()(1thtf )()(2thtf )()()()()()(21thtfthtfthtf 结论：

12、结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于子系统并联时，总系统的冲激响应等于各各子系统冲激响应之子系统冲激响应之和和。卷积积分介绍24系统级联)()()()()()(2121ththtfththtf )()(thtf )()(21ththth 系统级联，框图表示：系统级联，框图表示： )(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf )()()(21ththtf )(tg)(tf)(th结论：结论：时域中，子系统时域中，子系统级联级联时，总的冲激响应等时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的于子系统冲激响应的卷积卷积。 卷积积分介绍25二微分积分性质)()()()()(thtfthtftg )

13、()()()()()()()()()(thtfthtftgnmmnmn )()()()()(thtftgnn )()()()()()()()(thtfthtftgnnn 推广：推广：微分性质积分性质联合实用微分性质积分性质联合实用)()()()()()1()1()1(thtfthtftg 对于卷积很方便。对于卷积很方便。g(t)的积分的积分微分微分n次，次，积分积分m次次m=n, 微分次数微分次数积分次数积分次数 卷积积分介绍26微积分性质的证明 d)(d)(ddd)(d)(d)(dhttftthfttg d)()()(thftg两端对两端对t 求导求导 即即)()()()()(thtftht

14、ftg 已知已知交换律交换律卷积积分介绍27三.与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：推广：)()()(2121tttfttttf )( )()(tfttf d)()()( tftutf )()()(tfttfkk )()()(00ttftttf tftftfttf d d )()()(00ttftttfkk 卷积积分介绍28例2-7-1)()()()1()1(thtftg 323212310tttttt 。，求求已已知知thtftgthtf ,11111 )(tf)(thtt2OO1tO11t2 )(1tf )(th O)1()1( O12 O1211 t)(tg)()1( f)( th1 tt3 1 1 注意注意卷积积分介绍29注意注意)(2)(2)()(sgn)()()1()1(tuttutttf ,dd)(d)(11时时当当 ttttftf)()()()()1(2121tftftftf 用微积分性质用微积分性质 tt sgn例：例：Ott)2( )(nsgt )()1(t O1t)()(nsg)1(tt O2 ttttt)sgn(dd)sgn(d错错误误原原因因：O11 tt)1( )sgn(t)(t O直接直接卷积积分介绍30例2-7-2图图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激系统由三个子系统构成，已