多元统计课前学习补充

1、一名统计学家遇到一位数学家，统计学家调侃数学家：你们不是说若且，则吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女孩喜欢的男生你也会喜欢罗！？”数学家想了一下反问道：那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧！因为它们平均不过是五十度而已！” 静静地顿河，萨尔仁尼琴 质疑，认为不是肖洛霍夫所写，而是Kryukov所作。Kjetsaa对此作了研究。数学家的幽默数学家的幽默著作著作抽样字数抽样字数不同的词汇不同的词汇Marking (Kryukov)1000589The way and the road(肖洛霍夫肖洛霍夫)1000656静静地顿河静静地顿河1000646 1

2、、“统”，就是全部，“计”，就是计算，统计学即是“具有全局意义的数字计算”。（陈希孺） 2、统计学是收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。 3、一堆数字，就像一对沙子，谁喜欢？但是，一旦你发现了这一堆数字中隐藏的奥秘，你就会喜欢这对数据了，在你眼里，就是一堆沙子变成了一堆财富。统计学，就是帮你把一堆沙子变成财富的方法。即吕洞宾那根“点石成金”的手指。 课课 程程 介介 绍绍 多元统计分析多元统计分析(简称多元分析简称多元分析)是统计学的一个重要分支是统计学的一个重要分支.它是应用数理统计学来它是应用数理统计学来研究多变量研究多变量(多指标多指标)问题的理论和方法问题的理论和方法 ; 它是一

3、元统计学的推广和发展它是一元统计学的推广和发展. 多元统计分析是一门具有很强应用性的课程多元统计分析是一门具有很强应用性的课程;它在自然科学和社会科学等各个领它在自然科学和社会科学等各个领域中得到广泛的应用域中得到广泛的应用;它包括了很多非常有用的数据处理方法它包括了很多非常有用的数据处理方法.第一章第一章 多元正态分布多元正态分布第二章第二章 均值向量和协方差阵的检验均值向量和协方差阵的检验第三章第三章 聚类分析聚类分析第四章第四章 判别分析判别分析第五章第五章 主成分分析主成分分析第六章第六章 因子分析因子分析第七章第七章 对应分析对应分析第八章第八章 典型相关分析典型相关分析本课程的内容

4、本课程的内容多变量分析（数据结构简化）多变量分析（数据结构简化）分类方法分类方法两组变量的相关分析两组变量的相关分析基础理论基础理论21世纪统计学系列教材世纪统计学系列教材 多元统计分析多元统计分析(中国人民大学出版社中国人民大学出版社,何晓群何晓群,2012.1)使用的教材使用的教材1. 应用多元统计分析应用多元统计分析（朱建平，（朱建平，科学出版社科学出版社，2006）2.实用多元统计分析实用多元统计分析(方开泰方开泰,1989,华东师范大学出版社华东师范大学出版社3. 多元统计分析引论多元统计分析引论(张尧庭张尧庭,方开泰方开泰, 科学出版社科学出版社，1982)4. 实用多元统计分析实

5、用多元统计分析(王学仁王学仁,1990 ,上海科学技术出版社上海科学技术出版社)5. 应用多元分析应用多元分析(王学民王学民,1999 ,）6. 统计分析与统计分析与SPSS的应用（第三版的应用（第三版 薛微）薛微）7.社会统计学分析方法社会统计学分析方法SPSS软件应用软件应用（郭志刚（郭志刚，中国人民大学出版社中国人民大学出版社，1999）参考书（一）参考书（一） (1) An Introduction to Multivariate Statistical Analysis (Anderson 1984 ,见见22)参考书（二）参考书（二） (2) Applied Multivariat

6、e Statistical Analysis( Richard A.Johnson and Dean W.Wichern 4th ed 1998) 中译本：中译本：实用多元统计分析实用多元统计分析 （陆璇译（陆璇译 2001 ,见见5 ） (3) Linear Statistical Inference and Its Applications (C.R.Rao 1973) 中中 译译 本：线性统计推断及其应用本：线性统计推断及其应用 (C.R. 劳劳 1987 ,见见25) 教学方式教学方式 : 授课与实际例题相结合授课与实际例题相结合.本课程的特点与教学方式本课程的特点与教学方式 本课程的

7、特点本课程的特点是将常用的多元分析方法的是将常用的多元分析方法的介绍与在计算机上实现这些方法的软件紧介绍与在计算机上实现这些方法的软件紧密地结合起来，不仅介绍每种多元分析方密地结合起来，不仅介绍每种多元分析方法法 的实际背景、统计思想、统计模型、数的实际背景、统计思想、统计模型、数学原理和解题的思路，并结合实例介绍应学原理和解题的思路，并结合实例介绍应用统计软件用统计软件(SPSS)解决问题的步骤和计算解决问题的步骤和计算结果的分析。结果的分析。 引 言 什么是多元统计？ 在实际问题中，很多随机现象涉及到的变量不止一个，而经常是多个变量，而且这些变量间又存在一定的联系。我们常常需要处理多个变量

8、的观测数据。例如考察学生的学习情况时，就需了解学生在几个主要科目的考试成绩。 下表给出从中学某年级随机抽取的12名学生中5门主要课程期末考试成绩。序号序号 政治政治 语文语文 外语外语 数学数学 物理物理 1 99 94 93 100 1001 99 94 93 100 100 2 99 88 96 99 97 2 99 88 96 99 97 3 100 98 81 96 100 3 100 98 81 96 100 4 93 88 88 99 96 4 93 88 88 99 96 5 100 91 72 96 78 5 100 91 72 96 78 6 90 78 82 75 97 6

9、 90 78 82 75 97 7 75 73 88 97 89 7 75 73 88 97 89 8 93 84 83 68 88 8 93 84 83 68 88 9 87 73 60 76 84 9 87 73 60 76 8410 95 82 90 62 3910 95 82 90 62 3911 76 72 43 67 7811 76 72 43 67 7812 85 75 50 34 3712 85 75 50 34 37 上表提供的数据，如果用一元统计方法，势上表提供的数据，如果用一元统计方法，势必要把多门课程分开分析，每次分析处理一门必要把多门课程分开分析，每次分析处理一门课的

10、成绩。这样处理，由于忽视了课程之间可课的成绩。这样处理，由于忽视了课程之间可能存在的相关性，因此，一般说来，丢失信息能存在的相关性，因此，一般说来，丢失信息太多。分析的结果不能客观全面地反映某年级太多。分析的结果不能客观全面地反映某年级学生的学习情况。学生的学习情况。 本课程要讨论的多元分析方法，它同时对本课程要讨论的多元分析方法，它同时对多门课程成绩进行分析。这样的分析对这些课多门课程成绩进行分析。这样的分析对这些课程之间的相互关系、相互依赖性等都能提供有程之间的相互关系、相互依赖性等都能提供有用的信息。用的信息。 由于大量实际问题都涉及到多个变量，这由于大量实际问题都涉及到多个变量，这些变

11、量又是随机变化。所以要讨论多维随机向些变量又是随机变化。所以要讨论多维随机向量的统计规律性。量的统计规律性。 多元统计分析就是讨论多维随机向多元统计分析就是讨论多维随机向量的理论和统计方法的总称。量的理论和统计方法的总称。 多元统计分析多元统计分析研究研究 的对象的对象就是多就是多维随机向量维随机向量. .多元统计分析的发展史 多元统计分析起源于上世纪初，1928年Wishart发表论文多元正态总体样本协差阵的精确分布，可以说是多元分析的开端。 20世纪30年代R.A. Fisher 、H.Hotelling、S.N.Roy、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展

12、。 20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。 20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。 20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。 20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显著成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。 在20世纪末与本世纪初，人们获得的数据正以前所未有的速度急剧增加，产生了很多超大

13、型数据库，遍及超级市场销售、银行存款、天文学、粒子物理、化学、医学以及政府统计等领域，多元统计与人工智能和数据库技术相结合，已在经济、商业、金融、天文等行业得到了成功的应用。二、多元统计分析方法的应用 多元统计分析方法的应用 多元统计分析方法在经济管理、农业、医学、教育学、体育科学、生态学、地质学、社会学、考古学、环境保护、军事科学、文学等方面都有广泛的应用，这里我们例举一些实际问题，进一步了解多元统计分析的应用领域，让大家从感性上加深对多元统计分析的认识。1、城镇居民消费水平通常用八项指标来描述，如人均粮食支出、人均副食支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、人均日用品支出、人均燃料支出、人

14、均非商品支出。这八项指标存在一定的线性关系。为了研究城镇居民的消费结构，需要将相关强的指标归并到一起，这实际就是对指标进行聚类分析。2、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百元固定资产原值实现产值、百元固定资产原值实现利税、百元资金实现利税、百元工业总产值实现利税、百元销售收入实现利税、每吨标准煤实现工业产值、每千瓦时电力实现工业产值、全员劳动生产率、百元流动资金实现产值。如何将这些具有错综复杂关系的指标综合成几个较少的因子，既有利于对问题进行分析和解释，又能便于抓住主要矛盾做出科学的评价。可用主成分分析和因子分析法。3、某一产品是用两种不同原料生产的，试问此两种原料生产的产品寿命

15、有无显著差异？又比如，若考察某商业行业今年和去年的经营状况，这时需要看这两年经营指标的平均水平是否有显著差异以及经营指标之间的波动是否有显著差异。可用多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验。4、按现行统计报表制度，农村家庭纯收入是指农村常住居民家庭总收入中扣除从事生产和非生产经营用支出、税款和上交承包集体任务金额以后剩余的、可直接用于进行生产的、非生产性建设投资、生产性消费的那一部分收入。如果我们收集某年各个省、自治区、直辖市农民家庭人均纯收入的数据，可以用相应分析，揭示全国农民人均纯收入的特征以及各省、自治区、直辖市与各收入指标的关系。5、某医院已有100个分别患有胃炎、肝炎、冠心病、糖尿病

16、等的病人资料，记录了他们每个人若干项症状指标数据。如果对于一个新的病人，当也测得这若干项症状指标时，可以利用判别分析方法判定他患的是哪种病。6、有100种酒，品尝家可以对每两种酒进行品尝对比，给出一种相近程度的得分（越相近得分越高，相差越远得分越低），希望用这些得分数据来了解这100种酒之间的结构关系。这样的问题就可以用多维标度法来解决。7、在地质学中，常常要研究矿石中所含化学成分之间的关系。设在某矿体中采集了60个标本，对每个标本测得20个化学成分的含量。我们希望通过对这20个化学成分的分析，了解矿体的性质和矿体形成的主要原因。8、研究中国七星瓢虫在黄海、渤海的群聚与近期气象条件的关系。对1

17、000个类似的鱼类样本，如何根据测量的特征如体重、身长、鳍数、鳍长、头宽等，我们可以利用聚类分析方法将这类鱼分成几个不同品种。9、考古学家对挖掘出来的人头盖骨的高、宽等特征来判断是男或女，根据挖掘出的动物牙齿的有关测试指标，判别它是属于哪一类动物牙齿、是哪一个时代的。10、在高考招生工作中，我们知道每个考生的基本情况，通过分析我们不仅可以了解到学生喜欢学习的科目，还可以进一步从考生每门课程的成绩，分析出学生的逻辑思维能力、形象思维能力和记忆力等等对学习成绩的影响。回顾 矩阵代数 1.1 定义 1.2 矩阵的运算 1.3 行列式 1.4 矩阵的逆 1.5特征值、特征向量和矩阵的迹 1.6正定矩阵

18、和非负定矩阵 1.7特征值的极值问题1.1 定义111212122212qqpppqaaaaaaaaaApq矩阵：12paaaap维列向量：q维行向量： a=(a1,a2, ,aq)向量a的长度：22212paaaaa a单位向量：1a 若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。 若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22, ,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。 若方阵A的对角线下方的元素全为零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。 若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A为下三角矩阵。显然，aij=0,i0，则称A为正定矩阵，记作A0；若对一切x，有xAx0，则称A为非负定矩阵，记作A0。对非负定矩阵A和B，AB表示AB0；AB