概率论与数理统计全概率和贝叶斯公式（课堂PPT）

1、13.2 全概率公式n引例：有朋友从远方来，情形如下： 乘火车概率3/10 迟到概率1/4； 乘船的概率1/5 迟到概率1/3; 乘汽车概率1/10 迟到概率1/12; 乘飞机概率2/5 迟到概率0 问：朋友迟到的概率多大？ 复杂问题 全概率公式 简单化2121212, ,1,(i)(ii),.2, ;.nnijnB Bij i jnBBSEB BBEBSBSBB 定义设为试验 的样本样本空空间为的一组事件 若则间称的一个划分为1. 样本空间的划分样本空间的划分1B2B3B1 nBnB3样本空间划分的简单理解：1212(i),(ii),nnSB BBB BB 样本空间 由组成；每次试验中，有且

2、只有一个发生。对照引例，给出样本空间的划分42. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 借助于韦恩图的理解5 jiBB由由 )(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 图示图示A1B2B3B1 nBnB证明证明)(21nBBBAASA .21nABABAB ).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整为零化整为零各个击破各

3、个击破6例例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占生产的占 30% ，二厂生产的占，二厂生产的占 50% ，三厂生，三厂生产的占产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别，又知这三个厂的产品次品率分别为为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,. 3, 2, 1,”“ iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件,321SBBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji7由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0

4、)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBPS30%20%50%2%1%1%).()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 故故8全概率公式全概率公式：原因：原因 3.2 贝叶斯公式结果结果 贝叶斯公式贝叶斯公式问题：结果原因呢？9称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(, 0)

5、(, 0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料10证明证明)()()(APABPABPii ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 11?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其

6、其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表解解,“产品合格”“产品合格”为事件为事件设设 A.“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件B则有则有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例112,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好

7、的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品13上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率14生活中的贝叶斯公式n工厂车间次品的来源判断n体育比赛结果的推断n伊索语言故事一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他喊：“狼来了”，山上的村民上山打狼，狼没来。第二天仍是如此。第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊，没有村民救他。为什么？分析：村民对小孩的可信度是如何下降的？15思考题： 按照以往考试结果分析，努力学习的学生有90考试及格；不努力学习的学生有90考试不及格。据调查，有90的人是努力学习的。问：（1）考试及格的学生中有多大是不努力学习的？（2）考试不及格的学生中有多大是努力学习的？161.条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式四、小结)()()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP niBPBAPBPBAPABPnjjjiii, 2, 1,)()()()()(1