偏微分方程（课堂PPT）

1、1偏微分方程偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)2参考书目参考书目工程技术中的偏微分方程工程技术中的偏微分方程， 潘祖梁，浙江大学出版社。潘祖梁，浙江大学出版社。数学物理方程数学物理方程， 王明新，清华大学出版社。王明新，清华大学出版社。3一一. . 偏微分方程的基本概念偏微分方程的基本概念),(21nxxxx自变量),()(21nxxxuxu未知函数0),(2121xuxuxuuxFn偏微分方程的一般形式4PDE的阶PDE的解 古典解广义解一些概念是指这样一个函数，它本身以及它的偏导数在所考虑的区域上连续，同时用满足方程。 线性PDE非线性PD

2、E半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE5线性线性PDE：PDE中对最高阶导数是线性的。线性PDE中所有具同一最高阶数的偏导数组成的部分，称为线性方程的主部主部。半线性半线性PDE：拟线性拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。6举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）0 xu1.0 xuatu2.atxx变换解为：)(yfu 解为：)(atxfu0ua7举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）022222xuatu4.02txu3.解为：)()(thxguatxatx变换02u解为：)()(

3、atxhatxgu802222yuxu5.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。)(zfr1ln也是解22yxr0633xuxuutu6.特解都不易找到KDV方程举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）97.uxteuuu拟线性拟线性PDE8.22vvvvvyyyxxx拟线性拟线性PDE9.)()(,(yxvyyxxvvevvyxa半线性半线性PDE10.uuuxtsin半线性半线性PDE11. 222uuuxt非线性非线性PDE10举例举例(多元函数多元函数)0222222zuyuxutuzuyuxu22222222222222tuzuyux

4、u拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程11二二. . 定解问题的适定性定解问题的适定性定解问题PDE定解条件初值条件边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题12经典的定解问题举例经典的定解问题举例波动方程的初值问题（一维）)(),()(),(,0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt13经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初值问题（一维）)(),(, 0 ),(0222xtxuRxttxfxuatut14经典的定解问题举例经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题边值问题)()()(),( , 022222xgnuxuxRyxyuxu0

5、, 11, 00, 0第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）15经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题)(),(),(),()(),(0 , 0 ),(00222thtxutgtxuxtxuLxttxfxuatuLxxt16何为适定性？何为适定性？存在性存在性唯一性唯一性连续依赖性（稳定性）连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的适定的。17三三. 物理模型与定解问题的导出物理模型与定解问题的导出

6、 波动方程的导出 热传导方程的导出18弦振动方程与定解问题 一长为一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间变化规律。间变化规律。弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。19取弦的平衡位置为OX轴，运动平面

7、为XOUOUXPQL在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t)OUXPQxxx)(xT)(xxT此为上图中PQ的放大图示1220假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为xS即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。210cos)(cos)(12xTxxT根据牛顿第二运动定律，xfxTxxTtux01222sin)(sin)(1xu),(1tantxxu),(2tantxxxu),(1sintxxu),(2sintxxxu1cos11cos2(*1)(*2)O

8、UXPQxxx)(xT)(xxT1222(*1) )()(xTxxT这表明张力的大小与 x 也无关，即0TT 常数(*2) ,),(),(),(022022xtxfxtxuxTttxux，微分中值定理),(xxxx23022022fxuTtu令0 x，可得微分方程方程弦是均匀的，故 为常数，记),(22222txfxuatu),( ,002txffTa方程改写为刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦弦振动方程。振动方程。)0,0(tLx24为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件)()0 ,(xx

9、u)()0 ,(xxtu或者边界条件已知端点的位移已知在端点受到垂直于弦的外力的作用已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合)(),(),(),0(thtLutgtu)( ),(0thxuTtgxuTLxx25四四. 二阶线性方程的分类二阶线性方程的分类两个自变量情形0222222122211cuyubxuayuayxuaxua主部目的： 通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。),(),(yxyx非奇异0yxyx（1）26),(),(yxyx),(yxu),(u复合求导xuxuxuyuyuyu2222222222222)(2)(yuyuyuyyuyuyu22222222222

10、22)(2)(xuxuxuxxuxuxuyxuyxuyxuyxyxuyxuyxu22222222)(270222222122211cuyubxuayuayxuaxua0222222122211CuuBuAuAuAuA系数之间的关系2221221111)(2)(yayxaxaA2221221122)(2)(yayxaxaAyyayxyxaxxaA22121112)(（2）（1）（3）280)(2)(22212211yzayzxzaxza考虑如若能找到两个相互独立的解),(yxz),(yxz那么就作变换),(),(yxyx从而有02211 AA（4）29两个引理两个引理0)(2)(22212211

11、yzayzxzaxza引理引理1.假设是方程),(yxz的特解，则关系式是常微分方程（4）Cyx),(0)(2)(22212211dxadxdyadya（5）的一般积分。引理引理2.Cyx),(假设是常微分方程（5）的一般积分，则函数),(yxz是（4）的特解。30 由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。定义：定义：常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程特征方程（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。特征曲线。0)(2)(22212211dxadxdyadya11221121212aaaaadxdy（6）31记2211212),(aaayx定义定义方程(1)在点

12、M处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有0),(yx若在点M处，有0),(yx若在点M处，有0),(yx32双曲型双曲型PDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端为两相异的实函数它们的一般积分为,),(CyxCyx),(),(),(yxyx由此令，方程（1）可改写为),(2uuuu双曲型方程的第一标准型ts12222tusu双曲型方程的第二标准型33抛物型抛物型PDE0),(2211212aaayx1112aadxdy由此得到一般积分为,),(Cyx),(),(yxyx由此令，其中),(yx),(yx与独立的任意函数。34由于0),(yx221112

13、aaa2221221111)(2)(yayxaxaA022211yaxayyayxyxaxxaA22121112)(022112211yaxayaxa由此推出35因此，方程（1）可改写为),(22uuuu抛物型方程的标准型0)(2)(2221221122yayxaxaA而36椭圆型椭圆型PDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端为两相异的复数由此推出两族复数积分曲线为,),(CyxCyx),(*其中),(),(),(21yxiyxyx),(),(),(21*yxiyxyx37),(),(21yxyx由此令从而方程（1）可改写为， 满足方程（4）i0)()

14、()(2)(22212211yiayixiaxia0122211iAAA0 , 0122211AAA2222uu椭圆型方程的标准型38总结总结0)( )( x,yI0)( )( x,yII0)( )( x,yIII（双曲型PDE）（抛物型PDE）（椭圆型PDE）yxu22222yuxu或22xu2222yuxu39例10222yyxyxxuyxyuux0)()(222yxxyx,y抛物型方程xyxxydxdy21cxy令xyy01012xxyyxyx02uy0u)()(),(hgu)()(),(xyhyxygyxu40例202xxttuau0)(2at,x双曲型方程adtdx1catx2catx41例30yyxxuyuTric