傅里叶光学第一章(1)

1、傅里叶光学傅里叶光学哈工大空间光学工程研究中心哈工大空间光学工程研究中心第第1 1章章 傅里叶分析傅里叶分析 实验中发现很多物理现象具有所谓线性性质，即他们对同时作用的几个激实验中发现很多物理现象具有所谓线性性质，即他们对同时作用的几个激励的响应等于每个激励单独作用时引起的响应之和。因而可以采用对某种励的响应等于每个激励单独作用时引起的响应之和。因而可以采用对某种“基基元元”激励的响应完备描述物理现象。一旦确定各基元激励的响应，通过相应线激励的响应完备描述物理现象。一旦确定各基元激励的响应，通过相应线性组合可以求出总响应。性组合可以求出总响应。 p 选择什么函数作为基元激励？选择什么函数作为基

2、元激励？p 如何实现任意函数的分解？如何实现任意函数的分解？ 傅里叶分析正是解决这些问题的重要数学工具。傅里叶分析正是解决这些问题的重要数学工具。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析激励激励系统输入系统输入响应响应系统输出系统输出装置装置f1(x,y)g1(x,y)因而需要解决的问题是：因而需要解决的问题是：物理系统物理系统f2(x,y)g2(x,y)1.1 一些常用函数一些常用函数在光学中将会经常利用一些特殊函数来描述某些特殊的光学元件对光的作用。这些在光学中将会经常利用一些特殊函数来描述某些特殊的光学元件对光的作用。这些函数包括：函数包括： 1）阶跃函数；）阶跃函数； 2）符号函数；）符号函

3、数； 3）矩形函数；）矩形函数； 4）三角形函数；）三角形函数； 5）sinc函数；函数； 6) 高斯函数；高斯函数； 7） 圆域函数。圆域函数。 我们将首先介绍这些特殊函数。对于所涉及的特殊函数及数学定理，将我们将首先介绍这些特殊函数。对于所涉及的特殊函数及数学定理，将着重阐明其着重阐明其在光学上的应用与物理上的含义，而不追求数学上的严谨在光学上的应用与物理上的含义，而不追求数学上的严谨。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析1.1 一些常用函数一些常用函数阶跃函数是一个非连续的分段函数，其作用如同一个阶跃函数是一个非连续的分段函数，其作用如同一个“开关开关”，可在某点，可在某点“开启开启”或或

4、“关闭关闭”另一个函数。另一个函数。光学中，可用它表示直边光学中，可用它表示直边( (或刀口或刀口) )的透过率。的透过率。函数函数step(x-x0)表示间断点移到表示间断点移到x0的阶跃函数。它和某函数相的阶跃函数。它和某函数相乘，乘，x x0 的部分，乘积等于原函数；的部分，乘积等于原函数；xx0的部分，乘积恒为零。的部分，乘积恒为零。其几何图形如右图所示。其几何图形如右图所示。由上式可得到：由上式可得到：0000, 0,21, 1)(xxxxxxxxstep)11 (0,00,210, 1)(stepxxxx阶跃函数定义为：阶跃函数定义为：1) 1) 阶跃函数阶跃函数第第1 1章傅里叶

5、分析章傅里叶分析第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析2) 2) 符号函数符号函数符号函数与某函数相乘时，可使符号函数与某函数相乘时，可使x0，b 0。其几何图形如右图所示。其几何图形如右图所示。矩形函数定义为：矩形函数定义为： 二维矩形函数以原点为中心，在二维矩形函数以原点为中心，在ab的矩形范围内函数值的矩形范围内函数值为为1。其他地方处处为零。当。其他地方处处为零。当a=b=1时，则二维矩形函数表示成时，则二维矩形函数表示成rect(x)rect(y)。 光学上常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透过率。它与某函光学上常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透过率。它与某函数相乘时，可限制函数自变量的范围，起到

6、截取的作用，故又数相乘时，可限制函数自变量的范围，起到截取的作用，故又常称之为常称之为“门函数门函数”。4)-(1 ,02,1)(rect其他axax)(rect)(rectbyax第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析4) 三角形函数三角形函数式中，式中，a 0，函数以原点为中心，是底边宽为，函数以原点为中心，是底边宽为2a的三角形。当的三角形。当a= 1时，三角形函数为时，三角形函数为tri(x)。三角形函数可用来表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。关于传递函三角形函数可用来表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。关于传递函数的概念非常重要，将在后面专门讨论。数的概念非常重要，

7、将在后面专门讨论。其几何图形如右图所示。其几何图形如右图所示。三角形函数定义为：三角形函数定义为：）（其他5-1 , 0,1)(triaxaxax第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析其他 0 1, 11)(tri)(tribyaxbyaxbxax二维三角形函数可表示为一维三角形函数的乘积，即：二维三角形函数可表示为一维三角形函数的乘积，即：5) sinc函数函数式中式中a0，函数在原点具有最大值函数在原点具有最大值1。零点位置在。零点位置在x=na (n1，2，3)处。当处。当a=1时，有时，有 。它的零点位。它的零点位于于x=1，2，。二维二维sinc函数可以表示为函数可以表示为式中，式中，a

8、0,b0。零点位置在。零点位置在(na，mb)，n和和m均为正整数。均为正整数。其几何图形如右图所示。其几何图形如右图所示。sinc 函数定义为：函数定义为：sinc 函数常用来描述狭缝或矩孔的夫琅和费衍射图样。函数常用来描述狭缝或矩孔的夫琅和费衍射图样。)61 ()sin()sinc(axaxaxxxsinsinc(x) bybyaxaxbyax)sin()sin()sinc(sinc(第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析6) 高斯函数高斯函数函数在原点具有最大值函数在原点具有最大值1，曲线下的面积为，曲线下的面积为a(a 0)。当。当a=1时，时，二维高斯函数可以表示为二维高斯函数可以表示为

9、式中，式中，a0，b0，函数曲面下的体积等于函数曲面下的体积等于ab。当。当a= b= 1时，高斯函数为时，高斯函数为也可用极坐标表示，令也可用极坐标表示，令r2=x2+y2 ，则，则高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束。高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束。其几何图形如右图所示。其几何图形如右图所示。高斯函数定义为：高斯函数定义为：)71()(exp)(Gaus2axax)exp()(Gaus2xx)91( )(exp)(Gaus)(Gaus22yxyx)81( )()(exp)(Gaus)(Gaus22byaxbyax)101 ( )exp()(Gaus2rr第第1 1章傅里叶分析章傅

10、里叶分析 圆域函数定义为：圆域函数定义为：函数呈圆柱形，底半径为函数呈圆柱形，底半径为r0 ，高度为，高度为1。在极坐标。在极坐标系中写作系中写作circ(r/r0)。当。当r0=1时，圆域函数为时，圆域函数为circ(r)。圆域函数常用来表示圆孔的透过率。圆域函数常用来表示圆孔的透过率。其几何图形如右图所示。其几何图形如右图所示。7)7)圆域函数圆域函数)111 (, 0, 1)(circ022022其他ryxryx第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析1.2 脉冲函数脉冲函数 函数是一种广义函数，在函数是一种广义函数，在物理学中，为了便于物理过程的研究，物理学中，为了便于物理过程的研究，常用常

11、用函数描述一函数描述一些抽象的、理想化的物理量。其中最典型的是光学中用些抽象的、理想化的物理量。其中最典型的是光学中用 函数代表一个点光源，该点光源函数代表一个点光源，该点光源是一个几何点，点的大小趋近于是一个几何点，点的大小趋近于0 ，而其包含的能量为个单位。，而其包含的能量为个单位。1.2.1 函数的定义与性质函数的定义与性质 第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析当屏移动到焦平面上时，屏上照度分布为：当屏移动到焦平面上时，屏上照度分布为：0),(yxA0, 0yx0, 0yx并且在屏移动过程中并且在屏移动过程中CdxdyyxA ),(1.2 脉冲函数脉冲函数二维空间二维空间 函数的一般定义为

12、函数的一般定义为： 函数的另一种定义方式是把它看作一些普通函数构成的序列的极限。例如：函数的另一种定义方式是把它看作一些普通函数构成的序列的极限。例如：事实上，只要满足事实上，只要满足(1-12)式定义的函数都可以表示为式定义的函数都可以表示为函数。函数。1.2.1 函数的定义与性质函数的定义与性质 )121(1),(00,0),(dxdyyxyxyx或)141( )exp()()131( )(rect)(22limlimxNNxNxNxNN第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析二维空间二维空间 函数可以表示为下列不同的形式函数可以表示为下列不同的形式)191 ( )2(),()181 ( )(c

13、irc),()171 ( )sinc(sinc(),()161 ( )(exp(),()151 ( )()(rect),(2222122222222limlimlimlimlimyxyxNJNyxyxNNyxNyNxNyxyxNNyxNyrectNxNyxNNNNN第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 函数图示方法函数图示方法第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析0 x (x)0 x (x,y)y 函数的性质：函数的性质：上式表明上式表明， (0,0)或或(x0,y0)点的脉冲函数对点的脉冲函数对(x,y)作用，结果是筛选出作用，结果是筛选出 (0,0)或或 (x0,y0) 。(2) 缩放缩放性质性

14、质(3) 乘积性质乘积性质假定假定h(x,y)在在(x0,y0)点连续，根据点连续，根据函数的定义则有函数的定义则有 (1) 筛选性质筛选性质 令令(x,y)在在(x,y)各点上连续，根据各点上连续，根据函数的定义则有函数的定义则有)211 (),(),(),()201 ()0 , 0(),(),(0000 yxdxdyyxyyxxdxdyyxyx)221 (),(1),( yxabbyax)231 (),(),(),(),(000000 yyxxyxhyyxxyxh第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 函数缩放函数缩放性质证明：性质证明：令令g(x,y)是一个连续函数，且是一个连续函数，且a0

15、，b0，考察积分，考察积分令令x=ax，y=by，则由，则由 函数的筛选性质得到函数的筛选性质得到如果如果a,b或二者为负数时，通过对积分限的适当处理，上式右面总可以表示为或二者为负数时，通过对积分限的适当处理，上式右面总可以表示为 ，于是得到于是得到 ),(1),(yxabbyax),(1),(yxabbyax ),(),( dxdyyxyxg)0 ,0(1),(),(,gabbydaxdyxbyaxg 第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析)0 , 0(1gab1.2.2 梳状函数梳状函数沿沿x轴分布，间隔都等于轴分布，间隔都等于1的无穷多脉冲函数，可用梳状函数表示的无穷多脉冲函数，可用梳状函

16、数表示式中式中n取整数。即取整数。即梳状函数是梳状函数是的一种排列组合。的一种排列组合。根据根据函数的缩放性质，间隔为函数的缩放性质，间隔为 的等间距脉冲序列可表示为的等间距脉冲序列可表示为梳状函数与普通函数的乘积可表示为梳状函数与普通函数的乘积可表示为此式表明，此式表明，利用梳状函数可以对其他普通函数作等间距抽样，得到的是该函数的离散抽利用梳状函数可以对其他普通函数作等间距抽样，得到的是该函数的离散抽样值样值。)241 ( )()(combnnxx)251 ()(comb1)(1)(nnxnxnx第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析）（261)()()(comb1)( -( ( nnnxnfn

17、xxfxxf1.2.2 梳状函数梳状函数二维脉冲阵列可以表示为二维脉冲阵列可以表示为光学上常用梳状函数表示点光源的阵列，或小孔阵列的透过率函数。光学上常用梳状函数表示点光源的阵列，或小孔阵列的透过率函数。 nnbyaxabmbynax)271 ( )(comb)(comb1),(第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析f(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用利用comb(x)对函数对函数f(x)进行等间距抽样：进行等间距抽样：xy二维梳状函数二维梳状函数: nnyxmynx)(comb)(comb),(1.2.2 梳状函数梳状函数第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析例题例题2：f(x)为任意连续

18、函数，为任意连续函数， a0，求函数，求函数g(x)= f(x)(x+a)-(x-a) 。例题例题1 ：已知连续函数已知连续函数f(x)，若，若x0b0，利用，利用函数筛选出函数在函数筛选出函数在x= x0+b的值，试写出运的值，试写出运算式。算式。)( )()(00bxfdxbxxxf )()()()(axaxxfxg)()()()(axxfaxxf)()()()(axafaxaf1.2.2 梳状函数梳状函数第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析例题例题3：已知连续函数已知连续函数f(x)， a0和和b0 。求出下列函数：。求出下列函数： (1) h(x)= f(x)(ax-x0) (2) g(

19、x)= f(x)comb(x- x0)/baxxaxfa001axxaxf01)(axxaxf0)( )()(00nnbxxnbxfb )()(0nnbxxbxfbx-xbbxf0comb1)()()()(0 xaxxfxh(1)bx-xxfxg0comb)()(2)第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析函数类别函数类别函数名称函数名称定义定义光学应用光学应用常用函数阶跃函数直边或刀口透过率符号函数孔径一半嵌有位相板的复振幅透过率矩形函数狭缝、矩孔的透过率三角函数矩形光瞳非相干成像系统的光学传递函数辛格函数狭缝或矩孔的夫琅和费衍射图样高斯函数激光器发出的高斯光束圆域函数圆孔的透过率脉冲函数 函数点

20、光源梳状函数点光源的阵列，或小孔阵列的透过率函数知知识识点点回回顾顾nnxx)()(comb其他, 0, 1)(circ022022ryxryx 1),(00,0),(dxdyyxyxyx或2)(exp)(Gausaxaxaxaxax)sin()sinc(其他, 0,1)(triaxaxax其他, 02, 1)(rectaxax0, 00,210, 1)(stepxxxx0, 10, 00, 1)sgn(xxxx第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析sinc(x)(x-1) =tri(x)(x + 0.5) =00.5 (x + 0.5)1x0-110.5-0.5(2) 缩放缩放性质性质(3) 乘

21、积性质乘积性质 (1) 筛选性质筛选性质),(),(0000yyxxyxh函数的性质：函数的性质： dxdyyxyyxx),(),(00 dxdyyxyx),(),()0 , 0(),(00yx),(byax),(1yxab),(),(00yyxxyxh快速抢答快速抢答知知识识点点回回顾顾1.3 卷积卷积 第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析物体分布物体分布成像系统成像系统像平面分布像平面分布1.3.1 卷积概念的引入卷积概念的引入 函数的卷积、相关及自相关运算在光学系统分析及图像处理等应用中尤其重要，特函数的卷积、相关及自相关运算在光学系统分析及图像处理等应用中尤其重要，特别是与傅里叶变换相结

22、合后，可以方便的描述系统的各种性能。别是与傅里叶变换相结合后，可以方便的描述系统的各种性能。1.3 卷积卷积 第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析设物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为设物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果，利用卷积运算来描述。像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果，利用卷积运算来描述。f(x x)成像成像xx x 0 x x1 1f(x x 1)h(x-x x 1)x x2 2f(x x 2)h(x-x x 2)f(0 0)h(x)xxxdxhfxg) () ()()()(xhxf1.3.1

23、卷积概念的引入卷积概念的引入卷积的物理意义：卷积的物理意义：像强度分布是物强度分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。像强度分布是物强度分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。1.3 卷积卷积式中，式中， *号表示卷积运算。号表示卷积运算。 由公式可见，所谓卷积包括如下由公式可见，所谓卷积包括如下5个步骤：个步骤： 1) 1) 变量置换。变量置换。将函数将函数f(x,y)和和h(x,y)的变量改为的变量改为(,)；2) 2) 折叠。折叠。函数函数h在在(,)坐标平面折叠，坐标平面折叠，即将即将h(,)改为改为h(-,-)；3) 3) 平移。平移。函数函数h位移，位移，即将即将h(-,-

24、)改为改为h(x-,y-)；4) 4) 相乘。相乘。两函数相乘，即两函数相乘，即 。 5) 5) 积分。积分。对两函数的积求积分，即计算对两函数的积求积分，即计算 。1.3.2 卷积的定义卷积的定义两个复值函数两个复值函数f(x,y)和和h(x,y)的卷积定义为的卷积定义为),(),()291 ( ),(),(),(yxhyxfddyxhfyxg xxx第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析),(),(xxyxhf xxxddyxhf),(),(1.3 卷积卷积1.3.2 卷积的定义卷积的定义第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析xf(x)xf(x- x0)x0 xf(x/a)xf(-x)x-f(x)

25、xbf(x)平移平移(原点移至原点移至x0)折叠折叠与与f(x)关于关于y轴轴镜像对称镜像对称取反取反与与f(x)关于关于x轴轴镜像对称镜像对称倍乘倍乘y方向幅度变化方向幅度变化比例缩放比例缩放a1, 在在x方向展宽方向展宽a倍倍a1, 在在x方向压缩方向压缩a倍倍以两个简单的一维函数的卷积为例说明以两个简单的一维函数的卷积为例说明卷积的几何含义：卷积的几何含义：过程如图所示。过程如图所示。f(x)和和h(x)的卷积为的卷积为其值为曲线下的面积值：其值为曲线下的面积值：x0 /2。 变量置换变量置换折叠折叠原函数原函数平移平移相乘、积分相乘、积分对于一个固定值对于一个固定值x=x0 ，卷积为，

26、卷积为其他其他,010,21)(,010,1)(xxhxxf）（ 30-1)()()(dxhfxgdxhfxg)()()(00第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 对于公式对于公式(1-30)所示的卷积，需要求出自所示的卷积，需要求出自-到到+的每一个的每一个x点的函数值，为此，分别点的函数值，为此，分别选取选取x=-1/2，0，1/2，1，3/2，2，5/2分别算出分别算出f()h(x-)，过程及结果如下图所示。，过程及结果如下图所示。两个矩形函两个矩形函数的卷积结数的卷积结果是一个三果是一个三角形函数。角形函数。而三角形底而三角形底边的宽度是边的宽度是两个矩形函两个矩形函数宽度的和。数宽度的

27、和。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析阶跃函数与负指数函数的卷积阶跃函数与负指数函数的卷积变量置换变量置换折叠折叠平移平移相乘、积分相乘、积分其他其他00)(, 00, 1)(xexhxxfxxxxxxeeededxhfxg1) 1(1)()()(0)(第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析卷积运算的两个效应：卷积运算的两个效应： (1) 展宽效应展宽效应 (2) 平滑化效应平滑化效应 被卷积的函数经过卷积运算，其细微结构在一被卷积的函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑，平滑化的程度取决于被卷函数的结构，结果参滑

28、，平滑化的程度取决于被卷函数的结构，结果参见图见图(1-8)所示。所示。 图示的平滑效应可以看作是一个宽度为图示的平滑效应可以看作是一个宽度为a的狭缝的狭缝对分布形式为对分布形式为f(x)的光强进行扫描的输出结果。狭缝的光强进行扫描的输出结果。狭缝越宽，平滑效应越严重。越宽，平滑效应越严重。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区间可称为函数的宽度。一般说来，卷积的宽度等于间可称为函数的宽度。一般说来，卷积的宽度等于被卷积函数的宽度之和。此效应已由被卷积函数的宽度之和。此效应已由2个矩形函数的个矩形函数的卷积结果所表明

29、。卷积结果所表明。1.3.3 卷积运算定律卷积运算定律证明：证明：1）交换律）交换律令令=x-，= y-，则，则=x-，= y-，带入上式，带入上式1) 交换律交换律2) 分配律分配律3) 结合律结合律)311 ( ),(),(),(),(yxfyxhyxhyxf)321 ( ),(),(),(),(),(),(),(yxhyxwyxhyxvyxhyxwyxv xxxddyxhfyxhyxf),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(yxfyxhddhyxfyxhyxf xxx由卷积定义得到由卷积定义得到）（331 ),(),(),(),(),(),(yxhyxwyxvyxhy

30、xwyxv第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析证明：证明： 2）分配律分配律 xxxxddyxhwvyxhyxwyxv),(),(),(),(),(),(直接由卷积定义得到直接由卷积定义得到第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 xxxxxddyxhwyxhv),(),(),(),(),(),(),(),(yxhyxwyxhyxv),(),(),(yxhyxwyxv证明：证明：3）结合律）结合律直接由卷积定义得到直接由卷积定义得到第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析),(),(),(yxhyxwyxvdsdttysxhtysxwtsv),(),( ),(dsdtdmdnntymsxhnmwtsv)(

31、,)(),(),(dsdtddyxhtswtsv),(),(),(xxxxxxddsdtdyxhtswtsv),(),(),(xxxddyxhdsdttswtsv),(),(),(考察任意函数考察任意函数f(x,y) 与与 函数卷积函数卷积因因 函数是偶函数，并利用其筛选性质得到函数是偶函数，并利用其筛选性质得到1.3.4 包含脉冲函数的卷积包含脉冲函数的卷积 xxxddyxfyxyxf),(),(),(),()341 ( ),(),(),(),(),( yxfddyxfyxyxfxxx第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析)(xfx0 x )( x 0)(xfx0=即：任意即：任意函数函数f (

32、x,y)与与 （x,y)函数的卷积等于函数本身。函数的卷积等于函数本身。考察任意函数考察任意函数f(x,y) 与与(x-x0,y-y0) 函数卷积函数卷积上式表明，上式表明，函数函数f(x,y)与与函数卷积的结果仅仅是把函数函数卷积的结果仅仅是把函数f(x,y)平移到脉冲所在的空间平移到脉冲所在的空间位置。位置。1.3.4 包含脉冲函数的卷积包含脉冲函数的卷积)351 ( )(),(),(0, 000yyxxfyyxxyxf第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析)(xfx0 x)(0 xx 00 x)(0 xxf x0=1.3.4 包含脉冲函数的卷积包含脉冲函数的卷积第第1 1章傅里叶分析章傅里叶

33、分析 函数函数f(x,y)与多个脉冲函数的卷积可在每个脉冲位置上产生与多个脉冲函数的卷积可在每个脉冲位置上产生f(x,y)的波形。这一性质有的波形。这一性质有助于我们描述各种助于我们描述各种重复性重复性的结构，例如，的结构，例如，双缝双缝、多缝多缝、光栅光栅等衍射屏的等衍射屏的透过率函数透过率函数。= )(xfx0 x第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析1.3 卷积卷积 例题例题1：利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔：利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入上嵌入位相板，透过率怎样变化？位相板，透过率怎样变化？ldxy第第1 1

34、章傅里叶分析章傅里叶分析1.3 卷积卷积 *=ldxy根据根据 函数性质，双孔透过率可以表示为函数性质，双孔透过率可以表示为x0dlxyy每个单孔的透过率可以用一个圆域函数来表示：每个单孔的透过率可以用一个圆域函数来表示：其他 02 12/circ),(2222lyxlyxyxtydxydxyxtyxtd,2,2),(),(ydxydxlyx,2,22/circ22第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析1.3 卷积卷积 *=ldxy位相板位相板: 输出输出 = 输入输入 exp(j), 即即: 透过率透过率= exp(j) = -1若左边若左边圆孔上嵌入圆孔上嵌入位相板位相板， 则则x0dlxyy

35、22circ22circ2222lydxlydx)exp(,2,2),(),(jydxydxyxtyxtdydxydxlyx,2,22circ22第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析sinc(x)*(x-1) =tri(x)*(x + 0.5) =sinc(x-1)1x201tri(x + 0.5)0-0.510.5-1.5x例题例题2：计算并绘图：计算并绘图1.3 卷积卷积 1.4 相关相关1.4.1 互相关互相关 两个复函数两个复函数f(x,y)和和g(x,y) 的互相关定义为的互相关定义为令令-x=，-y=，可以得到互相关定义的另一种形式，可以得到互相关定义的另一种形式式中，式中，g* 是

36、函数是函数g 的复共扼函数；的复共扼函数； 号表示相关运算。号表示相关运算。 若若 f 和和 g 是一维函数。互相关定义为是一维函数。互相关定义为 与卷积相比较差别仅在于：与卷积相比较差别仅在于：相关运算中函数相关运算中函数g应取复共扼，但不需要折叠。而位移、相应取复共扼，但不需要折叠。而位移、相乘、积分的三个步骤是同样的乘、积分的三个步骤是同样的。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析),(),(),(),(),(yxgyxfddyxgfyxrfg xxx)371 (),(),(),(),(),( yxgyxfddgyxfyxrfgxxx)381 ()()()()()( xgxfdxgfxrfg

37、xxx 互相关也可用卷积符号表示，即互相关也可用卷积符号表示，即 只有当只有当g为实的偶函数时，才有为实的偶函数时，才有 图图1-10对两个实函数对两个实函数(阶跃函数和负指数函数阶跃函数和负指数函数)的互的互相关给出图解分析，与图相关给出图解分析，与图1-7相比较，相比较，相关与卷积的结相关与卷积的结果完全不同果完全不同。 )()()()(xgxfxgxf卷积的结果卷积的结果第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析)391 ( )()( )1()( )()()()(xgxfdxgfdxgfxgxfxxxxxx需要指出的是：互相关运算不满足交换律。即需要指出的是：互相关运算不满足交换律。即但是有但是

38、有 因此，相关计算时应注意两个函数的顺序，因此，相关计算时应注意两个函数的顺序，以及哪一个函数取复共扼。以及哪一个函数取复共扼。物理意义：物理意义： 互相关是两个信号之间存在多少相似互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度。性的量度。p 两个完全不同的、毫无关系的信号，对所有位两个完全不同的、毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关的值应为零。置，它们互相关的值应为零。p 假如两个信号由于某种物理上的联系，在一些假如两个信号由于某种物理上的联系，在一些部位存在相似性，在相应位置上就存在非零的互部位存在相似性，在相应位置上就存在非零的互相关。相关。),(),(yxryxrgffg)401 (),(

39、),(yxryxrgffg第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析1.4.2 自相关自相关或者或者对于复函数对于复函数f(x,y)，利用公式，利用公式(1-40)可知可知当当f(x,y)为实函数时，自相关函数是实的偶函数，为实函数时，自相关函数是实的偶函数，自相关函数有一个重要的性质：它的模在原点最大，即自相关函数有一个重要的性质：它的模在原点最大，即函数函数f(x,y)的自相关定义为的自相关定义为44)-(1 ),(),(yxryxrffff)451 ( ),(),(yxryxrffff)461 ( )0 , 0(),(ffffryxr第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析)411 ( ),(),()

40、,(),(),( yxfyxfddyxffyxrffxxx)421 (),(),(),( xxxddfyxfyxrff自相关函数是自变量相差某一大小时，函数自相关函数是自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度。值间相关的量度。 当当x=y=0时，时，f(,)f*(-x,-y)就等于就等于 f(,) 2，对于每个对于每个(,)点，这个值总是正的，积分点，这个值总是正的，积分rff(0,0)将有最大值。当信号相对本身有平移时，就改变将有最大值。当信号相对本身有平移时，就改变了位移为零时具有的逐点相似性，自相关的模减了位移为零时具有的逐点相似性，自相关的模减小。但是只要信号本身在不同部位存在相似结构

41、，小。但是只要信号本身在不同部位存在相似结构，相应部位还会产生不为零的自相关值。当位移足相应部位还会产生不为零的自相关值。当位移足够大时，白相关值可能趋于零。够大时，白相关值可能趋于零。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析1.4.3 有限功率函数的相关有限功率函数的相关 有些函数如周期函数、平稳随机函数等并不满足这一条件，但却满足下述极限有些函数如周期函数、平稳随机函数等并不满足这一条件，但却满足下述极限 当系统中能量传递的平均功率为有限值时，常用到这类函数，称它们为当系统中能量传递的平均功率为有限值时，常用到这类函数，称它们为有限功率函有限功率函数数。 公式公式(1-36)和公式和公式(1-3

42、7)给出的互相关定义适用于两个函数中至少有一个是有限能量给出的互相关定义适用于两个函数中至少有一个是有限能量函数的情况，即函数是平方可积函数函数的情况，即函数是平方可积函数 dxdyyxf2),( XXYYYXdxdyyxfYX2,),(221lim第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析1.4.3 有限功率函数的相关有限功率函数的相关 当两个复函数是有限功率函数时，互相关定义为当两个复函数是有限功率函数时，互相关定义为式中，尖括号表示取平均。式中，尖括号表示取平均。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析)471 ( ),(),(yxgfxx XXYYYXfgddyxgfYXyxRxxx),(),(22

43、1),(lim, 有限功率函数的自相关定义为有限功率函数的自相关定义为 XXYYYXffddyxffYXyxRxxx),(),(221),(lim,),(),(yxffxx)481 ( 卷积和相关的区别与联系：卷积和相关的区别与联系：第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析是两种运算关系是两种运算关系(或过程或过程)，都是含参量的无穷积分。，都是含参量的无穷积分。“某种运算某种运算”：就是观测方式或观测仪器对输入函数作用的数学描述。：就是观测方式或观测仪器对输入函数作用的数学描述。都是两个函数通过某种运算得到另一函数。都是两个函数通过某种运算得到另一函数。卷积运算：可用来表示一个观测系统或一个观测仪

44、器对输入信号的作用过程，比卷积运算：可用来表示一个观测系统或一个观测仪器对输入信号的作用过程，比如成像系统。如成像系统。相关运算：常用于比较两个函数的关联性，相似程度，用于信号检测。相关运算：常用于比较两个函数的关联性，相似程度，用于信号检测。联联系系区区别别 1）19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院提交的关于热传导的著名论文中首次提出了傅世纪初，傅里叶在向巴黎科学院提交的关于热传导的著名论文中首次提出了傅里叶级数的概念；经过不断发展，在今天，傅里叶分析的方法已经被广泛应用于物理及里叶级数的概念；经过不断发展，在今天，傅里叶分析的方法已经被广泛应用于物理及工程学科的各个领域。工程学科的各个领域。

45、2）傅里叶级数的思想就是用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数。常）傅里叶级数的思想就是用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数。常用的正交函数系包括三角函数系和复指数函数系。用的正交函数系包括三角函数系和复指数函数系。 1.5.1 三角傅里叶级数三角傅里叶级数 01cos 2sin 22nnnag xanfxbnfx其中，其中， 002ag x dx 02cos 2nag xnfx dx 02sin 2nbg xnfx dx1,2,n 1.5 傅里叶级数傅里叶级数 对于某一周期性函数对于某一周期性函数g(x)，周期是，周期是 ，频率为，频率为 =1/ ，如果满足狄里赫利条件，即

46、在如果满足狄里赫利条件，即在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点。则该函数可表示为三角傅里叶级数和一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点。则该函数可表示为三角傅里叶级数和指数傅里叶级数的形式。指数傅里叶级数的形式。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析1.5.2 指数傅里叶级数指数傅里叶级数 exp2nng xcjnfx 01exp20, 1, 2,ncg xjnfx dxn 其中，其中，两种表达形式之间的联系两种表达形式之间的联系002ac 12nnncajb12nnncajb1,2,3,n 傅里叶系数傅里叶系数 cn 是频率是频率 nf 的函数，称为的函数，称为频谱函数频谱函数。一般

47、。一般 cn 是复函数，它包括振幅频谱和相是复函数，它包括振幅频谱和相位频谱。由于周期性函数只包含位频谱。由于周期性函数只包含0, f, 2f, 3f,等频率分量，频率取值是离散的，等频率分量，频率取值是离散的，所以只有离散谱。所以只有离散谱。 * 所谓的研究频谱就是研究系数所谓的研究频谱就是研究系数 cn 与与 频率频率 nf 之间的关系。之间的关系。如果如果njnncA e其中，其中，An称为振幅频谱，称为振幅频谱， n称为相位频谱。称为相位频谱。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 ,40,42Axg xx举例：如下图所示的周期为举例：如下图所示的周期为 =1/f0 的矩形波函数，在一个周

48、期内，函数解析式为的矩形波函数，在一个周期内，函数解析式为（1）展开为三角傅里叶级数形式为）展开为三角傅里叶级数形式为 00002111cos2cos23cos25cos272357AAg xf xfxfxfx第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析矩形波的傅里叶综合矩形波的傅里叶综合第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析-1.201.2012345)2cos(2xf )6cos(32xf 21前3项的和an fn013频谱图频谱图1/22/-2/3.)6cos(32)2cos(221)(fxfxxg若振幅若振幅A=1，周期，周期, =1，则，则（2）展开为指数傅里叶级

49、数形式）展开为指数傅里叶级数形式 0000002323252522235jfxjfxjfxjfxjf xjf xAAAAg xeeeeee对应的频谱为对应的频谱为所谓频谱所谓频谱，光学中就是指对应的夫朗和费衍射的复振幅分布。其模的平方就是强度分布。，光学中就是指对应的夫朗和费衍射的复振幅分布。其模的平方就是强度分布。第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析1.6 傅里叶变换傅里叶变换称为傅里叶积分。称为傅里叶积分。G(f)称为称为g(x) 的傅里叶变换，而的傅里叶变换，而g(x)称为称为G(f)的傅里叶逆变换。的傅里叶逆变换。或用符号表示为或用符号表示为式中，式中，A(f)是是g(x)的振幅频谱的振

50、幅频谱；(f)是是g(x)的相位频谱的相位频谱。当当G(f)是复函数时，可以表示是复函数时，可以表示为为 若若g(x)表示某空间域的物理量，表示某空间域的物理量，(1-72)式则表明该物理量可以表示为一系列基元函数式则表明该物理量可以表示为一系列基元函数ej2fx的叠加，而的叠加，而G(f)则是每个基元函数的权重因子。则是每个基元函数的权重因子。G(f)反映了该物理量在频率域的特性，反映了该物理量在频率域的特性，因此也称之为频谱。因此也称之为频谱。1.6.1 傅里叶变换定义及存在条件傅里叶变换定义及存在条件下列积分下列积分)721 ( )()(2dfefGxgfxj)731 ( )()(2dx

51、exgfGfxj)()( ,)()(1fGxgxgfGFF)()()(fjefAfG第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析将一维傅里叶变换推广到二维傅里叶变换有将一维傅里叶变换推广到二维傅里叶变换有(1)g(x,y)在整个在整个xy平面绝对可积，即平面绝对可积，即(2)在任一有限区域里，在任一有限区域里，g(x,y)必须只有有限个间断点和有限个极大和极小点；必须只有有限个间断点和有限个极大和极小点；(3)g(x,y)必须没有无穷大间断点。必须没有无穷大间断点。则函数则函数g(x,y)的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。假如函数假如函数g(x,y)g(x,y)满足下述条件满足下述条件: :)741

52、( ),()(2exp),(),( yxyxyxyxffGdfdfyfxfjffGyxg1-F)751 ( ),()(2exp),(),( yxgdxdyyfxfjyxgffGyxyxF dxdyyxg),(第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析什么情况下傅里叶什么情况下傅里叶积分才有意义？或积分才有意义？或者说傅里叶变换存者说傅里叶变换存在的条件是什么？在的条件是什么？1.6.2 广义傅里叶变换广义傅里叶变换 广义傅里叶变换定义：若函数可以看作是某个可变换函数所组成的序列的极限，对序广义傅里叶变换定义：若函数可以看作是某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每一函数进行变换，组成一个新的变换式

53、序列，这个新序列的极限就是原来函数的广列中每一函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换。义傅里叶变换。 而矩形函数的傅里叶变换为而矩形函数的傅里叶变换为 例如函数例如函数g(x,y)=1，显然它不符合傅里叶变换存在条件，但可以把它定义为矩形函数，显然它不符合傅里叶变换存在条件，但可以把它定义为矩形函数序列的极限，即序列的极限，即)(rect)(rectlim),(yxyxg)sinc(sinc()(rect)(rect2yxffyxF第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 上述条件严格限制了傅里叶变换的应用。而在分析系统时，为了方便，往往用理想上述条件严格

54、限制了傅里叶变换的应用。而在分析系统时，为了方便，往往用理想化的数学函数来近似描述实际的物理波形，这些函数常不符合上述条件。例如化的数学函数来近似描述实际的物理波形，这些函数常不符合上述条件。例如 函数，函数，正、余弦函数，阶跃函数等。为此，若希望用傅里叶分析讨论更多的有用函数，必须对正、余弦函数，阶跃函数等。为此，若希望用傅里叶分析讨论更多的有用函数，必须对傅里叶变换定义作些推广。傅里叶变换定义作些推广。根据广义变换定义及根据广义变换定义及函数定义有函数定义有即即上述例子表明：广义变换可以按照和通常变换相同的规则进行运算，而不再考虑二上述例子表明：广义变换可以按照和通常变换相同的规则进行运算

55、，而不再考虑二者的差别。当一个函数显然不满足变换存在的条件，但我们仍说它有一个变换式，这实者的差别。当一个函数显然不满足变换存在的条件，但我们仍说它有一个变换式，这实际上就是指广义变换。际上就是指广义变换。),()sinc(sinc(lim),(2yxyxffffyxgF76)-(1 ) (1yxf,fF证明：证明：第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 2222)(2exp)rect()rect(dxdyyfxfjyxyxF)sinc( )sin()sin(221)2exp(21)2exp(2222xxxxxxxxffffjfjxfjfjdxxfj空域空域g(x,y)频域频域G(fx,fy)空域

56、空域g(x,y)频域频域G(fx,fy)实函数实函数厄米型函数厄米型函数虚值偶函数虚值偶函数虚值偶函数虚值偶函数虚函数虚函数反厄米型函数反厄米型函数*虚值奇函数虚值奇函数实值奇函数实值奇函数实值偶函数实值偶函数实值偶函数实值偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数实值奇函数实值奇函数虚值奇函数虚值奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数*: 若实部为奇函数，虚部为偶函数，则函数是反厄米型函数。若实部为奇函数，虚部为偶函数，则函数是反厄米型函数。 1.6.3 虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 利用欧拉公式将频谱函数利用欧拉公式将频谱函数G(f)分

57、别写成实部分别写成实部(余弦变换余弦变换)和虚部和虚部(正弦变换正弦变换)，然后根，然后根据据g(x)的虚、实、奇、偶的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质。性质讨论频谱的相应性质。注意：并非实函数的频谱一定是实函数，只有厄米函数注意：并非实函数的频谱一定是实函数，只有厄米函数(实部为偶函数，虚部为奇函数实部为偶函数，虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数。傅里叶变换不改变函数的奇偶性（的频谱才一定是实函数。傅里叶变换不改变函数的奇偶性（傅里叶变换的对称性傅里叶变换的对称性）。）。例例: rect (x) (实、偶实、偶) sinc(fx) (实、偶实、偶) F.T.但是但是, rect (x-

58、1) (实、非偶实、非偶) 复函数复函数 F.T.1.6.4 傅里叶变换定理傅里叶变换定理(1) 线性定理线性定理即两个函数之和的变换等于它们各自变换之和。即两个函数之和的变换等于它们各自变换之和。(2) 相似性定理相似性定理即空域中坐标即空域中坐标(x,y)的扩展，导致频域中坐标的扩展，导致频域中坐标(fx,fy)的压缩以及频谱幅度的变化。的压缩以及频谱幅度的变化。)831 ( ),(),(),(),(yxyxffHffGyxhyxgF)841 ( ),(1),(bfafGabbyaxgyxF第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析则有以下定理：则有以下定理：F.T.),(yxffG),(yxgF

59、.T.),(yxffH),(yxh设函数设函数g(x,y)和和h(x,y)的傅里叶变换分别为的傅里叶变换分别为G(fx,fy)和和H(fx,fy)，即，即:1.6.4 傅里叶变换定理傅里叶变换定理第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析 注意：注意：空域坐标空域坐标(x,y)的的扩展扩展(a,b1)，导致频域中坐标，导致频域中坐标(fx,fy)的的压缩压缩及频谱幅度的变化及频谱幅度的变化。反之亦然。反之亦然。g(x)x01/2-1/21g(ax) a=2x0 1/4-1/41fG(f)01-11空域压缩空域压缩F.T.F.T.频域扩展频域扩展f02-21/2)(1afGax1.6.4 傅里叶变换定理

60、傅里叶变换定理(3) 位移定理位移定理即函数在空域中的位移，导致频域中的相移。即函数在空域中的位移，导致频域中的相移。即函数在空域中的相移，导致频域中的位移。即函数在空域中的相移，导致频域中的位移。另一方面有另一方面有)851 ( )(2exp),(),(bfafjffGbyaxgyxyxF)861 (),()(2exp),( byaxbaffffGyfxfjyxgF第第1 1章傅里叶分析章傅里叶分析推论推论:由由),(1yxffF复指函数的复指函数的F.T.是移位的是移位的函数。函数。 ),()(2expbyaxbaffffyfxfjF1.6.4 傅里叶变换定理傅里叶变换定理第第1 1章傅里