理论力学6—桁架、摩擦、重心

1、第六章桁架、摩擦、重心 6.1 桁架桁架结构6.1桁架桁架是由若干直杆在两端通过焊接、铆接所构成的几何形状不变的工程承载结构。桁架中各杆轴线的交点称为节点。 优点：能够充分发挥一般钢材抗拉、压性能强的优势，具有用料省、自重轻、承载能力强、装配拆卸方便等优点。房屋建筑、起重机架、高压线塔、油田井架以及铁路桥梁等，多采用这种结构。焊接螺栓连接铆接6.1 桁架各杆件轴线不在同一平面内的桁架，称为空间桁架。各杆件轴线都在同一平面内的桁架，称为平面桁架。一、如何进行平面桁架内力计算？力学模型力学特性分析计算6.1 桁架2.2.杆件与杆件间均用光滑铰链连接。杆件与杆件间均用光滑铰链连接。4.4.各杆件自重

2、不计或平均分布在节点上。各杆件自重不计或平均分布在节点上。桁架中每根杆件均为二力杆桁架中每根杆件均为二力杆考虑如下几点假设：考虑如下几点假设：理想桁架理想桁架二、建立平面桁架力学模型 力学模型力学特性分析计算1.1.各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内。各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内。3.3.载荷作用在节点上且位于桁架几何平面内。载荷作用在节点上且位于桁架几何平面内。6.1桁架 杆件号杆件号12345理想桁架模型理想桁架模型3000-4242.642000-40000实际桁架模型实际桁架模型1实际桁架模型实际桁架模型2不同力学模型计算结果对比假设假设2 2：桁架中杆件间均用光滑铰链连接。

3、：桁架中杆件间均用光滑铰链连接。假设假设3 3：载荷作用在节点上。：载荷作用在节点上。2991.52 -4229.49 1988.01 -3991.11 13.6393040.57 -4319.12 1961.86 -4219.15 40.5896.1 桁架由三根杆与三个节点组成一个基本三角形，再附加杆件形成更多的三角形，则所构成的桁架称为简单桁架 总杆数mn总节点数32 nm平面简单桁架（平面静定桁架）三、简单理想桁架的内力计算 6.1 桁架 对于简单理想桁架，各杆所传递的力均可通过力系的平衡方程来计算。 节点法 应用平面汇交力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点的平衡。截面法 应用平面任意力

4、系的平衡条件，研究桁架由截面切出的某些部分的平衡。 无论采用哪种方法，往往都应先求支座的约束反力。 应注意正确选取节点的顺序（截面），使未知力数目与平衡方程数目相等，避免求解联立方程，简化计算过程。 为了便于用计算结果的正、负来判断各杆的受力特性，一般在分析各杆受力时，先假定各杆受拉。注 意三、简单理想桁架的内力计算 6.1 桁架已知已知: :平面桁架节点E处受载荷P，各杆长度均为l；求求: : 1、2、3杆受力。解解: :取整体,求支座约束力由平面力系平衡条件列平衡方程 0 xF0AxF0BM032AylFlPPFAy32节点法 依次取节点A，C，E为研究对象 对节点A由平面汇交力系平衡条件

5、列平衡方程 060sin0ACAyyFFF，060cos0ACAExFFF，得 PFPFFAEAyAC39239460sin例例1 16.1 桁架对节点C由平面汇交力系平衡条件列平衡方程 030cos30cos, 0CECAyFFF, 0 xFPFPFCE1394394对节点E由平面汇交力系平衡条件列平衡方程 PFFF2ECy60sin60sin0，060cos60cos023ECEAxFFFFF，PFPF3233392060cos60cosCACE1FFF 依次取各节点为研究对象并画出相应的受力图；应用相应的汇交力系的平衡条件列平衡方程求出各杆件的未知力。 节点法求解要点6.1 桁架 0EM

6、0130cos10Ay1FF0yF 060cos0231FFF用截面m-n分桁架为两部分，取桁架左边部分截面法 0 xF060sin0PFF2Ay)(394压PF1（拉）PF2392（拉）PF333 假想用一截面截取出桁架的某一部分作为研究对象，此时被截杆件的内力作为研究对象的外力，可应用一般力系的平衡条件列平衡方程求出被截杆件的未知内力。 截面法求解要点 摩擦的类别：摩擦的类别：干摩擦固体对固体的摩擦。流体摩擦流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。滑动摩擦由于物体间相对滑动或有相对滑动趋势引起的摩擦。滚动摩擦由于物体间相对滚动或有相对滚动趋势引起的摩擦。6.2摩擦 当两个相互接触的物体

7、具有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动摩擦力。6.2 摩擦在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，该物体在重力P和法向反力FN的作用下处于静止状态。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，当拉力F由零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支承面对物体除法向约束反力FN外，还有一个阻碍物体

8、沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常以FS表示，方向向左，如图。6.2.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力FNPFNPFSF6.2 摩擦静摩擦力的大小随水平力F的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力F的增大而无限度地增大。当力F的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力F再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静

9、摩擦力的特点；6.2.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力FNPFSF0:0 xSSFFFFF6.2 摩擦max0sFF综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即 由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的法向反力的大小成正比，即：maxsNFf F这就是静滑动摩擦定律。式中fs称为静滑动摩擦系数。6.6.2静摩擦定律（库仑摩擦定律）静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小无关。6.2 摩擦1 摩擦角 当有摩擦时，支承面对平衡物体的反力包含法向反力FN和切向摩擦力Fs ,这两个力的合力称为支承

10、面的全约束反力，即FR= FN + Fs ，它与支承面间的夹角j将随主动力的变化而变化，当物体处于临界平衡状态时，j角达到一最大值jf。全约束力与法线间的夹角的最大值j f称为摩擦角。6.2.2 摩擦角和自锁现象FNFsFRjFNFmaxFRjjf6.2 摩擦由图可知，角jf与静滑动摩擦系数f的关系为：maxsNfsNNtanFf FfFFj即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见，摩擦角与摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，FR的作用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的摩擦系

11、数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2jf的圆锥。FNFmaxFRjjf6.2 摩擦6.2 摩擦 2 自锁现象物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Fmax之间变化，所以全约束反力与法线间的夹角j也在零与摩擦角jf之间变化，即由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束反力必在摩擦角之内。f0jjFNFmaxFRjjf6.2 摩擦qjfjfjfFRFRAAj (1)如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角jf之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力FR与法线间的夹

12、角q jf，因此， FR和全约束反力FRA必能满足二力平衡条件，且q j j f，而j j f ，支承面的全约束反力FRA和主动力的合力FR不能满足二力平衡条件。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。6.2 摩擦斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺纹升角a就是斜面的倾角。螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷P，相当物块A的重力，要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺纹的自锁条件是faj2 自锁现象6.2 摩擦6.2.3 考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章

13、所述大致相同，但有如下的几个特点：(1)分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的数目；(2)为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即Fs fsFN，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0FsfsFN)，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。6.2 摩擦 解解:1)物块在自重作用下即将下滑，受力图为：物块在自重作用下即将下滑，受力图为： 建

14、立如图坐标系，列平衡方程有建立如图坐标系，列平衡方程有 xyFN0 xF0sin1apF0yF0cos1apNNfF 解得解得ffarctantan11或aa 这个角度这个角度 称为静摩擦角称为静摩擦角1a1a例例1 将重为将重为P的物块放在斜面上，斜面倾的物块放在斜面上，斜面倾角角 ，已知静摩擦系数为，已知静摩擦系数为 f ,问问1)斜面的倾角斜面的倾角 增到多少时物块将下滑？增到多少时物块将下滑？2)当当 时若加一水平力时若加一水平力 使物块平衡，使物块平衡，求力求力 的范围。的范围。aQQ1aaa6.2 摩擦 aPQ2)物块上加一水平力如图物块上加一水平力如图 以物块为研究对象，当物块处

15、于向下以物块为研究对象，当物块处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。图坐标。minQP1Nmax1Fxy0sincos:0max1minaaPFQX0cossin:01minaaPNQY1max1fNF联立求解得：联立求解得：PffQaaaasincoscossinmin6.2 摩擦PxymaxQmax2F2N 当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。受力如图，建立如图坐标。0sincos:0max2maxaaPFQX0cossin:02maxaaPNQY2max2fNF联立求解得：联

16、立求解得：PffQaaaasincoscossinmax故力故力 应满足的条件为：应满足的条件为：QPffQPffaaaaaaaasincoscossinsincoscossin6.2 摩擦6.3.16.3重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式 重心 重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其这力系的合

17、力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为这个点称为物体的重心物体的重心。CPxyzCxCyCziP),(iiiizyxMixiyizO如图，由合力矩定理（对轴如图，由合力矩定理（对轴oy和轴和轴ox取矩）：取矩）：PxPxCPyPyC 将坐标绕将坐标绕y轴转过轴转过 ，由合力矩，由合力矩定理：定理：90PzPzC6.3.1重心 由以上三式可得物体由以上三式可得物体重心坐标公式重心坐标公式为：为：PPzzPPyyPPxxCCC, 对于均质物体、均质板或均质杆，其重心对于均质物体、均质板或均

18、质杆，其重心坐标分别为：坐标分别为： VVzzVVyyVVxxCCC,SSzzSSyySSxxCCC,llzzllyyllxxCCC,6.3重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式形心:平面图形的中心.(均质等厚的板很薄,薄到厚度可以忽略不计时,板的重心)当平面图形的外边缘为光滑连续曲线时,变为。即：xc= sdx/S yC= sdx/S二、实验法1、悬挂法：（用于小型物体）将物体悬挂，如图，由二力平衡知AB直线。换另一悬挂点得DE直线，则AB、DE的交点C即为重心。ABABDEC6.3重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式2、称重法（用于大型、复杂的物体）已知物体的重力G，称与固定的距离L，物体放置称上时，指针读数F，由合力矩定理可求重心到定点的距离。OCAxLFGMo=0 Gx=FL6.3重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式6.3重心 求图示均质板重心的位置。 解一：（组合法）建立如图坐标：aaxyaaO1C2CaaaaaaAAxAxAxC65221222122