4-3-1不规则图形的面积.题库教师版(总31页)

1、不规则图形的面积例题精讲本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米) 图1 图2 图3【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图或图)两个长方形的总面积就是所求的 面积图的面积是：(平方厘米)图的面积是：(平方厘米) (方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：(平方厘米)的大长方形因此用这个长方形的面

2、积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(平方厘米)【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)【解析】 这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形； 图一图二图三方法一：如图一，(平方米)方法二：如图二，(平方米)方法三：如图三，(平方米)【巩固】如右图所示，图中的是由一个长方形及一个正方形拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求的周长和面积 【解析】 方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形的周长和面积可以求出而正方形的边长(厘米)，长方形的

3、宽(厘米)，所求图形的周长(厘米)面积(平方厘米)方法二：可以将线段、向外平移，得一个新的图形，因为，所以图形的周长就是图形的周长而(厘米)，所以图形是边长为厘米的正方形所求图形的周长正方形的周长(厘米)面积(平方厘米)【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积【巩固】求图中五边形的面积【解析】 由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长，斜边等于，所以另一直角边为，所以矩形的长为，五边形面积【例 2】

4、(第三届”华杯赛口试试题”)这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米问，此楼梯截面的面积是多少？ 【解析】 如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米宽300厘米，它的面积恰好是所求截面的2倍所以楼梯截面面积为(平方厘米)【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米这楼梯的截面积是多少平方厘米？ 【解析】 先求出大三角形的两条直角边都是(厘米)，因此大三角形的面积为(平方厘米)；8个小三角形的面积为(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为(平方厘米)【例 3】 有一块菜地长米，宽米，菜地中间留了宽米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是

5、多少？ 【解析】 方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：(平方米)方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：(平方米)方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，再求出其中每一小块菜地的面积如图所示：(平方米)【例 4】 有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【解析】 通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加平方厘米，所以这10张纸片盖

6、住的面积是：(平方厘米)【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积. 【解析】 所求面积等于图中阴影部分的面积，为(平方厘米)【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.【解析】 阴影部分是一个高为厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形与三角形完全相同，都减去三角形后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形的面积.直角梯形的上底为(厘米)，面积为(厘米2).所以，阴影部分的面积是平方厘米。【例 6】 如图，李大伯给一块长方形

7、田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2米的正方形区域，他从图中的点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过88米到达点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？【解析】 从图中可以看出，李大伯每走1米，就能喷洒平方米田地，李大伯一共走了88米，所以这块田地的面积是(平方米)【例 7】 (第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)右图中甲的面积比乙的面积大_平方厘米【解析】 甲的面积白色三角形的面积()(平方厘米)，乙的面积白色三角形的面积()(平方厘米)，所以，甲的面积乙的面积(平方厘米)【例 8】 右图中，矩形的边为厘米，为厘

8、米，三角形比三角形的面积大平方厘米，求的长【解析】 (厘米)，(厘米)【巩固】如图所示，厘米，比的面积小平方厘米，求的长为多少厘米？【解析】 连接两点，由比的面积小平方厘米，根据差不变原则可得由于(平方厘米)，所以 ，所以(厘米)【巩固】如图，平行四边形ABCD种，直角三角形ECB的边，已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大，求平行四边形ABCD的面积【解析】 三角形面积底高【例 9】 如图，ABCD是的长方形，DEFG是的长方形，求与的面积差 【解析】 如右图所示，我们把与同时补上阴影部分，则它们的差是不变的，即有： 本题还可以按照下面添加辅助线的方法去解答，可以让学生自己试试看【例 1

9、0】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？【解析】 根据题意，可以用下图表示增减变化的情况，从图中可以看出，原来长方形的长为(米)，宽为(米)【巩固】有一个长方形，如果宽减少米，或长减少3米，则面积均减少平方米，求这个长方形的面积？ 【解析】 长方形宽减少米，面积减少24平方米说明长方形长：(米)长方形长减少3米，面积减少24平方米说明长方形宽：(米)所以这个长方形的面积为：(平方米)【例 11】 一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比

10、原来减少多少平方分米？【解析】 (方法一)如图，铁板面积比原来减少的面积就是阴影部分的面积，阴影部分的面积是用原长方形 的面积减去空白部分的面积即：50(平方分米)(方法二)也可把阴影部分分割成两个长方形，求两个长方形的面积 【例 12】 一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？【解析】 如图，正方形的边长是(厘米)，长方形面积为(平方厘米)【巩固】一块长方形纸片，在长边剪去，宽边剪去后(如图)，得到的正方形面积比原长方形面积少求原长方形纸片的面积 【解析】 通过对图形进行分割，可以发现的长与宽分别是和，则它

11、的面积是()，那么的面积是()，如给移到的旁边，则知正方形的边长：()，正方形的面积是()，原长方形的面积是()【巩固】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米求原正方形的面积？ 【解析】 由画图可知：阴影部分的面积就是120平方厘米，它可以分割成两个相等的长方形和一个边长是6厘米的正方形两个长方形的面积和是：(平方厘米)，一个长方形的面积是：(平方厘米)，长方形的长是：(厘米)，这个长度也是原正方形的边长，原正方形的面积是：(平方厘米)【例 13】 一块正方形的钢板，先截去一个宽5分米的长方形，又截去一个宽8分米的长方形(如

12、图)，面积就比原来正方形减少181平方分米原正方形的边长是多少分米？【解析】 对于较复杂的几何问题，如果题目条件之间的关系在图形中反映的不是那么具体、明确，而图形结构提供的信息也较模糊，这时就可考虑通过对图形进行变换进行”重组”对本题而言，根据图形特征，我们把阴影部分、剪切下来，并把剪切下的三个小长方形拼合起来，如图所示：通过上面分析可知，这个拼合起来的长方形”“的面积是，长是原来正方形的边长，宽是分米这样就可以求出原来正方形的边长拼合起来的长方形面积为： (平方分米)原来正方形的边长是：(分米)这道题中”将剪下的面积拼起来”这个思想非常有用有时剪下的几块形状之间差异很大，但它们拼起来却能形成

13、很规则的图形【巩固】一张长方形纸片，先把长剪去8厘米，这时面积减少了72平方厘米，又把宽剪去5厘米，这时面积又减少了60平方厘米，原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？【解析】 依题意：宽=(厘米)，长(厘米)，即长是：(厘米)，因此，原来长方形纸片的面积是：(平方厘米)【巩固】(希望杯培训题)如右图所示，在一个正方形上先截去宽分米的长方形，再截去宽分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少平方分米原正方形的边长是_分米 【解析】 把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长分米、宽分米的小长方形，所得长方形的面积是平方分米，这个长方形的长等于原正方形的边长，宽为分米，所以原正方形边长

14、为：分米【例 14】 如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大平方厘米，求阴影部分的面积【解析】 (方法一)首先根据条件可求得长方形面积为： 一方面，观察图形可知： 长方形的面积阴影部分面积空白部分面积 另一方面，根据条件可知： 阴影部分的面积空白部分面积 所以，就可以根据”和差问题”的规律求出阴影部分的面积为： (方法二)我们还可以从另一种角度来思考，考虑条件”阴影部分面积比空白部分面积大平方厘米”中多出的部分为了把的这个条件在图中明确地刻画出来，我们按下图的方式进行分割：显然，右图中的阴影长方形的面积就等于平方厘米这样，就把题目中的文字条件与它在图形中的对应关系搞清楚了由此不难

15、求出阴影长方形的宽等于：那么三角形的底为：，所以它的面积为：则阴影部分的面积为：【例 15】 一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠(如图甲)，阴影部分面积占原纸片面积的；再把左下角往上折叠(如图乙)，乙图中阴影部分面积占原纸片面积的_(答案用分数表示) 【解析】 甲图阴影部分面积占原纸片面积的，可以设原纸片的长为，说明阴影长方形的宽为，原纸片的空白部分为边长为的正方形，即原纸片的宽为，左下角折叠的三角形打开为边长的正方形，则乙图中阴影部分的面积为，而原纸片的面积为，所以乙图中阴影部分面积占原纸片面积的【巩固】折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的倍已知阴影部分面积之和为，则重叠部分(即空白

16、部分)的面积是多少？ 【解析】 折叠后图形的面积为原来图形面积的，所以由于重叠而消失的面积等于原来面积的，即右图中空白三角形的面积为原来图形面积的，所以未重叠的阴影部分面积之和也等于原来图形面积的，即与重叠部分面积相等，所以重叠部分(即空白部分)的面积是【巩固】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】 阴影部分的宽是(厘米)，长是(厘米)，面积是(平方厘米)【例 16】 如图，大正方形的边长为10厘米连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中

17、阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【解析】 观察图形，可以看出图中小正方形中的阴影图形与它对面的空白三角形是对称的，利用对称的技巧对图形进行变换，把分散的条件集中，把复杂的图形转化为简单的图形这样一来，发现阴影部分的面积等于中间正方形的面积，而中间部分的面积等于大正方形面积的一半也可以连结小正方形中心与顶点，发现阴影部分的面积等于中间正方形的面积，等于大正方形面积的一半所以，所求的面积为(平方厘米) 【例 17】 如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积？ 【解析】 如图，由长方形的对称性知与面积相等，与面积相等从而阴影部分面积与面积相等，为【例 18】 一个边长为20厘米的正方形

18、，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形求第五个正方形的面积？ 【解析】 第一个正方形的面积是(平方厘米)，第二个正方形的面积如图，实际上是第一个正方形面积的一半依次类推，第五个正方形的面积为：(平方厘米)【巩固】(2008年第七届”小机灵杯”数学竞赛决赛)如图是由个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是，那么最大的正方形的边长是 【解析】 最小正方形的面积是(平方厘米)，最大的正方形的面积是(平方厘米)，那么最大的正方形的边长是8厘米【巩固】图中有个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的边中点连接而成已知最大的正方形的边长为

19、厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？【解析】 我们先来寻求图形面积变化的规律观察右图，连接大正方形对边中点，则把大正方形分成了个小正方形，每个小正方形被边、分成了面积相等的三角形由此可知：正方形的面积正方形面积由此可以推出：相邻两个正方形，每个较小正方形的面积是较大正方形面积的一半，因此，最小正方形的面积为：(平方厘米)【例 19】 已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？ 【解析】 图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形面积的一半 (平方厘米)【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面积

20、为，最小的正方形的边长为多少厘米？【解析】 如右图所示，把、依次放到、的位置则的面积为所处的小正方形的面积为故小正方形的边长为【例 20】 有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形求图中阴影部分的面积？【解析】 如下图左所示，S阴S阴如下图中所示，此时斜放的正方形面积为，阴阴如图右所示，此时外面正方形面积为，图中阴所以，图中阴影部分总面积为：阴阴【例 21】 (2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为 的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为，则十字中央的小正方形面积为 【解析】 题目中的空白部分可以

21、组成一个如右图的正方形，正方形面积为，右图中的正方形边长为，正中央正方形中的直角边长为，所以【例 22】 下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？(单位：厘米)【解析】 用表示两个正方形重合部分的面积，用表示除重合部分外大正方形的面积，用表示除重合部分外小正方形的面积据题意，要求是多少平方厘米，即求的面积，= (平方厘米)， (平方厘米)，因此 (平方厘米)就是所求的两块没有重合的阴影部分面积差【巩固】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？【解析】 灰色和白色区域形成一边长为11的

22、正方形和一边长为7的正方形，它们的总面积是；类似地，黑色和白色区域组成一边长为9的正方形和一边长为5的正方形，它们的总面积是由于白色区域在这两种组合中都被计算了，根据差不变原理，可知灰色区域与黑色区域的面积之差就等于【例 23】 甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？ 【解析】 如右图添加辅助线割补，如果甲的面积为4份量，则甲与乙的重合部分是1份量同理，如果乙的面积为4份量，则乙与丙的重合部分是1份量所以这三个正方形覆盖面积是：(平方厘米)【巩固】将20张边长为10厘米的正方形纸片，按顺序

23、一张一张地摆放在地板上，摆的时候，要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张的中心重合，且每一张只与其前一张和后一张有重合部分(右图表示已经摆好的5张)地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少？【解析】 由例题可知每个重合部分都等于正方形纸片面积，而总共有个重合部分，所以所求面积为(平方厘米)【例 24】 有个大小不同的正方形和如下左图所示的那样，在将正方形的对角线的交点与正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为正方形面积的求与的边长之比如果当按下右图那样，将和反向重叠的话，所重叠部分的面积是的几分之几？ 左图 右图【解析】 以正方形为中心，将整体图形放大后，如右上图所示图中，由于和均为正方形，

24、所以可认为画阴影的两个三角形是以的对角线的交点为中心转过所形成的因此，所求的与所重合部分的面积，只要让的对角线的交点与的一个顶点相重合，则不管什么情况下，该面积均为正方形面积的这样，的面积的与的面积的相等，故与的面积之比为因为二者均为正方形，所以其边长之比为如果的对角线的交点与的一个顶点相重合的话，所重合部分的面积仍为的面积的但是由于的面积是的面积的，所以重合部分的面积应为的面积的【例 25】 有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？【解析】 将图分割：这样就得到四个面积相等的长方形可求得长方形的长：(米)由此求得水池的边长：(

25、米)【巩固】一块长方形草坪(图中阴影部分)长是宽的倍，它的四周围的总面积是平方米的1米宽的小路求草坪的面积是多少平方米？ 【解析】 如图分块，(平方米)那么(平方米)(平方米)因为、的宽都是米于是的长与的长和是米又因为的长是的长的2倍所以的长为(米)，的长为(米)草坪的面积是(平方米)【例 26】 (2008年北京”数学解题能力展示”读者评选活动复赛)如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池水池长米、宽米水池周围用边长为米的方砖一圈一圈地向外铺恰好铺了若干圈，共用了块方砖，那么共铺了 圈【解析】 水池的面积是，铺完之后水池加上地砖的面积是由于每铺一圈都会是边长增加，所以铺了(圈)【例

26、 27】 用四个相同的长方形拼成一个面积为的大正方形，每个长方形的周长是多少平方厘米？【解析】 引导学生思考所求题目的关键是什么本题的关键是找长方形的长和宽根据知这个大正方形的边长是10，即长加宽是10，长方形的周长是：()【巩固】如图所示，个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形，大正方形的面积是平方分米，小正方形的面积是平方分米，求一个小长方形的面积及周长【解析】 一个长方形的面积为：(平方分米)，长方形的长加宽为大正方形的边长，所以周长为(分米)【例 28】 四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的面积是l6平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形

27、的短边是多少分米？【解析】 长方形的面积是(平方分米)因为，所以大正方形的边长是10分米，小正方形的边长为4分米，那么长方形的短边是(分米)【巩固】(2008年”陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)如图，个相同的长方形和个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为平方厘米，大正方形的面积为平方厘米，则其中长方形的长为 厘米，宽 厘米【解析】 大正方形的边长是厘米，小正方形边长是厘米，所以长方形宽为(厘米)，长为(厘米)【例 29】 街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道(如图)，如果甬道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？ 【解析】 把甬道的部分分成四个同样大的

28、长方形，每个长方形的面积是(平方米)因为水泥路宽1米，所以小长方形长是 (米)，而正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，即2米，中间花坛的面积是：(平方米)【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽米的水池，水池面积为平方米，那么正方形花园的面积是多少平方米？ 【解析】 要想求出花园的面积，必须知道小正方形的边长或大正方形的面积，所以解题关键就在于根据水池的面积求出小正方形边长或大正方形的面积(或边长)方法一：如图所示，水池中四个小正方形的面积为：(平方米)，水池中四个长方形面积为：(平方米)一个长方形面积为：(平方米)，长方形的长即花园边长为：(米)，花园面积为：(平方米)，综合算式为：(米

29、)， (平方米)方法二：将水池面积进行适当的分割，不难求出正方形花园的边长如图所示，将环带形水池切割成四个面积相等的长方形，长方形的宽是米，长等于花园的边长加米，一个长方形的面积为：(平方米)，长方形的长为(米)，花园边长为(米)，花园面积为(平方米)【巩固】有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为，已知两个长方形之间部分的面积是，且小长方形的长是宽的倍，求大长方形的面积 【解析】 由于长方形之间的部分是不规则的，所以可以进行分割，这样分割后，的面积是()，则知小长方形的长与宽之和是()，小长方形的宽是()，长是()，那么有大长方形的长是6()，宽是4()，面积是()【例 30】 已知大正

30、方形比小正方形边长多4厘米，大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米问大、小正方形面积各是多少？ 【解析】 采用分割法：图面积为：(平方厘米)，图或图的面积为：(平方厘米)，图的边长为：(厘米)，所以图的面积为：(平方厘米) 大正方形的面积为：(平方厘米)【巩固】两个正方形的面积相差，边长相差求两个正方形的面积和【解析】 如果把这两个正方形重合在一起，则知相差的面积是：，推知，小正方形(阴影部分)的边长为，则阴影正方形的面积是()，大正方形的面积是()，面积之和是【巩固】（第四届小数报数学竞赛决赛试题）有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米小正方形的面积是多少平方厘

31、米？【解析】 大正方形的边长比小正方形的边长多（厘米）将下图下方的阴影部分移至右方，形成面积为55平方厘米的长方形，这长方形的长为（厘米），即两个正方形边长的和是11厘米，而大正方形的边长小正方形的边长厘米，所以小正方形的边长是（厘米），小正方形的面积是（平方厘米）【例 31】 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差厘米，面积相差平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 方法一：本题就此图来看计算起来比较麻烦，但是我们可以把图经过旋转后变成图这样我们就可以根据我们学过的知识来解决这道题了八条虚线的长度正好是大小两个正方形的周长差

32、，空白处即为两个正方形的面积差，所以虚线长为：(厘米)从图中可以看出上、下、左、右四个长方形的面积相等为：()(平方厘米)，所以小正方的边长为：(厘米)，即小正方形的面积为：(平方厘米)方法二：本题还可以将里面的正方形移到一角上来计算，由右图可知虚线长度为：(厘米)所以小正方形的面积为：(平方厘米)白色长方形的面积为：()(平方厘米)，所以小正方形的边长为：(厘米)，正方形的面积为：(平方厘米)【例 32】 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为平方厘米与平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？【解析】 做辅助线，如右下图，小正方形的面积为，所以，原正方形面积

33、为(平方厘米)【例 33】 计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上米宽的草坪，草坪的面积为平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？ 【解析】 (法)：要求正方形花坛的面积，就要先求正方形花坛的边长将环形小路进行分割，得到四个面积相同的小长方形(如图)由于小路的面积已知，那么每一块小长方形的面积为：(平方米)由题意知，小长方形的宽为米，于是长方形的长为：(米)那么正方形花坛的边长为：(米)所以正方形花坛的面积为：(平方米)(法)：若我们将环形小路用另外一种方法分割(如图)，阴影部分是四个面积相等且边长为的小正方形，它们的面积和为：(平方米)从环形小路的面积中减掉这四块阴影部分的面积后剩下

34、的又是四块相等的长方形，每块长方形的面积为：(平方米)长方形的长为：(米)，即为正方形花坛的边长，所以正方形花坛的面积为：(平方米)【巩固】有大、小两个长方形(右图)，对应边的距离均为厘米，已知两个长方形之间部分的面积是平方厘米，且小长方形的长是宽的倍，求大长方形的面积 【解析】 如图，由于已知两个长方形之间部分的面积是平方厘米，而个角上的小正方形面积均为平方厘米，所以划分出来的四个新长方形的面积之和为平方厘米，这四个新长方形的宽均为厘米，长则分别为原来的小长方形的四条边，所以原来的小长方形的长、宽之和为厘米由于小长方形的长是宽的倍，所以长为厘米，宽为厘米所以大长方形的长为厘米，宽为厘米，面积

35、为平方厘米【巩固】一块长方形的草坪(见图中阴影部分)，长是宽的倍，它的四周围的总面积是平方米的米宽的小路，求草坪的总面积是多少平方米？【解析】 如图将图形分块，那么(平方米)(平方米)，因为和的宽都是米所以和的长和为：(米)，又因为阴影部分长是宽的倍所以草坪的宽为：(米).长为：(米)，所以草坪的总面积为：(平方米).【例 34】 一块正方形的苗圃(如右图实线所示)，若将它的边长各增加米(如图虚线所示)，则面积增加平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？【解析】 小正方形的面积为：平方米用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形的面积和，为：平方米而增加的两个长方形的面积相等

36、，于是其中一个长方形的面积为平方米长方形的宽为米，那么长为：米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为(平方米)【例 35】 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？ 【解析】 我们先按题目中的条件画出示意图(如图)，我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为平方米，它的长和宽相差米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图)图是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即米所以中间的小正方形的面积为平方米，那么大正方形的面积为平方米因

37、为，所以大正方形的边长等于米所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为米，而长与宽的差为米，所以剩下的长方形的长为：米，即原正方形的边长为米又知锯下的长方形玻璃条的宽为米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为平方米【巩固】从一个正方形的木板上锯下宽的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为，问锯下的长方形木条面积是多少？ 【解析】 我们用构造“弦图”的方法，取同样大小的4个剩下的长方形木板拼成一个大正方形（如右下图），同时中间形成了一个小正方形（图中阴影部分）仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差（）那么，阴影小正方形的面积所以，整个大正方形的面积是，求得大正方形的边长

38、为那么，剩下的长方形木条的长宽，长宽，可得剩下的长方形木条的长为，宽为所以，锯下的长方形木条面积是【巩固】从一块正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是平方米问锯下的木条面积是多少平方米？【解析】 我们画出示意图(a)，则剩下的木块为图(b)，将块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图(c) 图(a) 图(b) 图(c)我们称为长，为宽，有长与宽的差为，所以图(c)中心的小正方形边长为，于是大正方形的面积为，所以长为 即，长宽，已知：长宽，得长，于是锯去部分的木条的面积为 (平方米)【例 36】 图中，甲、乙两个正方形的边长的和是厘米，甲正方形比乙正方形的面积大平方厘米求乙正方形的面积【解

39、析】 如果从甲正方形中”挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的，三部分之和就是(见左下图) 方法一：把C割下，拼补到乙正方形的上面(见右上图)，这样，三块就合并成一个长厘米的矩形，面积是厘米2，宽是(厘米)这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为(厘米)，从而乙正方形的面积为(厘米2)方法二：连接正方形对角线(如右上图)，将平方厘米的图形分成面积相等的两个梯形，而梯形的上下底之和恰好是厘米，所以梯形的高为(厘米)，即两个正方形的边长差，由此可求出乙正方形的边长为(厘米)，从而乙正方形的面积为(厘米2)【例 37】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差米，面积相差平方

40、米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？ 【解析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图(如图)，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形(如图)由于两个正方形的周长相差米，从而它们的每边相差米，即图中的长方形的宽是米又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为平方米，从而长方形的长为：(米)由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：(米)所以小正方形的面积为：(平方米)【例 38】 （第十二届“迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形的面积是48平方厘米，FB为8

41、厘米那么，正方形的面积是 平方厘米【解析】 根据题意，有且，又AD、AF都是整数，于是根据尝试可得，厘米，厘米所以（平方厘米）【例 39】 如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？ 【解析】 为了方便叙述，将某些点标上字母，如右上图。大正方形的面积为，所以大正方形的边长应为1.上面两个长方形的面积之比为，所以下面两个长方形的面积之比为，所以那么，那么阴影小正方形的面积为【例 40】 长方形的周长是厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形已知这四个正方形的面积之和为平方厘米，那么长方形的面积是多

42、少平方厘米？【解析】 从图形我们可以看出，的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形周长的一半，可以看出若以和为边能构成大正方形(如右下图所示)，其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是平方厘米的一半这样我们容易求出：大正方形的边长为厘米，面积为：平方厘米，正方形与正方形的面积之和为：(平方厘米)长方形与长方形的面积相等所以，长方形的面积为：(平方厘米)【巩固】(第四届华杯复赛试题)如图，长方形的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形的面积？ 【解析】 利用”扩”的思想，将左图转

43、化为右图，那么正方形IBEG的面积就等于长方形ABCD周长一半的平方，即(平方厘米)，长方形ABCD与DFGH是完全一样的，而正方形IADH与DCEF的和等于题目种已给的四个正方形面积的一半，所以长方形ABCD的面积为：(平方厘米)【例 41】 一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【解析】 方法一：由于手帕边长是18厘米，所以手帕的面积是(平方厘米)要求白色部分的面积，只需减去红色部分的面积就可以了红色部分是四个长为18厘米，宽为2厘米的红色长条，所以这四个红色长条面积是：(平方厘米)，但每个横红条与每个竖红条在交叉

44、处重叠一个边长为2厘米的正方形，即多计算了(平方厘米)，因此两个横红条与两个竖红条共重叠(平方厘米)，所以两个横红条与两个竖红条覆盖的面积为(平方厘米)，所以这块白手帕白色部分的面积是(平方厘米)方法二：换个方式思考：把竖的两个红条平行移动一下，使它们紧贴在一起，再移到紧贴正方形的左端边上，把横的两个红条也做同样的位置平移，使它们紧贴在正方形下端的边上，如图所示这样通过平移横、竖红条后使原来分散的白色部分集中起来了，而且所得图形的白色部分的面积不变这时白色部分面积一目了然，它等于变成为厘米的正方形面积，即(平方厘米)【例 42】 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方

45、铺白色的，如图所示如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？ 图 图2【解析】 我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的处理，移到两条边上(如图2)在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形大正方形的边长上能放(块)，白色瓷砖组成的正方形的边长上能放：(块)，所以白色瓷砖共用了：(块)【例 43】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【解析】 由图可知，长方形的长是宽的4倍，宽的6倍是24厘米，则长方形的宽是4厘米，故图中空白部分的面积是(平方厘米)【巩固】如图所示，7个完全

46、相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【解析】 对长方形进行平移，如图可看出：长个宽，长个宽易求出宽为长为：空白部分面积为【例 44】 (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是_【解析】 由图中可以看出小长方形的长小长方形的宽，小长方形的长小长方形的宽第二式乘以3再与第一式相加得小长方形的长所以小长方形的长，小长方形的宽，小长方形的面积，大长方形的面积，阴影面积【例 45】 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米？【解析】

47、 从图中可以看出5个长=3个长+3个宽，则得2个长=3个宽，所以长方形的长为：(厘米)，阴影小正方形的边长=长-宽，边长是(厘米)，阴影部分面积是(平方厘米)【例 46】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形图中正方形和的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？【解析】 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)设最小的正方形边长为厘米，又因为小正方形的边长为7厘米，小正方形的边长为4厘米，所以小正方形的边长可以表示为(厘米)，小正方形的边长可以表示为(厘米)，小正方形的边长

48、可以表示为(厘米)，小正方形的边长可以表示为(厘米)，小正方形的边长可以表示为(厘米)，小正方形的边长可以表示为(厘米)，观察大长方形可知：小正方形、的边长之和等于小正方形、的边长之和，可以列方程为：解得从而可得小正方形、的边长分别为8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘米、15厘米大长方形的长为：(厘米)，宽为：(厘米)，大长方形的面积为：(平方厘米)【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛)如图：有一个矩形可以被分割为个正方形，其中最小的正方形(阴影部分)面积为，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？【解析】 因为阴影部分的边长是厘米，我们假设标号是的正方形的边长是，那么标号为的正方

49、形的边长是，标号是的正方形的边长是，标号是的正方形的边长是，标号是的正方形的边长是，标号是的正方形的边长是，标号是的正方形的边长是，于是标号是的正方形边长是，于是标号是的正方形边长是，于是标号是的正方形边长是，于是，由此解出于是矩形的长是，宽是，所以面积是()【巩固】图中的长方形被分割成个正方形，已知中央小正方形的面积是平方厘米，求原来长方形的面积【解析】 由于中央的小正方形的面积为平方厘米，所以这个小正方形的边长为厘米为了求出长方形的面积，必须知道其它四个正方形的边长，这样就必须探究各个正方形边长之间的关系了 如左上图所示，把其余个正方形依次编号，那么号与号正方形大小、形状完全相同不妨设号正

50、方形的边长为，那么有：号正方形的边长为，号正方形的变成为；号正方形边长为另一方面，从右上图可以看出，号正方形的边长也等于号与号正方形边长的和减去中央阴影正方形的边长，即等于所以，由此可得原长方形的面积为：(平方厘米)【巩固】9个边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形，问这个长方形的长和宽是多少？并请画出这个长方形的拼接图【解析】 长方形的面积为长方形的宽显然大于等于18，而，但18只有与4相加得22，多出的无法与其他数相加得出22，所以宽不能是22同理，宽不是24，因而长方形的宽是32，长是33，具体的拼法如图【例 47】 图中数字分别表示两个长方形和一个直

51、角三角形的面积，另一个三角形的面积是 【解析】 设这个三角形的面积为A，则如右图添加虚线后有，得【例 48】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问大矩形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 方法一：通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为平方厘米和面积为平方厘米的两个长方形的宽相等，即相等，不妨假设厘米，可以算得：厘米，厘米于是可以算得：厘米，厘米，厘米于是大长方形的长为厘米，宽为厘米，因此大长方形的面积为平方厘米方法二：利用铺垫结论得平方厘米，平方厘米，平方厘米，所以大矩形的面积为平方厘米知识点： 过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，见下图

52、所分得的四个小矩形，其面积满足这样的规律： 连接各个小长方形的对角线将长方形分成的四个三角形，面积规律有：【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示现在知道其中三块长方形的面积分别为平方厘米、平方厘米、平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少？ 【解析】 (法1)因为长方形的面积长宽，所以当两个长方形的宽相同时，它们长的倍数关系就是面积的倍数关系对于这道题，根据这一规律：图中上面两个长方形面积的倍数关系就是它们长的倍数关系，而且这个倍数关系又正好是下面两个长方形面积之间的倍数关系所以，左下角长方形的面积为：(平方厘米)(法2)如图所示，设阴影长方形的长、宽分别为、，面积为的长方形

53、长、宽分别为、根据条件，由面积公式得：；因为，而，所以，【巩固】(南京市第三届”兴趣杯”少年数学邀请赛决赛试题)如图，矩形被分割成9个小矩形其中有5个小矩形的面积如图所示矩形的面积为 【解析】 利用铺垫中结论，则右上方矩形面积为，左下方四个小面积之和为 ，则当然，也可以通过分开求左下方三个小正方形面积求解【例 49】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合(见下图)已知露在外面的部分中，红色面积是，黄色面积是，绿色面积是求正方形盒底的面积【解析】 将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为根据公式可知，空白处面积黄绿红，则正方形盒底面积是【例 50】 如图所示，在正方形内，红色、绿色正方形的面积分别是和，且红、绿两个正方形有一个顶点重合黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点那么黄色正方形的面积是 【解析】