任意角的三角函数(新课)

1、1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba复习回顾复习回顾OabMPcOabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课新课 导入导入22:barOPbMPaOM其中yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOP

2、MPOOMMOPM诱思诱思 探究探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1OPbaab3.锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中）以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为长度为半径的圆，称为单位圆单位圆. yOP),(bax1M4.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ；ysinysin （2） 叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 ； cosxxcos（3） 叫

3、做 的正切正切，记作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域. 例题例题cossintantan. 例例4.4.确确定定下下列列三三角角函函数数值值的的符符号号, ,然然后后用用计计算算器器验验证证: : (1)250;(2)(-);(3)(-672 );(4)3 (

4、1)250;(2)(-);(3)(-672 );(4)34 4（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（3）因为）因为 = 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以)672tan(tan(482 360 )tan48 , tan( 672 )0; 48解：解： （2）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以4sin0;420tantan()tan. ( (4 4) )3 3例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：解：在直角坐标系中，作在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆

5、的交点坐标为 13( ,).22所以所以 53sin,32 51cos,325tan3.3 思考：思考：若把角若把角 改为改为 呢呢? 3567,2167sin,2367cos3367tan实例实例 剖析剖析xyoAB35P15.1例例2.已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P220( 3)( 4)5.OP 解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM于是，于是， ;54|1sin000OPPMOP

6、MPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx4, 30P0MOyxMyxP , 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离 .),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的终边上的位置无关终边上的位置无关.P定义推广：定义推广：135122222

7、yxr1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是于是，巩固巩固 提高提高练习练习: 1.已知角已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5 ,12P解：解：由已知可得：由已知可得：P15.21.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函数三角函数定义域定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-)0 , 1 (A

8、xyoP),(yx的终边的终边例例3. 求证：当下列不等式组成立时，角求证：当下列不等式组成立时，角 为第三象限角为第三象限角.反之也对反之也对0tan 0sin 证明：证明： 因为式因为式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为式又因为式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为式都成立，所以角因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们

9、自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？个角的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值 .020360到或 ？o5.911 (1)sin1480 10; (2)cos; (3)tan(-).46例 求下列三角函数值:oooo(1)sin1480 10

10、 = sin(40 10+ 4360 ) = sin40 100.645; 92(2)coscos(2 )cos;4442113(3)tan()tan(2 )tan.6663解：解：117119cossintan363练习：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan 6363cossintan3631131322 1. 内容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结

11、合的思想划归的思想，数形结合的思想.归纳归纳 总结总结2 .方法总结：方法总结：3 .体现的数学思想：体现的数学思想：32sin,cos ,tan.yx.已知角 的终边在直线上，求角 的的值 1解： 当角 的终边在第一象限时，221,2125在角 的终边上取点，则r=22 5152sin,cos,tan255155 2当角 的终边在第三象限时，221, 2125r 在角 的终边上取点，则22 5152sin,cos,tan255155 6.已知已知 在第二象限在第二象限, 试确定试确定 sin(cos ) cos(sin ) 的符号的符号. 解解: 在第二象限在第二象限, - -1cos 0,

12、 0sin 1. - - - -1, 1 ,2 2 - - cos 0, 0sin . 2 2 sin(cos )0. sin(cos ) cos(sin ) OxyP P1 1P P2 232y=21sin xyoP1P2xyo T A210 30 例利用单位圆寻找适合下列条件的例利用单位圆寻找适合下列条件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 3tan3 例例 3 3. .若若, ,试试 比比 较较的的 大大 小小 . .0sin,tan, 2. 解：如图，在单位圆中，设 AOP=（0，）,则AP=2PPMOAMAATO

13、AOPT过点 作于，过点 作交的延长线于 ，.MPAT则角 的正弦线为，正切线为POAPOAAOT的面积扇形的面积的面积，111222OA MPOAOA AT，即MPAT.sintan .POxyMAT3.sintan.例 求证：当 为锐角时，yOxPM A90MPAT证明：如图，作单位圆，当0时作出正弦线和正切线，连PAOPAOATSSOPA扇形Ssintan111222OA MPOA PAOA ATTMPAPAT分析:54sin32sin 与与AB o S2 S1P2P1 M1例例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：解： 如图可知：如图可知： 54

14、tan32tan 与与54sin32sin M254sin32sin 与与AB oT2T1 S2 S1例例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：解： 如图可知：如图可知： 54tan32tan 与与54sin32sin 54tan32tan 例例5.5.求函数求函数 的定义域的定义域. .( )2cos1f aa=-OxyP2MP112x=2,2()33kkkZppapp -+P1cos2a1.(0,2 )cossintanxxxx在内使成立的 的取值范围是( )3(,)44A53(,)42B3(,2 )2C37(,)24DCxyoMPAT32.(, )

15、4若，则下列各式错误的是( )( )sincos0A( )sincos0B( )|sin| |cos|C( )sincos0DDsin0,cos0,|sin| | cos|分析：xyoy=-xPM 练习练习xyoy=-xxyoy=-xxyoMPsincos1,(0,)2 MP30sincos1,(,)24 PM3sincos0,(, )4 xyoPM3sincos0,( ,)2 MPPM37sincos0,(,)24 7sincos0,(,2 )4 sincos0则322()44kkk若sincos0则3722()44kkk若sincos小结的符号问题：高考链接高考链接1.（2009全国）全国

16、） 的值为的值为( )sin58522223232解析：解析：本题主要考察诱导公式本题主要考察诱导公式：2sin585sin(360225 )sin(18045 )sin452 2.（2009陕西）陕西） 则则 的值为（的值为（ ）tan2 2sincossin2cos 3454B解析：解析：本题考查同角三角函数的基本关系式和运本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力，以及转化与化归的思想。因算能力，以及转化与化归的思想。因 故选故选B。2sincossin2cos 2tan12 2 1tan22+2 tan2 3. (2007江西江西)若若 ， 则则 等于（等于（ ） tan3 4tan3

17、 tan()1313 小小 结结1.2三角函数线的定义，会画三角函数线的定义，会画 任意角的三角函数线；任意角的三角函数线；3. 利用单位圆比较三角函数值利用单位圆比较三角函数值 的大小，求角的范围的大小，求角的范围.)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(zkkkk任意角的三角函数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数直角三角形中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin直角坐标系中定义锐角三角函数直角坐标系中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin单位圆中定义锐角三角函数单位圆中定义锐角三角函数 ababtan,cos,

18、sin单位圆中定义任意角的三角函数单位圆中定义任意角的三角函数 ,sinyxcosxytan,2P15 ,8aaaa.已知角 的终边上一点R且0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaaa所以 1017 ,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa )0 , 1 (AxyoP),(yx的终边的终边说说 明明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值. .的横坐标，的横坐标， 正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与. .（2） 正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 y横坐标等于横坐标等于0， xytan无意义，此时无意义，此时 )(2zkk轴上时，点轴上时，点P 的的