概率论与数理统计(第四版)习题答案全[共17页]

1、概率论与数理统计(第四版)习题答案全概率论与数理统计习（第四版）题解答第一章 随机事件及其概率样本空间事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子,观察出现的点数。设事件表示“出现偶数点”,事件表示“出现的点数能被3整除”（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件及分别表示为样本点的集合；（3）事件分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的 集合解：设表示“出现点”,则（1）样本点为；样本空间为（2）； （3）,表示“出现奇数点”；,表示“出现的点数不能被3整除”；,表示“出现的点数能被2或3整除”；,表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；,表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出

2、下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点： （1）同时掷三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和“点数之和大于10”,“点数之和小于15” （2）一盒中有5只外形相同的电子元件,分别标有号码1,2,3,4,5从中任取3只,“最小号码为1”解：(1) 设表示“点数之和等于”,则； (2) 设表示“出现号码为”,则三、设为三个事件,用事件之间的运算表示下列事件： (1) 发生, 与都不发生； (2) 都发生； (3) 中至少有两个发生； (4) 中至多有两个发生解：(1) ；(2) ；(3) 或 (4) 或或四、一个工人生产了n个零件,以表示他生产的第 个零件是合格品（）用表示下列事件： （1）没有一个

3、零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品解：(1) ；(2) 或；(3) (4) 或第二章 概率的古典定义概率加法定理一、电话号码由七个数字组成,每个数字可以是0,1,2,9中的任一个数（但第一个数字不能为0）,求电话号码是由完全不同的数字组成的概率解：基本事件总数为有利事件总数为设表示“电话号码是由完全不同的数字组成”,则二、把十本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率解：基本事件总数为指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共种；这三本书的排列顺

4、序数为；故有利事件总数为(亦可理解为设表示“指定的三本书放在一起”,则三、为了减少比赛场次,把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛,求最强的两个队被分在不同组内的概率解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法,构成基本事件总数；两个最强的队不被分在一组的所有排法,构成有利事件总数 设表示“最强的两队被分在不同组”,则四、某工厂生产的产品共有100个,其中有5个次品从这批产品中任取一半来检查,求发现次品不多于1个的概率解：设表示“出现的次品为件”,表示“取出的产品中次品不多于 1个”,则 因为,所以而 故 五、一批产品共有200件, 其中有6件废品求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品

5、的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率解：设表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；表示“取出的3件产品中没有废品”；表示“取出的3件产品中废品不少于2件”,则(1) (2) (3) 六、设求A, B, C至少有一事件发生的概率解：因为,所以,从而可推出设表示“A, B, C至少有一事件发生”,则,于是有 第三章 条件概率与概率乘法定理全概率公式与贝叶斯公式一、设求解：因为,所以,即二、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少？解：设表示“第一次拨通”,

6、表示“第二次拨通”,表示“拨号不超过两次而拨通”（1）（2）三、两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率解：设表示“第台机床加工的零件”；表示“出现废品”；表示“出现合格品”（1） （2）四、猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6；如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米假定击中的概

7、率与距离成反比,求猎人三次之内击中动物的概率解：设表示“第次击中”,则由题设,有,得,从而有, 设表示“三次之内击中”,则,故有 （另解）设表示“猎人三次均未击中”,则故所求为 五、盒中放有12个乒乓球,其中有9个是新的第一次比赛时从其中任取3个来用,比赛后仍放回盒中第二次比赛时再从盒中任取3个,求第二次取出的都是新球的概率解：设表示“第一次取得个新球”,则 设表示“第二次取出的都是新球”,则 第四章 随机事件的独立性独立试验序列一、一个工人看管三台车床,在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0.7求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率解

8、：设表示“第台机床不需要照管”,则 再设表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”,则于是有 （另解）设表示“有台机床需要照管”,表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”,则且、互斥,另外有故二、电路由电池与两个并联的电池及串联而成设电池损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2,求电路发生间断的概率解：设表示“损坏”；表示“损坏”；表示“损坏”；则 又设表示“电路发生间断”,则 于是有 三、三个人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为、,求能将此密码译出的概率解：设表示“甲能译出”；表示“乙能译出”；表示“丙能译出”,则 设表示“此密码能被译出”,则,从而有（另解）,从而

9、有四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人的命中概率分别为飞机被一人击中而被击落的概率为,被两人击中而被击落的概率为,若三人都击中,则飞机必被击落求飞机被击落的概率解：设表示“甲命中”；表示“乙命中”；表示“丙命中”；则 设表示“人击中飞机” ,则 设表示“飞机被击落”,则由题设有 故有五、某机构有一个9人组成的顾问小组,若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7,现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见,并按多数人意见作出决策,求作出正确决策的概率解：设表示“第人贡献正确意见”,则 又设为作出正确意见的人数,表示“作出正确决策”,则 六、每次试验中事件A发生的概率为p,为了使事件A在独

10、立试验序列中至少发生一次的概率不小于p,问至少需要进行多少次试验？解：设做次试验,则要,即要,从而有答：至少需要进行一次试验第五章 离散随机变量的概率分布超几何分布二项分布泊松分布一、 一批零件中有9个合格品与3个废品安装机器时从这批零件中任取1个如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布解：设表示“在取得合格品以前已取出的废品数”,则的概率分布为0123即0123亦即0123二、 自动生产线在调整以后出现废品的概率为生产过程中出现废品时立即进行调整求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布解：设表示“在两次调整之间生产的合格品数”,且设,则的概率分布为012三、

11、已知一批产品共20个,其中有个次品（）不放回抽样抽取个产品,求样品中次品数的概率分布；（）放回抽样抽取个产品,求样品中次品数的概率分布解：（1）设表示“取出的样本中的次品数”,则服从超几何分布,即的概率函数为从而的概率分布为01234即01234 （2）设表示“取出的样本中的次品数”,则服从超几何分布,即的概率函数为从而的概率分布为0123456即0123456四、 电话总机为300个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01,求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算,再用泊松分布近似计算,并求相对误差）解：（1）用二项分布计算 （2）用泊松分布计算 相对误差为

12、五、 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生次数不少于3次时,指示灯发出信号现进行了5次独立试验,求指示灯发出信号的概率解：设表示“事件发生的次数”,则,于是有 （另解） 六、 设随机变量的概率分布为 ；其中0为常数,试确定常数解：因为,即,亦即,所以第六章 随机变量的分布函数连续随机变量的概率密度一、 函数可否是连续随机变量的分布函数？为什么？如果的可能值充满区间： （1）（）；（2）（）解：（1）设,则因为,所以不能是的分布函数（2）设,则且,因为,所以在（）上单增综上述,故可作为的分布函数二、函数可否是连续随机变量的概率密度？为什么？如果的可能值充满区间： （1）； （2）；

13、 （3）解：（1）因为,所以；又因为,所以当时,函数可作为某随机变量的概率密度 （2）因为,所以；但,所以当时,函数不可能是某随机变量的概率密度 （3）因为,所以不是非负函数,从而它不可能是随机变量的概率密度二、 一批零件中有9个合格品与3个废品安装机器时从这批零件中任取1个如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数,并作出分布函数的图形解：设表示“取出的废品数”,则的分布律为0123y 于是,的分布函数为ox 其图形见右： 四、（柯西分布）设连续随机变量的分布函数为求：（1）系数A及B；（2）随机变量落在区间内的概率；(3) 的概率密度解：(1) 由,解得 即(

14、2) (3) 的概率密度为五、（拉普拉斯分布）设随机变量的概率密度为求：（1）系数；（2）随机变量落在区间内的概率；（3）随机变量的分布函数解：(1)由,得,解得,即有(2) (3) 随机变量的分布函数为第七章 均匀分布指数分布随机变量函数的概率分布一、大众汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的求乘客候车时间不超过3分钟的概率解：设随机变量表示“乘客的候车时间”,则服从上的均匀分布,其密度函数为于是有二、已知某种电子元件的使用寿命(单位:h)服从指数分布,概率密度为任取个这种电子元件,求至少有个能使用1000h以上的概率解：设表示“至少有个电子元件能使用1000h以上

15、”；分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”则（另解）设表示“至少有个电子元件能使用1000h以上”则从而有,进一步有三、(1) 设随机变量服从指数分布证明：对于任意非负实数及,有 这个性质叫做指数分布的无记忆性(2) 设电视机的使用年数服从指数分布某人买了一台旧电视机,求还能使用年以上的概率解：（）因为,所以,有,其中为的分布函数设,因为及都是非负实数,所以,从而根据条件概率公式,我们有另一方面,我们有综上所述,故有（）由题设,知的概率密度为设某人购买的这台旧电视机已经使用了年,则根据上述证明的（）的结论,该电视机还能使用5年以上的概率为答：该电视机还能使用5年以上的概率约为四、 设随

16、机变量服从二项分布,求下列随机变量函数的概率分布： （1）；（2）解：的分布律为0123 （1）的分布律为1（2）的分布律为0110即01五、设随机变量的概率密度为求随机变量函数的概率密度解：因为 所以随机变量函数的概率密度为,即第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次设随机变量表示第一次出现的点数,随机变量表示两次出现点数的最大值,求二维随机变量的联合概率分布及的边缘概率分布解：二维随机变量的联合概率分布为的边缘概率分布为二、设二维随机变量（,）的联合分布函数求：（1）系数A、B及C；（2）（,）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度解：（1）由,得

17、 解得,（2）因为,所以（,）的联合概率密度为（3）及的边缘分布函数分别为 及的边缘概率密度分别为三、设的联合概率密度为求：（1）系数；（2）的联合分布函数；（3）及的边缘概率密度；（4）落在区域R：内的概率解：（1）由,有,解得 （2）的联合分布函数为 （3）及的边缘概率密度分别为 （4）四、设二维随机变量在抛物线与直线所围成的区域上服从均匀分布求：(1) 的联合概率密度；(2) 概率解：(1) 设的联合概率密度为则由解得故有(2) 第九章 随机变量的独立性二维随机变量函数的分布一、 设与是两个相互独立的随机变量,在上服从均匀分布,的概率密度为求 (1) 的联合概率密度; (2) 概率解:

18、(1)的概率密度为,的联合概率密度为（注意相互独立） （2）二、 设随机变量与独立,并且都服从二项分布：证明它们的和也服从二项分布证明: 设, 则 由, 有 . 于是有由此知也服从二项分布.三、设随机变量与独立,并且在区间0,1内服从均匀分布,在区间0,2内服从辛普森分布：求随机变量的概率密度解: 的概率密度为 . 于是的联合概率密度为的联合分布函数为,其中是与的定义域的大众部分.故有 从而随机变量的概率密度为三、 电子仪器由六个相互独立的部件（）组成,联接方式如右图所示设各个部件的使用寿命服从相同的指数分布,求仪器使用寿命的概率密度解: 由题设,知的分布函数为先求各个并联组的使用寿命的分布函

19、数.因为当并联的两个部件都损坏时,第个并联组才停止工作,所以有从而有的分布函数为设仪器使用寿命.因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有.从而有的分布函数为故的概率密度为第十章 随机变量的数学期望与方差一、 一批零件中有9个合格品与3个废品安装机器时从这批零件中任取一个如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差解：设表示“在取得合格品以前已取出的废品数”,则的概率分布为0123即0123于是有即的分布为0149即0149 于是有即 从而有二、 对某一目标进行射击,直至击中为止如果每次射击命中率为p,求射击次数的数学期望及方差解：设表示“第次击中”,则的分布为123于是有的分布为149于是有进一步有三、设离散型随机变量的概率函数为问的数学期望是否存在？若存在,请计算；若不存在,请解释为什么解：因为不绝对收敛,所以没有数