广东海洋大学第二学期高数试题与答案

1、姓名：GDOU-B-11-302学号：.填空(3X8=24分)试题共 5页加白纸3张1.设a2.设a3.曲面z21,2,2, 0,X21 , b x, 1, 0 , a b，贝卩 x1 , b 0, 1, 0，贝S a by2在点(1,1, 2)处的切平面方程为724.将xoz平面上的曲线x2-1绕x轴旋转一周所得的旋转曲4面的方程为5.函数z ln( 3 x2 y2)的驻点为6.设L为连接(1, 0)到点(0,1)的直线段，则L(yxdsxn7.幂级数的收敛半径为3X8.微分方程ye 3X的通解为y二. 计算题(7X 2=14分)1. 设z y ln( x2 y 2)，求dz .2.设函数z

2、f(x,y)是由方程z33yz x a3所确定的具有2连续偏导数的函数，求二，x x三. 计算下列积分（7X4=28分）0,y x2及x1所围成的闭1.（y x2）dxdy，其中 D 是由 yD区域。2.证明曲线积分：；（2xyy2）dx(x22xy ）dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。3. 计算匚（1 x）dydz （2 y ）dzdx(3z）dxdy ,其中 是球面x2 y2 z29的外侧。4.计算dTdxdy ,其中D是由yx2 y225围成的闭区域。四.计算题（7X 4=28分）1.判别级数（1）n -2 1 n是否收敛?若收敛是绝对收敛还是条件收敛？2.将函数f（x）展

3、开为x的幕级数。3.求微分方程学dx2y6满足初始条件y2的特解。4.求微分方程y的通解。,y五.证明 0 dy 0 f (x)dx(x)f (x)dx ( 6 分)2014-2015学年第二学期高等数学A卷（参考答案及评分标准课程号：19221101X 2. 填空（3X 8=24分）1. 2 ；2. 1,0, 2 ； x y - 2z 0 ；4. 4. x25.(0, 0);6.、2 ；7. 3 ;8.9e3xC1XC2计算题(14 分)1.x2xy2x yln( x)x#p,(4 分)dz2xy.dx2 2x yln( x2y2)2.令F(x, y,z)z3yzx(1分)，得Fx1, Fz

4、3z23y,FxF3z2(4 分)2则二x6z(3z23y)2(3z26z3y)3.(2 分)计算下列积分1.原式7X 4=28 分)1dx0x20 (yx2)dyz 12(2yx2y)x2dx0-x4)dx21102.设 Px,y)2xyy , Qx, y)x22xy，有2x所以曲线积分与路径无关(4 分)2y ,原式=3.设V表示10(12y)dy0围成的闭区域并表示它的体积(3 分)由咼斯公式有原式v(1 x)x(2 y)ydvzv( 3)dv1084分4. 原式rdr 2 r 21ln(1 r2)In 262001四.1.令人 ，则Un Un、1，且lim比2 n2n2.1(1)n 收

5、敛。(3分)n 1,2 n2mHn又因此级数1)n1，而级数-发散，所以级数n 1 n1条件收敛。2n(1 分)发散。（3分）2 n2所以f（X）设 P(x)(4分)（3）nxn 1 n 0 33.2,(3 分)Qx)P( x)dxP(x)dxQ x )edx2dx2dx6edx Ce 2x3e2xC代入初始条件得C 1，所以特解为C2x4.特征方程为r2 r 0，特征根为10,所以对应的齐次方程的通解为yC1（3分）（2分）（2分）1（4分）设yaex是yyex的特解,所以原方程的通解为yc?e(3 分)五积分区D域为：0 yy，更换积分次序有(6分)yodyof(x)dxodxxf(x)d

6、y。(x)f(x)dxGDOU-B-11-302广东海洋大学2013 2014 学年第 二学期班级： 姓名：课程号：19221101x2等数学课程试题之考试H A卷考查口 B卷闭卷开卷题号-一一-二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数:一.填空（3X 7=21 分）Irr；1.设，a 1,0, 1 ,b 0,1,1，则 a b j2.过点1,1,1且与x轴垂直相交的直线方程为 学号：II封 3.过1,0,1与平面x 2y z 1平行的平面方程为 ii 4.函数 z x2 y2 2x 的驻点为IIn n丨 5.幕级数乞的收敛半径为 i 1 6 nI试题共 5页加白

7、纸3张- 6.曲线z x2 2y2, x z 0在xoy面上的投影曲线的方程为 I线 7.微分方程y y满足y（0） 2的特解为II 二.计算题（7X 2=14分）II- 1.设 z sin ，求 dz.；yI- 2.设z f（x,y）是由方程ez x yz 0所确定的具有连续偏导数的函II:数，求二三.x y三.计算下列积分（7X4=28分）1.x yd ，其中D是由X轴y轴以及直线2x y 2所围成的闭D区域。2.证明曲线积分（：；（x 2y）dx （2x y）dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。3. 计算6xdydz ydzdx 3zdxdy ,其中 是某边长为2的正方体的整

8、个边界曲面的外侧。4.计算dex y d ，其中D是由x2 y2 4围成的闭区域。四. 计算题（8X 4=32分）21. 判别级数 牛是否收敛。n 1 e2. 将函数f（x） e3x展开为x的幕级数。3. 求微分方程y y 2x的通解。4. 求微分方程y 5y 6y 6的通解。五. 证明 0dy0ex sin xdx oxex sinxdx （5 分）GDOU-B-11-302广东海洋大学2013 2014学年第 二 学期高等数学试题参考答案和评分标准题号一一一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数课程号：19221101x2考试 A卷闭卷考查 口 B卷开卷.填

9、空（3X7=21分）1.设，a 1,0, 1 ,b 0,1,1，贝S a b _ 1, 1,12. 过点1,1,1且与x轴垂直相交的直线方程为 x 1,y z3. 过1,0,1与平面x 2y z 1平行的平面方程为 x 2y 3z 24. 函数z x2 y2 2x的驻点为 1,0 n5. 幕级数 x的收敛半径为n 1 6n6. 曲线z x2 2y2 x z 0在xoy面上的投影线方程为_X2 x 2y 0, z 0_7. 微分方程y y满足y 02的特解为 _ y 2e x.计算题（7X 2=14分）1.设 z sin -，求 dz. yz1xzxxcos,2cos , 4xyyyyydz1x

10、 xx , ocos dx 2 cos dy, 3 yy yyD2.设zf(x,y)是由方程 ez x yz0所确定的具有连续偏导数的函两边对x求导，(1)ez= 1 y0,二( 3)xx x e y(3)两边对y求导，ez -z z y0 ,y y y三.计算下列积分（7X4=28分）1. x yd ，其中D是由x轴y轴以及直线2x y 2所围成的闭区域。解：区域D可表示为2x1(x y)dD12 2xodxo (Xy)dy(3)2.证明曲线积分13(2,1)(x 2y)dx(0,0)(2xy)dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。解：设P x 2y,Q 2x y,则卫x所以曲线积

11、分与路径无关(2)原式二2xdx0113o(4 y)dy = (3)3. 计算6xdydz ydzdx 3zdxdy ,其中 是某边长为2的正方体的整个边界曲面的外侧。解：设V是由 围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式=(6x)Vxyy(3z)dv z=10dvV(1)=10V(2)3=10g2 = 80(1)4.计算dex y d ，其中D是由x2 y2 4围成的闭区域。解：区域D在极坐标下可表示为02 ,0 r 2 ,(2) 2 2 2原=der rdr(3)0 0=e4 1(2)四.计算题(8X 4=32分)21.判别级数nn是否收敛。n 1 e3n 1解：lim -(4)n n

12、ene所以级数收敛(4)2.将函数f（x）e3x展开为x的幕级数。n解：ex-n o n!（4）f(x) e3x3nxn， x n o n!（4）3.求微分方程y y 2x的通解。解：y y 0的通解为y ce x，（2）设原方程的通解为y c（x）e x，代入方程得c (x) 2xex，得 c(x) 2 x 1 e x c（4）原方程的通解为y 2x 2 ce x（2）4.求微分方程y 5y 6y 6的通解。解：特征方程为2 56 0，特征根为1 2, 23（2）对应的齐次方程的通解为y Geqex（2）(2)(2)y 1是方程的一个特解,原方程的通解为y 1Ge2x C2e3x五.证明 d

13、y；eX sinxdxx ex sin xdx ( 5 分)证明：设区域D为0 x y则o yex sin xdDy xdy oesin xdx区域D可表示为ex sinxd0dx x ex sin xdy =x ex sinxdxD0:一.填空(3X7=21 分)I丨 1.设，a 0,1, 2 ,b 2,0, k，若 a b=2 ,贝S a b I:2.过点1,0,1且与平面2x 3y z 2平行的平面方程为 !封 3.设曲线 L : x 4cost,y 4sin t,(0 t 2 )，贝卩? (x2 y2)3ds=I:4.函数z In Qx2 y2的驻点为i!5.幕级数 x的收敛域为!n

14、1 3ni6.曲线z x2 y2, y z 1在xoy面上的投影线方程为 1I线I7.微分方程 y sin 2x满足y 01 的特解为 二. 计算题（7X 2=14分）x1. 设 z ey，求 dz.2. 设z f（x,y）是由方程e2z 2xyz 0所确定的具有连续偏导数的函数，求mx y三. 计算下列积分（7X4=28分）1. 2x 3yd ，其中D是由两坐标轴以及x y 2所围成的闭区D域。2. 设曲线积分（：（2x ky）dx （x 3y）dy在整个xoy平面内与路径无 关，求常数k，并计算积分值。3. 计算 xdydz 2ydzdx 4zdxdy ,其中 是圆锥体 z x2 y2,0

15、 z 1 的整个表面的外侧。4.计算D 1 x2 y2 d，其中D是由x2 y2 1围成的闭区域。四. 计算题（8X 4=32分）31. 判别级数 -是否收敛。n 1 3n2. 将函数f （x） xcos2x展开为x的幕级数。3. 求微分方程y y x的通解。4. 求微分方程y 3y 2y 2的通解。五. 设级数 Un2收敛，证明级数 I 发散。（5分）GDOU-B-11-302广东海洋大学2011 2012学年第二学期班级： 姓名：高等 数学课程试题答案和评分标准0 A卷 之闭卷 B卷 开卷课程号：19221101x2考试考查题号-一一-二二四五六七八九十总分阅卷教师各题分数21142832

16、5100实得分数:一.填空(3X7=21 分)I丨 1.设，51,0, 1 ,b 1,2,0 ，贝S ab 二 , a b 2, 1,2I2.过点1,1, 1且垂直于直线山-的平面方程为学号：: 2 1 2I封2(x 1) (y 1) 2(z 1) 0i3.设曲线 L:x 3cost,y 3si n t,(0 t 2 )，贝，Jx2y2)ds=54II1y|4.改变积分次序 1dx1f(x,y)dy=0dy0f(x,y)dxi0 xiin试题共 6页加白纸3张15.幕级数 x的收敛半径为n 1 2n线丨 6.函数z sin(x y)在点(0,0)处的梯度为1,17.微分方程ycos3x的通解为

17、y y丄cos3x gx c29二.计算题(7X 2=14分)1.设 z ln(1 x2 y2)，求 dz.解： - 牛石，(2)-|二(2)x 1 x yy 1 x ydz，dx dy(2)x y2xdx2ydy(1)1(1)242.设z f（x, y）是由方程z3 xz2的函数，求mx y三.计算下列积分（7X4=28分）1. xyd ，其中D是由直线y 0D域。解：在方程两边对x求偏导数， z2 2xZ yez -Z 0xxx得,z2 zx 3z22xzzye在方程两边对y求偏导数，3z2-z 小z2xz -yyz ez z c ye0y得,zz ey 3z22xzzyeyez 1所确定

18、的具有连续偏导数（1）（2）（1）（2）（1）x 0以及x y 1所围成的闭区解：区域D可表示为0 y 1 x,0 x 1，（ 1）11 xxyd dx 0 xydyD1-x(102 x)2dx(2)2.设曲线积分(1 2). . .( )(x+ky )dx (x y)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k，并计算积分值。解：设 P x ky,Q x y,则卫(2)x y2 1* k，所以 k 1( 2)x y12 1原式二 xdx (1 y)dy 二(3)00八丿 c3. 计算 2xdydz ydzdx 3zdxdy,其中 是球面x2 y2 z21的外侧。解：设V是由 围成的闭区域并表示

19、它的体积，由高斯公式 原式二(宜空曲 (3)V x y z=6dv(1)V= 6V(2)=6g3 g3=8(1)y2 4围成的闭区域4.cos(x2y2)d，其中 D是由 x2D(2)(3)(1)(1)解：区域D在极坐标下可表示为02 ,0 r 2，cosr2gdr2sin4d0 2sin 4四. 计算题（8X 4=32分）1.0判别级数（丄 是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是n i J2 n 1条件收敛。解： （$ = 匚1发散，（2）n 1 | y2n l| n 111 单调减少，lim 10，（ 3）2n 1n .2n 1所以匚收敛，并且是条件收敛。（3）n 1 ： 2n 12.将函数f

20、 （x） xe2x展开为x的幕级数。解：exn Xn 0 n!2x(2x)n n o n!f (x) xe2xn o n!(2)3.求微分方程y 2y 3x的通解解：y 2y 0的通解为y ce2x,(2)设原方程的通解为y c（x）e2x，代入方程得c (x) 3xe2x，得 c(x)号xe2x 3 e2x c(4)原方程的通解为(2)332xxce24y4.求微分方程y 2y 3y 1的通解。解：特征方程为2 23 0 ,特征根为13, 2 1(2)对应的齐次方程的通解为3xxyc1ec2e(2)y 1是方程的一个特解,3(2)原方程的通解为y ce3x注(2)五设级数 Un2收敛,n 1

21、证明级数(u1丄）2也收敛n(5 分)证：2Un Un2n21Un n2Un2(Un2 肖(2)(1)由比较判别法知，原级数收敛。(2)而 Un2收敛,n 1广东海洋大学2011 2012学年第二学期高等数学试题答案和评分标准课程号：19221101x2考试考查 A卷闭卷 B卷开卷题号-一一二二三三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数、填空（3X7=21 分）1.设 a 1,2,0, b 1, 1,1，贝S a b2. 过点(1,0,1)且与平面x y z 1 0垂直的直线方程为 3. 设曲线 L : x cost, y sin t (0 t 2 )，则?(x2y

22、2)2ds=1x24. 改变积分次序 0 dx 0 f (x, y)dy =5. 函数y x( x )的傅立叶级数在x=处收敛于6. 函数z x2y2在点(1,1)处的梯度为 7. 微分方程y sin5x通解为y 二.计算题(7X 2=14分)1. 设 z 2x 2，求 dz.x y2. 设z f(x,y)是由方程z xyez 1 0所确定的具有连续偏导数的 函数，求二，二.x y.计算下列积分(7X4=28分)1. (x y) d ，其中D是由直线y 0, y x以及x 1所围成的闭区D域。2. sin(x2 y2)d ，其中D是由x2 y2 1围成的闭区域。D3. 设曲线积分(1,1)(x

23、 y)dx (kx y)dy在整个xoy平面内与路径无(0,0)关，求常数k，并计算积分值。4. 计算 xdydz 2ydzdx zdxdy , 其中 是区域0 x 1,0 y 1,0 z 1的整个表面的外侧。四.计算题(8X 4=32分)1.判别级数(1)n3n是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛2.将函数f（x） xx211 4.改变积分次序 dx f(x,y)dy= Qdy _f (x, y)dxe3x展开为x的幕级数。3.求微分方程y y 3x的通解。4.求微分方程y y 2y x的通解。五.设级数 Un2收敛，证明级数 （比2）2也收敛。（5 分） n 1n 1n试题答案和评分

24、标准、填空(3X7=21 分)-1，a b 2, 1, 31.设 a 1,2,0, b 1, 1,1，则 a b(2)2.过点（1,0,1）且与平面z 1 0垂直的直线方程为3.设曲线 L : x cost, y sin t (0)，则？L(x2 y2)2ds = 25.函数y x（x）的傅立叶级数在x=处收敛于_06.函数z x2y2在点（1,1）处的梯度为2, 27.微分方程ysin 5x通解为y si n5x c1x c25二.计算题（7X 2=14分）1.设 z 2x 2，求 dz.x y(2)4xy(x y2)2dz dx “dy x y斗dx戶*dy(x y ) (x y )(1)

25、2.设z f(x,y)是由方程z xyez 1 0所确定的具有连续偏导数的函数，求二上x y解：在方程两边对x求偏导数,(1)z z -ye xz z xye - xzyez1 xye(1)在方程两边对y求偏导数,zzxeyz z cxye 0y(2)得，二yzxe1 xyez(1)三.计算下列积分(7X 4=28 分)1. (x y) d ，其中D是由直线yD0,x以及x 1所围成的闭区域。解：区域D可表示为0 y x,0 x 1 ,(1)1 xxyd 0dx 0 (x y)dyD(3)13 2 .x dx 0 21(2)(1)2n i 3n2.sin(x2 y2)d，其中D是由x2 y2

26、1围成的闭区域。D解：区域D在极坐标下可表示为02 ,0 r 1 ,(2). 2 1原=d sin r2rdr( 3)=2 (- -cos1)d( 1)0 2 2=(1 cos1)( 1)3.设曲线积分y）dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k，并计算积分值。解:设P xy,Q kx y,则一QP(2)xyQk,-P 1,所以k 1(2)xy原式二1 10xdx 0(1 y)dy=1(3)4.计算xdydz 2ydzdxzdxdy,其中(1,1)(0,0) (xy) dx (kx0 x 1,0 y 1,0 z 1的整个表面的外侧。是区域解：设V是由 围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原

27、式二V（：3 二)dvy z(1)=44dvV4V(1)四.计算题（8X 4=32分）1.判别级数(1)n是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。解：|= 丄发散，n i 3n n i 3n 单调减少，lim 0 , 3nn 3n所以 收敛，并且是条件收敛。n 1 3n(2)(3)(3)2.将函数f（x） x2e3x展开为x的幂级数。n解：ex-n o n!(4)3x e(3x)nn o n!(2)f (x) x2e3xn o n!3.求微分方程y y 3x的通解解：y y 0的通解为y cex，（ 2）设原方程的通解为y c（x）ex，代入方程得c （x） 3xe x，得 c（x） 3x

28、e x 3e x c（ 4）原方程的通解为y 3x 3 cex（ 2）4.求微分方程y y 2y x的通解。解：特征方程为22 0，特征根为i 2, 2 1（ 2）对应的齐次方程的通解为y cie 2x C2ex（2）(2)原方程的通解为yc1e2xxc2e(2)是原方程的一个特解五设级数 Un2收敛，证明级数 （比2）2也收敛。（5 分）n 1n 1n证：2Un224Un2nn2Un2 2 Un4Un4242(Un2 飞)(2)nnnn而Un2收敛，42也收敛。(1)n1n 1 n由比较判别法知，原级数收敛。（2）:一.填空(3X7=21 分)I；1.已知 a=1,2,3, b =-2 ,

29、1, 4,则 a b = 12。I2.过点A( 1,2,3)和点B(-2,1,-4 )的直线方程为x 1 y 2 z 3；317封丨(因为 BAV= 3, 1, 7 3.多元函数在P0处有偏导数是该函数在P0处可微连续的必要 条 件。4. xn的收敛半径为1/2，收敛区间为(-,-)，收敛域为-,-)n2 n 1_ 小r-r 1/ 2n 2n 1n a(i)n是调和级数，发散.1 n 2收敛n 1 n1 1-丄，丄)2 2n i n2 22 2limn解： R lim上7n |an -|当x 1/ 2时，当x 1/ 2时，幕级数的收敛域为P(x)y Q(x)y 0 的解，且 f1(x)/f2(x)5. 已知f-(x)和f2(x)是方程y常数，则方程的通解为。6. 曲面x2 y2 z2 1在点(0，0, 1)处的切平面方程为Z=-1。(解：设 F=x2 y2 z2 1Fx 2x 0 Fy 2y 0Fz 2z 2 )7. P(x, y)dx Q(x,y)dy是全微分的充要条件是_Q _P。x y二.微积分计算题(5X8=40分)1. f(x,y,z) xy yz zx，求 fx , fy , fz解:fx yH1 zxlnzfy xylnx z1fz y lny xz:12.已知x yx y解:设FEZG(x, y,u,v)Fx 1Fy -Gx 1GyFxGxFuGu