《高数》定积分

1、高数定积分第五章第五章 定积分定积分教学目的要求: 1、了解变上限定积分的性质，定积分的几何意义；了解广义积分及其解法。 2、理解定积分的概念及其性质。 3、熟练掌握牛顿 莱布尼茨公式；掌握定积分的换元法和分部积分法。学习重点和难点 重点 牛顿 莱布尼茨公式、定积分的计算 难点 变上限定积分，定积分的换元法高数定积分 求曲边梯形的面积xy0 xa i1ixixbxn)(xfy 如下：具体做法称为曲边梯形。轴围的图形，及、与直线由连续曲线 )( xbxaxxfy高数定积分 定积分的几何意义的几何意义如下：，其定积分上的连续函数，对于区间)( xfba的面积。轴所围成的曲边梯形及，与直线表示由曲线

2、时，定积分当、xbxaxxfydxxfxfba)( )(0)( ) 1 负值。成的曲边梯形的面积的轴所围及，与直线表示由曲线时，定积分当、 )( )(0)( )2 xbxaxxfydxxfxfbaxyab)(xfy 高数定积分 由定积分的几何意义知：xy1121xy21112dxxxyxy012110 xdx高数定积分 定积分的性质. )()( 上都是可积的，在、假定函数baxgxfbabadxxfkdxxkfkk)()( )( 1 可提到积分号外，为常数被积函数中的常数因子性质限个代数和的情形。这一结论可以推广到有定积分的代数和，分等于它们两个函数代数和的定积性质bababadxxgdxxf

3、dxxgxf)()()()( 2 高数定积分 例题1 利用定积分的性质，比较下列积分大小103102 1) dxxdxx与10310232232 0)1 ( 10 dxxdxxxxxxxx即，内，解：在区间43243)ln ln 2) dxxxdx（与432432)(ln ln 0)ln1 (ln)(lnln0ln1 4 3 dxxdxxxxxxx，则内，在区间解：高数定积分 例题2 估计下列各积分的值454 2)sin(1 1) dxx4542222)sin1 ( 445 1)( 2112( sin1)( 454 积分区间，）为之最大值和最小值分别上，函数，在区间解：dxxabfmfMxxf

4、高数定积分 变上限积分函数xaxaxaxabaxdttfxtbaxdxxfxxdxxfxdxxfxaxfbaxbaxf)( )( )( )( )( )( )( )( ，则有，变量改为，为避免混淆，把积分，变上限积分函数，记为的函数，称为是一个关于上限因此的变化而变化，存在，且随上限积分上必可积，即定，在，任一上连续，则对，在设函数定义高数定积分)()( )()( )( xfxbadttfxbaxfxa可导，且，在则变上限积分函数上连续，在如果函数定理 证明：见pag.102Cdttfdxxfxfdttfxbaxfxaxa )()( )( )()( )( 函数，因此的一个原就是连续，则上，在由定

5、理可知，如果函数高数定积分 例题 求下列函数的导数bxdttxF21)( )1 1 1 1 222xdttdxddttdxdxbbx解：高数定积分 牛顿 莱布尼茨（Newton Leibniz)公式 )()()()( 103. )()()( )( )( )( aFbFabxFdxxfpagaFbFdxxfxfxFbaxfbaba写为为了方便起见，公式常证明：见的一个原函数，则是上连续，在设函数定理高数定积分 例题 求下列定积分adxxx02) 13 1) （aaaxxxdxxxaa23011120221 11123) 13 （解：1024 2) xdx60arcsin21arcsin2arcs

6、in4 10102解：xxdx高数定积分 202)(11 211)( 6) dxxfxxxxxf求时，当时，当设382( 21) 1()( 2110322211020 xxxdxxdxxdxxf解：注 意 在使用牛顿 莱布尼茨公式求定积分时，被积函数必须连续的，否则会引出错误的结论，见教材pag.104.高数定积分 定积分的换元积分法（换元必换限）411 1 xdx例题 24112 2txtxtdtdxtx，；，设解：32ln22 )1ln(212 1112121 212121212141tttdtdtdtttdtttxdx高数定积分 定积分的分部积分法babavdu

7、uvudvbaxvxuba )()( 连续导数，则有上有，在、设函数定理方 法幂三（指）选幂 幂反（对）选反（对） 三角指数可任选可化简容易凑dudv 出现循环移项解高数定积分 广义积分 在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间或者被积函数是无界函数的积分。这两种情况下对应的积分称为广义积分。 本节重点介绍广义积分的概念和计算方法。高数定积分 无穷区间上的广义积分积。“开口曲边梯形”的面轴右侧所围成的轴以及，求曲线引例 11 2xxxy21xy yx01b具。区间，借助极限这一工为无穷，解：积分区间 1 1)11 (1 11) 11(11 1 1 lim12121bdxxSbbbxdxxb

8、bbbb形”的面积为，故所求“开口曲边梯，有，在区间任取高数定积分是发散的。敛，否则收都收敛时，与当即为任意常数）上的广义积分为），在上的广义积分为，在类似地，可定义dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfdxxfdxxfbxfccbcbcaaccbaab)( )( )( )( .)()()( (C )( )( )( ( )(.)()( ( )( limlimlim上述三类统称为无穷区间上的广义积分，也称为无穷积分。高数定积分 无界函数的广义积分发散。不存在，则称广义积分收敛。如果极限此时亦称广义积分，即上的广义积分，记为，在值为函数存在，则称极限，若极限取又称瑕点）为无穷间断点，即上连续，且，在设函数定义babababababaaxdxxfdxxfdxxfdxxfd