(完整版)数列通项公式求法大全(配练习测试及参考答案),推荐文档

1、精心整理数 列 通 项 公 式 的 十 种 求 法一、公式法二、累加法 an 1 an f(n)例1已知数列an满足an 1an2n 1,a“1，求数列a.的通项公式。K n2例2已知数列an满足an 1 an 2 3n 1，& 3，求数列an的通项公式。(an 3n n 1.)二、累乘法 an 1 f(n)an例3已知数列an满足an 1 2(n 1)5n %,印3，求数列的通项公式。i 气；n(n 1)(an 3 2n1 5 2 n!.)评注：本题解题的关键是把递推关系an1 2(n 1)51 an转化为务1 2(n 1)5n，an进而求出an an1 L a3 a2 a1，即得数列an的

2、通项公式。an 1 an 2a2 a1 i例 4已知数列an满足 a11，ana2a23a3L (n1)an1(n2)，求an的通项公式。(an n!.)2评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an(n 2)转化为旦n 1(n 2)，进而求出 电 3L 色a?，从而可得当n 2时，an的表达 anan 1 an 2a2式，最后再求出数列an的通项公式。四、待定系数法 an 1 Pan q an 1 pa. f n an 2 pan 1 qan (其中 p，q均为常数)例5已知数列an满足an 1 2an 3 5n,印6，求数列 务 的通项公式。(an 2n 1 5n)评注：本题

3、解题的关键是把递推关系式 an1 2an 3 5n转化为an 1 5n 1 2(an 5n)，从而可知数列务5n是等比数列，进而求出数列a. 5n 的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例6已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4，印1,求数列an的通项公式。(an 13 3n 1 5 2n 2)评注：本题解题的关键是把递推关系式 an 1 3an 5 2n 4转化为an 152n1 23(an 52n2)，从而可知数列an52n2是等比数列，进而求出数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。例7已知数列an满足an 1 2an 3n2 4n 5，a1 1，求数列

4、an的通项公式。(an 2n 4 3n2 10n 18)7 i 评注：本题解题的关键是把递推关系式 an 1 2an 3n2 4n 5转化为丁工 f .2-/ I2 2an 1 3(n 1) 10(n 1) 18 2(an 3n 10n 18)，从而可知数列an 3n2 10n 18是等比数列，进而求出数列a. 3n2 10n 18的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。五、递推公式为Sn与an的关系式(或Sn fn)解法：这种类型一般利用anSn(n 1)(n 2)1例8已知数列an前n项和Sn 4 a.歹石( 1)求a. 1与a.的关系；(2)求通 项公式an.例9已知数列an满足an

5、1 3ann2 31，a1求数列an的通项公式。解：an 13an 2 3n 1两边除以n 13 ，得an 1an3an 23n 3因此a2(n 1)3n(1 I2n312 3n，则an3n3n评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an23n1转化为an 13n13n 3丿1，进而求出Gnan 1)(an1an 2、一( an 2an3)j 1 )( n1n 2 )( n 2n3 )33333a1，即得数列an的通项33公式，最后再求数列an的通项公式。z.*I 七、对数变换法（当通项公式中含幕指数时适用） 丁弋 r 匚#I 上二夕/xn y），两边消去例10已知数列an满足an 1 2

6、3n a；，內7 ,求数列的通项公式解：因为an 12 3n5an，a17，所以an0, an 10。在 an 1 2 3n an 式两边取常用对数得lg an 15lg annlg3 lg 2设 lg an 1 x(n1) y5(lg anxn y)将式代入式，得5lg an n Ig3 Ig 2 x(n 1) y5(lg an5lg an并整理，得(lg3 x)n x y Ig 2 5xn 5y，则Ig3 x 5xx y lg2，故5yIg34Ig316Ig24代入式，得Ig an ,里(n 1)Ig3 Ig2T( 花 45(Ig anIg376由X里1四蛭Ig7里1里巫0及式,41644

7、164Ig3Ig3 Ig 2 -得 Ig an n0 ,4164Ig anIg3 /八(n 1)4Ig3n Ig3Ig316Ig24Ig24所以数列Ig anIg3nIg3416的等比数列，则Ig anIg3 n416n4Ig316竽是以7罟器晋为首项，以5为公比g2 (Ig7 Ig3 Ig34416I942）5n 1，因此75Ig an(Ig 7Ig3Ig3 Ig 2 _n 1Ig3Ig3 Ig2)5n4164464111n1(Ig7Ig 34Ig36Ig24)511 Ig34Ig 316 Ig21 11n11Ig(734 31624)5n1 Ig(343162 4)1 11n1 1Ig(7

8、134 31624)5n 1Ig(34316 24)p-15n1n5n115n 1 1Ig(75n 1 3 43 162 4)5n4n 15n1 1Ig(75n 1 3 1624)则an5n 15n 4n 1165n 1 12丁评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an1 2 3n a5转化为Igam也1）巫巫5（晌曲n也必），从而可知数列41644164Ig an n 也 厲是等比数列，进而求出数列Ig an朋n空豎的41644164通项公式，最后再求出数列an的通项公式八、迭代法例11已知数列an满足ani3(n 1)2nan，ai5，求数列an的通项公式。解：因为 an 1 a；

9、(n図，所以ana；】23(n 1)2n 2 * * 3n2n 1 an(2 )又印5 ,所以数列an的通项公式为ann(n 1)3n 1 n! 25评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an 1a3(n 1)2两边取常用对数得lg a. 13(n1) 2n lg an，即 lg 3n 13(nlg ann1)2，再由累乘法可推知Igalg annlg an 1lg an 1lg an 2L |ga3Iga2n(n 1)3n 1 n! 2 2lg5，从而3n1 n!2n(n (2)假设当n k时等式成立，即ak (2k 2 1，则当n k 1时, an5根据(1)

10、，( 2)可知，等式对任何n N*都成立。九、数学归纳法例12已知数列an满足an 1 an8(n 1) (2n2 2 ， a11) (2n 3)8，求数列a的通项公式。解：由an 1 an8(n 1)2 2(2n 1) (2n 3)8 得9，得由此可猜测an卷罟，往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当n 1时，a1 (2 1 D：1 8，所以等式成立。 (2 1 1)9评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例13已知数列an满足an1 公式。1(1 4an ,1 24an), ai 1，求数列%的通项 1解：令bn J 24an，则an 24(b； 1)1 1 故 an 124(bn 1 1)，代入可 1 屁(1 4an V可化为 bn 13 一(bn 3)， 24an )得即 4bf 1 (bn 3)因为 bn：124an 0，故 bn1,124a.101 3则 2bn 1bn3，即 bn 10，所以bn 3是以 b 3. 1 24d 3比数列，因此 bn 3 2(；)n1 (；)n 2，C7 3 2为首项，以为公比的等 则 bn （2）n 2 3，即、1 24