晶体的宏观对称性课件

1、1-5 1-5 晶体的宏观对称晶体的宏观对称性性 晶体在几何外形上表现出明显的对称性晶体在几何外形上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现对称性的性质也在物理性质上得以体现介电常数表示为二阶张量介电常数表示为二阶张量( , , )x y z ed电位移电位移晶体的宏观对称性ed电位移电位移 对于立方对称的晶体对于立方对称的晶体0ed0介电常数看作一个简单的标量介电常数看作一个简单的标量晶体的宏观对称性000000/ 六角对称晶体六角对称晶体 将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内介电常数介电常数晶体的宏观对称性000000/e/edee

2、d平行轴平行轴( (六角轴六角轴) )分量分量垂直于六角轴分量垂直于六角轴分量 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 立方晶体的光学性质则是各向同性的立方晶体的光学性质则是各向同性的晶体的宏观对称性 原子的周期性排列形成晶格原子的周期性排列形成晶格 不同的晶格表现出不同的宏观对称性不同的晶格表现出不同的宏观对称性晶体宏观对称性晶体宏观对称性 考察晶体在正交变换的不变性考察晶体在正交变换的不变性 三维情况下，正交变换的表示三维情况下，正交变换的表示 矩阵是正交矩阵矩阵是正交矩阵111213122223131333xaaaxyaaayzaaaz3,

3、2, 1,jiaij晶体的宏观对称性的描述晶体的宏观对称性的描述晶体的宏观对称性 绕绕z z轴转轴转 角的正交矩阵角的正交矩阵1000cossin0sincos晶体的宏观对称性 中心反演的正交矩中心反演的正交矩阵阵100010001 空间转动，矩阵行列式等于空间转动，矩阵行列式等于1 1 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1 1晶体的宏观对称性对称操作对称操作 一个物体在某一个正交变换下保持不变一个物体在某一个正交变换下保持不变1 1 立方体的对称操作立方体的对称操作 1) 1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 9 9个对称操作个对称操作23,2 物体的对称

4、操作越多，其对称性越高物体的对称操作越多，其对称性越高晶体的宏观对称性 共有共有6 6个对称操作个对称操作2) 2) 绕绕6 6条面对角线轴转动条面对角线轴转动晶体的宏观对称性 8 8个对称操作个对称操作3) 3) 绕绕4 4个立方体对角个立方体对角线轴转动线轴转动34,324) 4) 正交变换正交变换 1 1个对称操作个对称操作100010001晶体的宏观对称性 立方体的对称操作共有立方体的对称操作共有4848个个5) 5) 以上以上2424个对称操作个对称操作 加中心反演仍是对称操作加中心反演仍是对称操作晶体的宏观对称性 4 4重轴、重轴、 3 3重轴、重轴、 2 2重轴的表示重轴的表示晶

5、体的宏观对称性2 2 正四面体的对称操作正四面体的对称操作 四个原子位于正四个原子位于正四面体的四个顶角上四面体的四个顶角上 金刚石晶格金刚石晶格 对称操作包含在对称操作包含在 立方体操作之中立方体操作之中 晶体的宏观对称性 共有共有3 3个对称操作个对称操作1) 1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 8 8个对称操作个对称操作2) 2) 绕绕4 4个立方体对角线轴转动个立方体对角线轴转动34,323) 3) 正交变换正交变换 1 1个对称操作个对称操作100010001晶体的宏观对称性 6 6个对称操作个对称操作4) 4) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动23,2加中心反演加中心反演 6

6、6个对称操作个对称操作5) 5) 绕绕6 6条面对角线轴转动条面对角线轴转动加上中心反演加上中心反演 正四面体正四面体 对称操作共有对称操作共有2424个个晶体的宏观对称性3 3 正六面柱的对称操作正六面柱的对称操作 1) 1) 绕中心轴线转动绕中心轴线转动35,34,32,3 5 5个个 3 3个个3) 3) 绕相对面中心连线转动绕相对面中心连线转动 3 3个个4) 4) 正交变换正交变换5) 125) 12个对称操作加中心反个对称操作加中心反演演 正六面柱的对称操作有正六面柱的对称操作有2424个个2) 2) 绕对棱中点连线转动绕对棱中点连线转动 1 1个个晶体的宏观对称性对称素对称素 简

7、洁明了地概括一个物体的对称性简洁明了地概括一个物体的对称性对称素对称素 一个物体的旋转轴、旋转反演轴一个物体的旋转轴、旋转反演轴 物体绕某一个转轴转动物体绕某一个转轴转动 加上中心反演的联合操作加上中心反演的联合操作 以及其联合操作的倍数不变时以及其联合操作的倍数不变时 该轴为该轴为n n重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为2 /nn4 4 对称素对称素 物体绕某一个转轴转动物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变，以及其倍数不变时时 该轴为该轴为n n重旋转轴，计为重旋转轴，计为2 /nn晶体的宏观对称性面对角线面对角线 为为2 2重轴，计为重轴，计为2 2( ) 立方体立方体3(,)22立方

8、轴立方轴 为为4 4重轴，计为重轴，计为4 44同时也是同时也是4 4重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为2同时也是同时也是2 2重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为晶体的宏观对称性24(,)33体对角线轴体对角线轴 为为3 3重轴，计为重轴，计为3 33同时也是同时也是3 3重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为晶体的宏观对称性 正四面体正四面体体对角线轴是体对角线轴是3 3重轴重轴 不是不是3 3重旋转反演轴重旋转反演轴 立方轴是立方轴是4 4重旋转反演轴重旋转反演轴 不是不是4 4重轴重轴面对角线是面对角线是2 2重旋转反演轴重旋转反演轴 不是不是2 2重轴重轴晶体的宏观对称性 对称素对称

9、素 的含义的含义2 先绕轴转动角度先绕轴转动角度 ，再作中心反演，再作中心反演 a a点是点是a a点在通过中心垂直于转轴的平面点在通过中心垂直于转轴的平面m m的镜的镜像像 对称素对称素 存在一个对称面存在一个对称面m m2 用用 表示表示m or一个物体的全部对称操一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群作构成一个对称操作群 对称素为镜面对称素为镜面晶体的宏观对称性5 5 群的概念群的概念 群代表一组群代表一组“元素元素”的集合，的集合，g g e, a ,b, c, e, a ,b, c, d d 这些这些“元素元素”被赋予一定的被赋予一定的“乘法法则乘法法则”，满，满足下列性质足下列性

10、质1) 1) 集合集合g g中任意两个元素的中任意两个元素的“乘积乘积”仍为集合内的元素仍为集合内的元素 若若 a, b a, b g g, , 则则ab=c ab=c g. g. 叫作群的封闭性叫作群的封闭性2) 2) 存在单位元素存在单位元素e, e, 使得所有元素满足：使得所有元素满足：ae = aae = a3) 3) 对于任意元素对于任意元素a, a, 存在逆元素存在逆元素a a-1-1, , 有：有：aaaa-1-1=e=e4) 4) 元素间的元素间的“乘法运算乘法运算”满足结合律：满足结合律：a(bc)=(ab)ca(bc)=(ab)c晶体的宏观对称性正实数群正实数群 所有正实数

11、所有正实数(0 (0 除外除外) )的集合，以普通乘法的集合，以普通乘法为为 运算法则运算法则整数群整数群 所有整数的集合，以加法为运算法则所有整数的集合，以加法为运算法则 一个物体一个物体全部对称操作全部对称操作的集合满足上述群的定义的集合满足上述群的定义运算法则运算法则 连续操作连续操作晶体的宏观对称性单位元素单位元素 不动操作不动操作任意元素的任意元素的逆元素逆元素 绕转轴角度绕转轴角度 ，其逆操作为绕转，其逆操作为绕转轴角度轴角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；中心反演的逆操作仍是中心反演；连续进行连续进行a a和和b b操作操作 相当于相当于c c操作操作a a 操作操作 绕绕oa

12、oa轴转动轴转动 /2/2 s s点转到点转到tt点点b b 操作操作 绕绕ococ轴转动轴转动 /2/2 tt点点转到转到ss点点s s晶体的宏观对称性上述操作中上述操作中s s和和o o没动，而没动，而t t点转动到点转动到tt点点 相当于一个操作相当于一个操作c c：绕：绕osos轴转动轴转动2 2 /3/3cabbca)()(bac 表示为表示为 群的封闭性群的封闭性可以证明可以证明 满足结合律满足结合律s s晶体的宏观对称性6 6 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 1 1 ed, x x，y y，z z轴分量轴分量 x x，y y，

13、z z轴为立方体的三个立方轴方向轴为立方体的三个立方轴方向假设电场沿假设电场沿y y轴方向轴方向edxyxedyyyedzyzzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxeeeddd0,zxyeeee晶体的宏观对称性将晶体和电场同时绕将晶体和电场同时绕y y轴转动轴转动 /2/2zxyyxz,xzzydde yyyydde zxxydde 转动的实施转动的实施 电场没变电场没变 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别应有应有xyzyxyzy 0zyxyddzxy晶体的宏观对称性将晶体和电场同时绕将晶体和电场同时绕z z轴转动轴转动 /2/2

14、假设电场沿假设电场沿z z轴方向轴方向0yzxyed zyx,所以所以 332211000000晶体的宏观对称性 再取电场方向沿再取电场方向沿111111方向方向000000 xxxxyyyyzzzzdedede13xxxeeee3/edxxx3/edyyy3/edzzz晶体的宏观对称性,zxxy yz3/edxxx3/edyyy3/edzzz 绕绕111111轴转动轴转动2 2 /3/3/ 3yxxxdde / 3xzzzdde / 3zyyydde 晶体经历的一个对称操作晶体经历的一个对称操作dd0zzyyxxzxy晶体的宏观对称性0zzyyxx0000000000 正四面体晶体上述结论亦

15、然成立正四面体晶体上述结论亦然成立 介电常数的论证和推导也适合于一切具有介电常数的论证和推导也适合于一切具有 二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率等等0de晶体的宏观对称性立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 2 2 对称操作对应的正交变换对称操作对应的正交变换且有且有介电常数介电常数 在坐标变换下在坐标变换下331313232212131211aaaaaaaaaa1* aa3313132322121312111aa*aaijijjia晶体的宏观对称性ijijija a a a为对称变换为对称变换ijijjiaa 对于立方晶体，选取对称操作对于立方晶体，选取对称操作a a为绕为绕z z轴旋转轴旋转 /2/210002cos2sin02sin2cos3