切比雪夫I型带通数字滤波器设计

1、 课程设计 设计题目： 切比雪夫I型带通数字 滤波器设计 学 院： 物理与电信工程学院 专业班级： 电 信1301 学 号： 1313034016 姓 名： 钱 红 伟 指导教师 ： 王 桂 宝 完成地点 ： 博远楼c1109 2016年11月17日陕西理工大学课程设计目 录 切比雪夫I型带通数字滤波器的设计III摘 要III引言III1 数字滤波器的发展现状及前景11.1 数字滤波器的研究背景及意义11.2 数字滤波器的发展现状及前景12 数字滤波器的概述32.1 数字滤波器的概念32.2 数字滤波器的基本结构32.2.1 IIR滤波器的基本结构32.2.2 FIR滤波器的基本结构42.3

2、数字滤波器的分类52.4 带通数字滤波器72.4.1 带通数字滤波器的特点72.4.2 带通数字滤波器的作用72.5 带通数字滤波器的设计方法72.5.1 IIR数字滤波器的设计方法82.5.2 FIR数字滤波器的设计方法92.6 IIR数字滤波器与FIR数字滤波器的比较分析103 数字滤波器的设计103.1 双线性变换法设计滤波器103.1.1 双线性变换的基本知识103.1.2 用双线性变换法设计IIR 数字带通滤波103.2 脉冲响应不变法设计滤波器113.2.1 脉冲响应不变法的基本知识113.2.2 用脉冲响应不变法设计IIR数字带通滤波113.3 脉冲响应不变法与双线性变换法的比较

3、123.4 数字滤波器的算法设计133.4.1 巴特奥兹滤波器133.4.2 切比雪夫滤波器143.4.2 椭圆滤波器164 仿真过程174.1 用MATLAB设计滤波器的步骤174.2 设定系统的仿真对象184.3 系统对象滤波器设计方法184.4 MATLAB程序仿真设计184.4.1 产生一个含有50Hz、100Hz和150Hz的混合正弦波信号194.4.2 对混合正弦波信号X进行滤波204.4.3 绘出信号滤波前、后的幅频图214.4.4 创建仿真模型图224.4.5 仿真模块参数设置234.5 系统仿真运行25结 论27致 谢27参考文献28切比雪夫I型带通数字滤波器的设计钱红伟（陕

4、理工物理与电信工程学院电子信息科学与技术专业电信1301班，陕西汉中 723001）指导教师：王桂宝摘要几乎在所有的工程技术领域中都会涉及到信号处理问题，滤波器作为信号处理的重要组成部分，已经发展的非常成熟。伴随着信息时代和数字世界的来临，数字信号处理已经成为当今一门非常重要的研究和技术领域。现如今数字信号处理在通信、雷达、语音、图像、自动控制、军事、航空航天、和家用日常电器等众多领域得到了很普遍广泛的应用。数字滤波器（DF，Digital Filter）在数字信号处理这门技术中起着重要的作用并已获得广泛应用。数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域

5、滤波的目的。关键词数字滤波器；切比雪夫；双线性变换；MATLABThe design Chebyshev type I bandpass digital filterHong-Wei Qian（Grade13,Class01,Major Electronic Information Science and Technology,Physics and telecommunication engineering Dept,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000,ShaanxiTutor: Gui-Bao WangAbstract :In

6、almos all areas of engineering and technology will be related to signal processing, signal processing filter as an important component of the development has reached a mature state.With the information age and the advent of the digital world, digital signal processing has become an extremely importa

7、nt disciplines and technical fields. Current digital signal processing in communications, voice, image, automatic control, radar, military, aerospace, medical and household appliances and many other fields has been widely used. In digital signal processing plays an important role and has been widely

8、 used in digital filters (DF, Digital Filter). Digital filter is a time discrete signal is used to filter digital system, through the mathematical treatment of the sample data to achieve the frequency-domain filtering purposes.Keywords : digital filters；Chebyshev；bilinear transform；MATLABIII切比雪夫I型带通

9、数字滤波器的设计、仿真与频谱分析引言现如今，采用数字信号处理技术对信号进行处理是目前的发展方向，数字信号处理 (DSP：Digtal Signal Processing)技术正在快速发展。它不但以不同形式影响和渗透到其他学科，而且自成一门学科。它与国防建设紧密相连，国民经济息息相关，它影响或改变着人们的生活、生产方式，是网络化和智能化的基础。智能化、数字化、和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是网络化和智能化的基础，实际生活中遇到的信号各种各样，例如射电天文信号、广播信号、控制信号、电视信号、雷达信号、机械振动信号、通信信号、生物医学信号、气象信号、导航信号、遥感遥测信号和地震勘探信号

10、等等。以上所介绍的这些信号大部分是模拟信号，其中一部分是数字信号。因为模拟信号是自变量的连续函数，它的自变量是一维的，但是也可以是二维或者多维的。在通常情况下一维模拟信号的自变量是时间，如果想使这类模拟信号便成为一维数字信号，只需要经过时间上的离散化(采样)和幅度上的离散化(量化)便可得到。利用数值计算的方法把数字序列进行一定处理，进而把目标信号转换成符合自己需要的某种信号，就叫数字信号处理技术。比如，对数字信号进行滤波并且限制它的滤除噪音、频带或和干扰，将它们与其它信号进行分离。为了解信号的频谱组成，,通过对信号进功率谱分析或行频谱分析进而对信号进行识别,还可以对信号进行编码以达到数据压缩的

11、目的，或者对信号进行某种变换，使它更适合于应用，存储和传输等等。数字滤波技术是数字处理技术信号分析的一个很关键的分支。数字滤波器在现代通信领域内具有很重要的作用，在通信的过程中，发射源发射出来的信号会混杂多种频率的信号，如果需要接收到所需要的信号，就需要对这些信号进行滤波，把我们不需要的那些频率的信号给滤掉从而得到我们所需要的带有信息的信号，通过这种方法也可以去除空气中的噪声信号，在通信中具有重要的作用。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。III切比雪夫I型带通数字滤波器的设计、仿真与频

12、谱分析1 数字滤波器的发展现状及前景1.1 数字滤波器的研究背景及意义数字滤波器在工程技术的很多领域内都有着非常广泛的应用，其具体表现在电、光磁以及热等信号的分析与收集，对于收集到的信号需要从中筛选出所需的信号，包含某些频率成分的信号。尤其在通信领域内，更需要滤波器对以收信号进行滤波。空气中掺杂着大量的不同频率的信号，当携带所需的信息的某种频率的电磁波发送到空气中，这时想要接收到我们需要的信息，就需要对空气的各种不同频率的信号进行滤波，这样才能接收到所需的信息，如果没有滤波器进行滤波，所接受到的信息将会掺杂其他的信息，干扰所得到的信息的真实性。所以研究数字滤波器是很有意义，它对通信和其它领域都

13、有很重要的作用。1.2 数字滤波器的发展现状及前景在信号处理过程当中，所处理的信号一般都会混有噪音，因此从接收到的信号中减弱或者消除噪音是信号处理和传输中至关重要的问题。因为有用信号与噪音的不同特点，提取所需信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。随着科技的进步，在通信信设备和各类控制系统中，数字滤波器技术应用极为广泛，这里只列举部分应用最成功的领域。(1) 图像处理 数字滤波技术已经成功地应用于活动图像和静止图像的增强和恢复、数据压缩、雷达、声纳、去噪音和干扰，还成功地应用于超声波、图像识别以及层析X射线摄影和红外信号的可见图像成像。(2) 雷达当今十分活跃的研究领域之一包括雷达信

14、号的数字滤波器。因为雷达信号数字处理面临的首要问题是降低数据传输速率和压缩数据量，所以雷达信号占有的频带非常宽，数据传输速率也比较高。雷达信号处理技术的进步主要是归功于数字滤波器器件的出现。在现代雷达系统中，数字信号处理部分是至关重要的。因此从目标成像显示到目标参数的估计和信号的产生、滤波、加工都离不开数字滤波技术。(3) 通信信源编码、信道编码、数字通信、网络通信、图像通信等，都广泛地采用数字滤波器，特别是在多媒体通信调制、多路复用、数据压缩以及自适应信道均衡等应用中，离开了数字滤波器，几乎是寸步难行。其中，被认为是通信技术未来发展方向的软件无线电技术，更是以数字滤波技术为基础。因此现代通信

15、技术领域内，几乎没有一个分支不受到数字滤波技术的影响。(4) 音乐数字滤波器同样也为音乐领域做出来巨大贡献，数字滤波器可用于作曲、录音、播放或对旧录音带的音质进行恢复。同时在音乐中加入交混回响、合声等特殊效果特殊方面，以及在对音乐信号进行合成、编辑，数字滤波技术都显示出了强大的威力。(5) 语音处理语音处理是最早推动数字信号处理理论发展的领域之一，同样也是最早应用数字滤波器的领域。语音处理领域主要包括5个方面的内容：第一，语音合成。即利用在计算机上运行软件专或用数字硬件来产生语音。第二，语音信号分析。即对语音信号的波形特征、模型参数、统计特性等进行计算分析。第三，语音识别。即用专用硬件或计算机

16、识别说话的人，或者识别人讲的话。第四，语音编码。主要用于语音数据压缩，现在已经建立了一系列语音编码的国际标准，大量用于通信和音频处理。第五，语音增强。即从噪音或干扰中提取被掩盖的语音信号近年来，这5个方面都取得了很多研究成果，并且在市场上已出现了一些相关的软硬件和软件产品，例如，通信和视听产品大量使用的音频压缩编码技术、口授打印机、盲人阅读机、哑人语音合成器语音应答机，以及各种会说话的仪器和玩具。(6) 声纳声纳信号处理分为两大类，即有源声纳信号处理和无源声纳信号处理，有源声纳系统涉及的许多理论和技术与雷达系统相同。他们要应用到的主要信号处理技术包括滤波、门限比较、谱估计等。例如，他们的信号处

17、理主要任务是把微弱的目标回波进行分析检测，他们都要产生和发射脉冲式探测信号，从而达到对目标进行探测、导航、成像、定位、跟踪、显示等目的， (7) 生物医学信号处理 数字滤波器在医学中的应用越开越广泛，如对脑电图和心电图的分析、胎儿心音的自适应检测、层析X射线摄影的计算机辅助分析等1。(8) 电视电视领域产业的蓬勃发展在很大程度上归功于视频压缩和音频压缩技术所取得的成就和标准化工作，数字电视取代模拟电视已是必然趋势。所以数字滤波器及其相关技术是视频压缩和音频压缩技术的重要基础。高清晰度电视的在将来一定会普及大众，与之配套的视频光盘技术已形成具有巨大市场的产业，同时会议电视产品和可视电话不断更新换

18、代。27陕西理工大学课程设计2 数字滤波器的概述2.1 数字滤波器的概念我们经常用两种途径来实现数字滤波器：一是采用计算机，用计算机软件来实现，也就是把滤波器所要完成的运算编成程序通过计算机来执行。二是设计专用的数字处理硬件。滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。所谓数字滤波器是通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件，它的输入、输出均为数字信号。模拟滤波器和数字滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、体积小、不要求阻抗匹配、重量轻、稳定灵活等优点。工具箱的两个基本组成就是滤波器的设计与谱分析部分以及实现部分

19、。由于MATLAB的信号处理工具箱为广大研究人员提供了简便并且丰富的设计的一种方法，所以原来繁琐的程序设计只需要简化成函数的调用就可以了。MATLAB工具箱作为专门应用于信号处理领域的专用工具箱是很有作用的，首先可以通过设计标准的的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，然后便可以得到我们想要的正确的设计结果，使用非常方便2。2.2 数字滤波器的基本结构2.2.1 IIR滤波器的基本结构一个数字滤波器可以用系统函数表示为： (2.1)由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线形差分程为： (2.2) 我们知道不同的运算处理方法决定了滤波器实现结构的不同，数字滤波器的功能通过

20、把输入序列x(n)通过一定的运算变换成输出序列y(n)。无限冲激响应滤波器的单位抽样响应h(n)是无限长的，其系统函数具有(2.1)式的形式，因此在z平面的有限区间(0z)有极点存在，其差分方程如(2.2)式所示，是递归式的，也就是结构上存在着输出信号到输入信号的反馈。前面已经说明，因为乘法是一种比较耗时的运算，而且每个延迟单元都要带有一个存储寄存器，因此我们经常采用最少常熟乘法器和最少延迟支路的网络结构作为通常的选择，以便提高运算速度和减少存储器。但是，我们往往也采用并非最少乘法器和延迟单元的结构来消除有限寄存器长度的影响。一个给定的线形时不变系统的系统函数，有着多种多样不同的等效差分方程或

21、网络结构。IIR滤波器实现的基本结构有：(1)IIR滤波器的直接型结构缺点：其它缺点同直接I型，通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统(一、二阶)来实现。优点：延迟线减少一半，变为N 个，可节省寄存器或存储单元。(2)IIR滤波器的级联型结构缺点：不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，因此当我们需要比较准确的传输零点时，显然级联型最合适。优点： 总的误差小，各二阶网络的误差互不影响，极点位置可单独调整，对字长要求低，运算速度快(可并行进行，。它的系统实现比较简单，改变输入系数仅通过一个二阶节系统即可完成。 (3)IIR滤波器

22、的并联型结构。缺点：二阶阶电平难控制，电平比较大易因此容易导致溢出，电平小并且信噪比减小。优点：可流水线操作。极、零点可以单独调整、控制，调整1i、2i则单独调整了第i对极点，调整1i、2i只单独调整了第i对零点。通常比较简化实现，通过变换系数就可实现一个二阶节整个系统。各二阶节零、极点的搭配可以优化组合，互换位置以减小运算误差。2.2.2 FIR滤波器的基本结构FIR滤波器的单位抽样响应为有限长度，一般采用非递归形式实现。通常的FIR数字滤波器有横截性和级联型两种。FIR滤波器实现的基本结构有：(1)FIR滤波器的横截型结构表示系统输入输出关系的差分方程可写作： (2.3) 直接由差分方程得

23、出的实现结构如图2-2所示：图2.1 横截型(直接型卷积型)若h(n)呈现对称特性，即此FIR滤波器具有线性相位，则可以简化加横截型结构，下面分情况讨论： 图2.2 N为奇数时线形相位FIR滤波器实现结构 图2.3 N为偶数时线性相位FIR滤波器实现结构(2)FIR滤波器的级联型结构 将H(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式： (2.4)这时FIR滤波器可用二阶节的级联结构来实现，每个二阶节用横截型结构实现。如图所示：图2.4 FIR滤波器的级联结构因而在需要控制传输零点时可以采用这种结构。这种结构的每一节控制一对零点。2.3 数字滤波器的分类按所采用的元器件分为无源和有源滤波器两种： 有源滤

24、波器：一般包括有源器件(如集成运算放大器）和无源元件(一般用R和C)。这类滤波器的缺点是：需要直流电源供电，可靠性不如无源滤波器高，在高压、高频、大功率的场合不适用，通带范围受有源器件(如集成运算放大器）的带宽限制。优点是：负载效应不是多么明显，多级相联时相互影响比较小，通带内的信号不仅还可以放大，而且没有能量损耗，并且不需要磁屏蔽(由于不使用电感元件），滤波器的重量轻，体积小。因此利用级联的简单方法很容易构成高阶滤波器。无源滤波器：它是利用电容和电感元件的电抗随频率的变化而变化的原理构成的也就是通常所说的由无源元件(R、L 和C)组成的滤波器。这类滤波器的缺点是：因为电感元件时容易引起电磁感

25、应，所以当电感L较大时滤波器的体积和重量都比较大时，负载效应比较明显，带内的信号有能量损耗，在低频域不适用。优点是：不需要直流电源供电，电路比较简单，可靠性高。从大的方面分：按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。模拟滤波器有电阻，电容，电感，及由原器件构成，实际中数字滤波器应用的比较广泛。从实现方法上分，数字滤波器分为IIR和FIR，即无限冲激响应滤波器和有限冲激响应滤波器，其中IIR网络中有反馈回路，FIR网络中没有反馈回路。从小的方面分：按所通过信号的频段分为带通、高通、低通和带阻滤波器四种。 带通滤波器：抑制低于或高于该频段的噪声、干扰和信号，它可以允许一定频段的信号通过。 高通

26、滤波器：抑制低频或直流分量，它允许信号中的高频分量通过。 低通滤波器：抑制高频分量或干扰和噪声，它允许信号中的低频或直流分量通过。带阻滤波器：它抑制一定频段内的信号，允许该频段以外的信号通过。 因为滤波器种类比较繁多，下面仅仅简单的介绍近年来发展比较迅速几种滤波器3。a. 开关电容滤波器（SCF）SCF具有下列一些优点：几乎所有电子部件和功能均可以由SC技术来实现，因为它不需要A/D，D/A转换，所以比数字滤波器简单，并且功能小，可以做到可以大规模集成，精度高，功能多，。 SCF的应用情况：在信号处理方面主要的的应用有：程控SCF、模拟信号处理、振动分析、自适应性滤波器、音乐综合、共振谱、音调

27、选择、语声编码、均衡器、离散傅氏变换，等等。大部分工作频率在100KHz之内，声频范围应用为主体。因此，SCF在仪表测量、数据或信息处理、医疗仪器、等许多领域都有不可取代的地位。b.有源滤波器有源滤波器由下列一些有源元件组成：负电容、负电感、频率变阻器（FDNR）、正阻抗倒置器（PII）、负电阻、广义阻抗变换器（GIC）、运算放大器、正阻抗变换器（PIC）、负阻抗倒置器（NII）、四种受控源，负阻抗变换器（NIC）。另外，还有比较少见的病态元件极子和零子。c.几种新型数字滤波器（DF）（1） 复数DF为了降低采样率而保存信号所包含的全部信息，在输入信号为窄带信号处理系统中，我们通常采用复数DF

28、技术，具体做法是可通过正交双路检波法，然后复包络转化为复数序列进行处理，将取出窄带信号的复包络再通过A/D变换，这个信号处理系统即为复数DF。它具有许多功能，比如MTI雷达中抑制具有卜勒频移的杂波，数字通信网和模拟通信网之间多路TDM/FDM信号变换复接干扰等等。（2）自适应DF自适应DF主要有以下一些简单算法：差值LMS算法、W-LMS算法、TDO算法、M-LMS算法、和C-LMS算法。自适应DF促进了现代控制理论的发展。由于自适应DF具有很强的自跟踪、自学习功能。因此它在雷达和声纳的噪声信号的处理、波束形成、通信信道的自适应均衡、远距离电话的回声抵消、缓变噪声干扰的抑制等领域有了广泛的应用

29、。（3）多维DF多维DF也能发挥很好的作用，对于模糊和随机噪声干扰的二维图象的处理。在石油勘探、图象处理、地震的数据处理中都用到多维DF（常用是二维DF），往往将一维DF优化设计直接推广到多维DF中去，来形成多维DF的设计。（4） 其它新型滤波器晶体滤波器 ：在70年代，它是适应单边带技术而发展起来的，它还广泛应用于多路复用系统中作为载波滤波器。它发展产生一个飞跃主要是由于集成晶体滤波器的产生。在最近的近十年来，一般着重对晶体滤波器做出于下面一些研究：因为寻求新型材料具有优良的选择，扩展晶体滤波器工作频率，实现最佳设计，改造工艺，使其向集成化发展还具有良好的时域响应。在频谱分析仪和声纳装置中作

30、为中频滤波器，在收发信中、单边带通信机中作为选频滤波器。电控编程CCD横向滤波器（FPCCDTF）：这种滤波器其性能和造价均可与数字滤波器和各种信号处理部件媲美。主要用于自适应滤波，通用化的频域滤波器，以及作相关、褶积运算，相阵系统的波束合成和电视信号的重影消除，P-N序列和Chirp波形的匹配滤波，语音信号和相位均衡等。电荷耦合器（CCD）固定加权的横向滤波器（TF）在信号处理中声表面波滤波器 ：它是理想的超高频器件，可以分别控制它的幅频特性和相位特性，通常应用彩色电视接收机中调谐系统的表面梳形滤波器，国防卫星通信系统，此外，在于电视广播发射机中作为残留边带滤波器中已广泛采用。以达到要求，声

31、表面波滤波器是电子学和声学相结合的产物，长时间稳定性好，而且可以集成体积小和工艺简单。所以，它在所有无源滤波器中最有发展前途4。2.4 带通数字滤波器2.4.1 带通数字滤波器的特点带通滤波器是指能通过某一频率范围内的频率分量、但将其他范围的频率分量衰减到极低水平的滤波器，与带阻滤波器的概念相对。当所需要的信号的频率既不属于最高的频率带，又不属于最低的频率带，而处于一个中间的地带，如果想要得到这部分信号，就需要带通滤波器把这个中间频率的信号之外的其他信号滤除掉。带通滤波器通过设置通带最低截止频率和通带最高截止频率，只要频率位于通带最低截止频率和通带最高截止频率之间的信号都可以通过该滤波器，而在

32、这之外的频率信号都无法通过该滤波器，从而得到所需要的频率信号。一个理想的滤波器应该有一个完全平坦的通带，实际上，并不存在理想的带通滤波器。因为滤波器并不能够完全将期望频率范围外的所有频率完全衰减掉，尤其是在所要的通带外还有一个被衰减但是没有被隔离的范围。例如在通带内没有增益或者衰减，有源带通滤波器电路并且在通带之外所有频率都被完全衰减掉，另外，通带外的转换在极小的频率范围完成。2.4.2 带通数字滤波器的作用除了电子学和信号处理领域之外，带通滤波器应用的一个例子是在大气科学领域，很常见的例子是使用带通滤波器过滤最近3到10天时间范围内的天气数据，这样在数据域中就只保留了作为扰动的气旋许多音响装

33、置的频谱分析器均使用此电路作为带通滤波器，以选出各个不同频段的信号，在显示上利用发光二极管点亮的多少来指示出信号幅度的大小。2.5 带通数字滤波器的设计方法IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法完全不同，IIR滤波器设计方法有两类：间接法和直接法，这类方法是基于模拟滤波器的设计方法已经很成熟了。经常用到的一类设计方法是间接法，它和模拟滤波器的设计方法基本相似。其设计方法是：先计算模拟滤波器得到系统函数H(s)，然后将H(s)按某种途径转换成滤波器的系统函数H(Z)。它不仅直接调用MATLAB中的对应的函数进行设计，也有完整的设计公式。更可以有完整的图表供查阅。另外还有一种方法是直接法，由于要解联

34、立方程，设计时必须用计算机作辅助设计，它是直接在时域或者频域中进行设计的，因此我们就可以很方便地设计出自己所需要的滤波器通过直接调用MatLab中的一些程序或者函数。应当说明，滤波器的设计公式较多，计算复杂。但是，在计算机普及的今天，各种设计方法都有现成的设计程序供我们调用。所以，只要掌握了滤波器基本设计原理。在工程实际中采用计算机辅助设计滤波器是很容易的事。FIR滤波器一般用的是频率采样法和窗函数法，也可以借助计算机辅助设计软件采用切比雪夫等波逼近法进行设计。但是不能采用由模拟滤波器的设计进行转换的方法即间接法。2.5.1 IIR数字滤波器的设计方法典型的模拟低通滤波器的指标如下：分别为通带

35、频率和阻带频率，分别为通带和阻带容限（峰波纹值）。在通带内要求,有时指标由通带最大衰减和阻带最小衰减给出，定义如下： 和第二种常用指标是用参数和A表示通带和阻带要求，如图2.5所示：图2.5 IIR滤波器的通带阻带图二者之间的关系为：和，根据这几个参数可导出另外两个参数d，k，分别称为判别因子和选择性因子。 ， (2.5)BUTTERWORTH低通滤波器：幅度平方函数定义为，N为滤波器阶数，为截止频率。当时，有，为3DB带宽。BUTTERWORTH低通滤波器系统函数有以下形式： (2.6) 由模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须建立好s平面和z平面的映射关系。使模拟系统函数变换成数字滤波器的系

36、统函数，通常采用冲激相应不变法和双线性变换法。冲激相应不变法存在频谱混叠现象，双线性变换法消除了这一线象，在IIR数字滤波器的设计中得到了更广泛的应用。s平面和Z平面的映射关系为,将和待入数字频率和等效的模拟频率之间的映射关系：，由于二者不是线性关系，所以称为预畸变。2.5.2 FIR数字滤波器的设计方法我们知道一个截止频率为(rad/s)的理想数字低通滤波器，它的传递函数的表达式： (2.7) 由上式可以看出，这个滤波器在物理上是不可实现的，因为冲激响应具有无限性和因果性。我们通常取样响应为，其系数函数为，长度为N来获得有限长度的冲激响应函数，： (2.8) 为了保证所设计的滤波器具有线性相

37、位，可以用表示截取后冲激响应，即，式子中为窗函数，长度为N。当=(N-1)/2时，截取的一段对(N-1)/2对称。2.6 IIR数字滤波器与FIR数字滤波器的比较分析IIR滤波器系统函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此零点和极点相结合，可用较低的阶数获得较高的选择性，所用的存储单元少，计算量少，所以经济高效。但是这个高效率是以相位的非线性为代价。相反，FIR滤波器却可以得到严格的相位特性，然而由于FIR滤波器系统函数的极点固定在原点，因而只能用较高的阶数达到高的选择性。对于同样的滤波器幅频特性指标，FIR滤波器所要求的阶数一般比IIR滤波器高510倍，使成本较高，信号延时也较大。如果按相同

38、的选择性和相同的线性相位要求来说，则IIR滤波器就必须加全通网络进行相位校正，同样要大大增加滤波器的阶数和复杂性。因此，选择IIR滤波器进行设计比较合适。每种类型滤波器的优点缺点在设计是必须要考虑的，所以选择哪一种滤波器非常重要。前面已经介绍了IIR和FIR数字滤波器的设计方法。为了能在实际工作中恰当地选用合适的滤波器，现将两种滤波器特点比较分析如下：(1)对于IIR滤波器，选择性越好，其相位的非线性越严重。 在通常情况下,FIR数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相比是非常值得的。如果要使幅度滤波器的技术要求，又满足IIR滤波器获得线性相位，必须加全通网络进行相位校正，这同样将大大

39、增加滤波器的阶数。就这一点来看，FIR滤波器优于IIR滤波器。(2)在相同的技术指标要求下，由于IIR数字滤波器存在输出对输入的反馈，因此可以用较少的阶数来满足要求，所用的运算次数少，存储单元少，较为经济。 选择数字滤波器是必须考虑经济问题，通常将芯片的面积或计算速度、硬件的复杂性等作为衡量经济问题的因素。例如，用双线性变换法设计一个阻带衰减为20dB的FIR数字滤波器，只需45阶的切比雪夫IIR滤波器就可达到同样的技术指标，而用频率抽样法要33阶才能达到要求。这就是说FIR滤波器的阶数要高510倍左右。(3)FIR滤波器则比较灵活很多，例如种幅度特性和相位特性的检查可以通过频率抽样法。IIR

40、滤波器主要是设计规格化、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带阻和带通滤波器。因此FIR滤波器可设计出线性调频器、理想微分器、理想正交变换器等各种网络，适应性很广。并且，目前已经有许多FIR滤波器的计算机程序可供选择。 (4) IIR滤波器不能进行这样的运算。但是因为FIR滤波器的冲激响应是有限长的，为了运算速度可以快得多，因此我们可以用快速傅里叶变换算法。(5) IIR滤波器一定要采用递归结构，对于这种结构，极点必须在z平面单位圆内才能稳定。无论是实际的还是理论上有限精度运算中它都是稳定的。运算中的舍入处理可能会引起寄生振荡。FIR滤波器主要采用非递归结构，有限精度运算误差也较小。(6)FI

41、R滤波器则一般没有现成的设计公式。一般FIR滤波器设计仅有计算机程序可资利用，因而要借助于计算机。 窗函数法只给出了窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式表达式。从设计上看，IIR滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合数据、公式、表格，可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器。只要我们选定了已知的一种逼近方法(如巴特奥兹，切比雪夫等)，就可以直接把技术指标带入一组设计方程计算出系统函数的系数(或极点和零点)和滤波器的阶次5。3 数字滤波器的设计如Bessel 滤波器、Chebyshev 滤波器、Ellipse滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式和各种设计资料可供参考。利用模拟滤波器

42、来设计IIR 数字滤波器是我们经常使用的方法， 因为模拟滤波器的理论和设计方法都已发展得很成熟，有很多典型的模拟滤波器可供我们选择11。在工程上经常要设计各种截止频率的滤波器，通常的做法是先设计一个无限冲击响应低通滤波器， 然后利用代数变换推导出各种技术指标的低通、高通、带阻和带通滤波器。根据设计要求首先得到模拟低通滤波器的传输函Ha(s)后，再将传输函数Ha(s)转换成数字低通滤波器的系统函数Ha(z)，将Ha(s)转换成Ha(z)的方法很多，但在工程上用得比较多的是脉冲响应不变法和双线性变换法。3.1 双线性变换法设计滤波器3.1.1 双线性变换的基本知识双线性变换是将整个s平面映射到整个

43、z平面上，其映射关系为 (3.1)双线性变换法克服了脉冲响应不变法从s平面到z平面的多值映射的缺点，取消了频谱混叠现象。但其在变换过程中产生了非线性的畸变，在设计IIR数字滤波器的过程中需要进行一定的预修正。3.1.2 用双线性变换法设计IIR 数字带通滤波双线性变换法是通过两次映射来实现，为了消除了混叠现象，首先，第一次映射先将S 平面压缩到S 平面的一条带域内，然后通过第二次映射将带域映射到Z 平面上，这样就能保证S 平面和Z 平面之间建立单值对应关系。双线性变换法克服了混叠现象，同时它与Z 平面之间存在简单的代数关系，在工程设计时比脉冲响应不变法比较直接而且简单。由于从S 平面到Z 平面

44、的变换式Z=e 存在多值对应，因此脉冲响应不变法可能会导致数字滤波器频率响应出现混叠现象发生12。将S 平面压缩到S平面的一条带域内的变换式为： S = c (3.2)如果我们要得到S平面和Z 平面的单值对应关系，可以通过两种方法求得，可以将S 平面映射到Z 平面上, 只要令Z=e，其中C 是一个常数。如果要保证模拟滤波器的低频特性逼近数字滤波器的低频特性，可以取C=2/T。： S= c (3.3)在计算好模拟滤波器的系统函数Ha(s)以后，就可以直接得到数字滤波器的系统函数H(Z)，它们之间的对应关系为： H(Z)= Ha(s)，S= (3.4) 3.2 脉冲响应不变法设计滤波器3.2.1

45、脉冲响应不变法的基本知识脉冲脉冲响应不变法又可以说是冲击响应不变法，为了得到数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)，具体是将系统从S平面到Z平面的一种映射方法，使。其变化关系式为z=e。由于重叠映射，因而冲击响应不变法是一种多值映射关系。因为e是一个周期函数，所以s平面虚轴上每一段的线段都映射到z平面单位圆上一周。数字滤波器的频率响应可以看成原模拟滤波器的频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器的频率响应是有限带宽时，并且同时频带宽度=，才能避免滤波器的频率响应发生混叠的现象。由于脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，因此，在高频区幅频特性不等于零的高通和带阻滤波器不能采用脉冲不变法。3.2.2

46、用脉冲响应不变法设计IIR数字带通滤波脉冲响应不变法就是要求数字滤波器的脉冲响应序列与模拟滤波器的脉冲响应的采样值相等，即 (3.5) 上式中，为采样周期。根据模拟信号的拉普拉斯变换与离散序列的变换之间的关系，可以得到 (3.6) 此式表明，的拉普拉斯变换在平面上沿虚轴，按照周期延拓后按式，进行变换，就可以将映射为。事实上，用脉冲响应不变法设计IIR滤波器，只适合于分母多项式的阶次高于分子多项式阶次且有单阶极点,的情况。将用部分分式表示： (3.7)式中，代表拉普拉斯变换，为的单阶极点。将进行拉普拉斯反变换，即可得到 (3.8) 式中，是单位的阶跃函数。则的离散序列 (3.9)对进行变换之后，

47、可以得到滤波器的系统函数 (3.10) 对比与，我们会发现：域中的极点是，映射到平面之后，其极点变为了，而系数没有发生变化，仍为。因此，在设计IIR滤波器时，我们只要找出模拟滤波器系统函数的极点和系数，通过脉冲响应不变法，代入的表达式中，即可求出，实现连续系统的离散化13。脉冲响应不变法适合于设计低通和带通滤波器。这里是模拟滤波器的传输函数，是数字滤波器的系统函数。将模拟滤波器转化为数字滤波器，牵涉到一个关键的问题，即寻找一种转换关系，将平面上的转换成平面上的。为了确保转换后的满足技术要求并且稳定，转换关系要满足以下要求：（1）模拟滤波器稳定要求其传输函数的极点都位于平面的左半平面，数字滤波器

48、因果稳定则要求的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是平面的左半平面映射平面的单位圆内部。（2）平面的虚轴映射平面的单位圆，数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，相应的频率之间成线性关系14。3.3 脉冲响应不变法与双线性变换法的比较脉冲响应不变法脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带限滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。所以用脉冲响应不变法实现高通和带限滤波器时，应增加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带，然后再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这

49、会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，只有在一定需要频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。（1） 在要求时域脉冲响应能模仿模拟滤波器的场合，我们一般使用脉冲响应不变法。（2） 如果模拟滤波的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系： (3.11)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射到H(Z)也是稳定的。)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，与是线性关系。 双线性变换法优点：与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：在零频率附近，接近于线性关系，进一步增加时，增长变得缓慢，终止于折叠频率处，所以双线性变换不会出现由于高频部

50、分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。靠频率的严重非线性关系得到S平面与Z平面的单值一一对应关系，整个j轴单值对应于单位圆一周，这个关系就是式中所表示的，其中和为非线性关系。缺点：双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。当一个线性相位的模拟滤波器经过双线性变换后，滤波器就不再有线性相位特性。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为的常数特性，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，这种特性的滤波器通

51、过双线性变换后，如低通、高通、带通和带阻等15。另外，因为与的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变。即使双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最有成效、最普遍的一种设计工具。3.4 数字滤波器的算法设计理想的滤波器是非因果的，即物理上不可实现的系统。但按一定规则构成的实际滤波器的幅频特性可逼近理想滤波器的幅频特性，例如切比雪夫(Chebyshev)滤波器、巴特奥兹(Butterworth)、和椭圆滤波器等。工程上常用的模拟滤波器都不是理想的滤波器。3.4.1 巴特奥兹滤波器巴特沃兹滤波器(Butter

52、worth 滤波器)特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f，幅频特性单调。其幅度平方函数：(3.12)N为滤波器阶数，如图4.1图4.1 巴特沃斯滤波器振幅平方特性通带： 使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围 c ：截止频率。 过渡带为零 阻带|H(j )|=0 理想滤波器 通带内幅度|H(j)|=cons. H(j)的相位是线性的图4.1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。通带内，分母/c1, ( /c)2N1， ( /c)2N1, 增加， A(2)快速减小。=c, ,幅度衰减，相当于3db衰减点。振幅平方函数的极点 (3.13) 可见，

53、Butter worth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3，SP4，SP5)组成的，它们分别为：(3.14系统函数为： (3.15)令 ，得归一化的三阶BF： (3.16)如果要还原的话，则有(3.17)3.4.2 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器的阻带衰减特性则有所改善。巴特奥兹低通滤波器的幅频特性随的增加而单调下降，当N较小时，阻带幅频特性下降较慢，要想使其幅频特性接近理想低通滤波器，就必须增加滤波器的阶数，这就将导致模拟滤波器使用的原件增多，线路趋于复杂。特点：误差值在规定的频段上等幅变化。如果阶次一定，巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，则在靠近截止频率处，幅度变化范围比较大，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次(N)很高，采用切比雪夫多项式逼近可以克服这一缺点。 因为切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，它的阶数比巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量(波动范围)提出要