26弧长与扇形面积

1、弧长与扇形面积弧长与扇形面积本课内容本节内容2.6 如如图是某市的摩天轮的示意图图是某市的摩天轮的示意图. 点点o是圆是圆心，心，半径半径r为为15m，点，点a，b是圆上的两点，圆是圆上的两点，圆心角心角aob=120. 你能想办法求出你能想办法求出 的长度的长度吗？说吗？说说说你的理由你的理由.动脑筋动脑筋ab 因为因为aob=120， 所以所以 的长是圆周长的的长是圆周长的 ，因此，因此 的长为的长为 2 15 = 10 （m）.ab13ab13 我们知道圆周长的计算公式为我们知道圆周长的计算公式为c=2r，其中其中r是圆的半径是圆的半径，即，即360的圆心角所对的圆心角所对的弧长就是圆周

2、长的弧长就是圆周长c.如果如果aob=n，你能求出，你能求出 的长吗？的长吗？ab 在同一个圆中在同一个圆中，如果圆心角相等如果圆心角相等，那么那么它们所对的弧相等它们所对的弧相等. 而一个圆的圆心角为而一个圆的圆心角为360，因此：因此：1的圆心角所对的弧长为的圆心角所对的弧长为n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长l为为12360， r1= 2.360 l nr结论结论半径为半径为r的圆中，的圆中，n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长l为为= 2= .360180nnrl r 由此得出以下结论：由此得出以下结论：例例1 已知圆已知圆o的半径为的半径为30cm，求，求40的圆心的圆心 角所

3、对的弧长角所对的弧长( (精确到精确到0.1cm) ) 举举例例40 30= 180 l 解解 403.1430 180 20.9 cm .()()如图所示，一个边长为如图所示，一个边长为10cm的等边三角形木的等边三角形木板板abc在水平桌面上绕顶点在水平桌面上绕顶点c按顺时针方向按顺时针方向旋转到旋转到abc的位置，求顶点的位置，求顶点a从开始到结从开始到结束所经过的路程为多少束所经过的路程为多少. .举举例例例例2 解解 由图可知，由于由图可知，由于acb =60，则等边，则等边 三角形木板绕点三角形木板绕点c按顺时针方向旋转了按顺时针方向旋转了120， 即即aca =120，这说明顶点

4、，这说明顶点a经过的经过的 路程长等于路程长等于 的长的长. aa 等边三角形等边三角形abc的边长为的边长为10cm， 所在圆的半径为所在圆的半径为10cm. aa aa 2012010= =cm .1803l ()()答：顶点答：顶点a从开始到结束时所经过的从开始到结束时所经过的 路程为路程为 cm. 203练习练习如图如图是一个闹钟正面的内、外轮廓线是一个闹钟正面的内、外轮廓线. 内内轮廓线由一段圆弧和一条弦轮廓线由一段圆弧和一条弦ab组成，圆心组成，圆心为为o，半径为，半径为3.2cm，圆心角，圆心角aob=83，求内轮廓线的圆弧的长度求内轮廓线的圆弧的长度.1.解：解：(360-83

5、)3.22773.2 1108 cm180180225l=()()答：内轮廓线的圆弧的长度为答：内轮廓线的圆弧的长度为1108 cm.2252. 如图，一块铅球比赛场地是由一段如图，一块铅球比赛场地是由一段80的圆心角的圆心角所对的圆弧和两条半径围成的，若该比赛场地的所对的圆弧和两条半径围成的，若该比赛场地的周界是周界是34 m，求它的半径，求它的半径oa长（精确到长（精确到0.1m）.480 2 =2 = 23.4 (m).1809 rl + r + r r+ rr ab设半径设半径oa的长为的长为r. 则根据题意，该比赛场地则根据题意，该比赛场地的周界为的周界为又已知该比赛场地的周界是又已

6、知该比赛场地的周界是34m，解解 34=10.0(m).3.4r 圆的一条弧和经过这条弧的端点的圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作两条半径所围成的图形叫作扇形扇形. 如图，阴影部分是一个扇形，记作如图，阴影部分是一个扇形，记作扇形扇形oab. 我们可以发现，扇形面积与组成扇形的我们可以发现，扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，在同一个圆中，圆心角圆心角的大小有关，在同一个圆中，圆心角越大，扇形面积也越大越大，扇形面积也越大.探究探究 如何求半径为如何求半径为r，圆心角为，圆心角为n的的扇形的面积呢？扇形的面积呢？ 我们可以把圆看作是圆心角为我们可以把圆看作是圆心角为360

7、的扇形，的扇形，它的面积即圆面积它的面积即圆面积 因为圆绕圆心旋转任因为圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，所以圆心角为意角度，都能与自身重合，所以圆心角为1的的扇形能够互相重合，从而圆心角为扇形能够互相重合，从而圆心角为1的扇形的的扇形的面积等于圆面积的面积等于圆面积的 ，即，即 2 .360r 1360因此，圆心角为因此，圆心角为n的扇形的面积为的扇形的面积为2 .360rn2 .=s r结论结论由此得到：由此得到：半径为半径为r的圆中，圆心角为的圆中，圆心角为n的扇形的面积的扇形的面积s为为 2 .=360扇扇形形nrs 又因为扇形的弧长又因为扇形的弧长 ，= 180nrl 因此因此2

8、 . 1=3602 1801=2nrnrsrlr扇扇形形例例3 如图，圆如图，圆o的半径为的半径为1.5cm，圆心角，圆心角 aob=58，求扇形，求扇形oab的面积的面积. . ( (精确到精确到0.1cm2).). 举举例例222581.5=360583.14 1.53601.1 cm .s () ()解解 因为因为r=1.5cm，n=58，所以扇形所以扇形oab的面积为的面积为解解 设设aob=n，解得解得n=135，即圆心角，即圆心角cod=135.举举例例如下图是一条圆弧形弯道，已知如下图是一条圆弧形弯道，已知oa=20m， oc=12m， 的长度为的长度为9m，求圆弧形弯道，求圆弧

9、形弯道的面积的面积. .cd例例4 oc=12m， 的长度为的长度为9m，cd, 129 = 180n 答：这条圆弧形弯道的面积为答：这条圆弧形弯道的面积为 . .962m 2213520=150 m .360扇扇形形oabs ()() 211=9 12=54 m .22扇扇形形ocds l r=()()2150 5496m .扇扇形形扇扇形形acdboabocd= =ss s ()()- - -弯道如图，在圆如图，在圆o中，中，aob=120，弦，弦ab的长为的长为 cm，求扇形，求扇形oab的面积的面积. .解：作解：作omab 于于m.练习练习m2 31.则则 r2= om2+mb2 =

10、 ( ( r) )2 + = +3()22=12024= cm .3603oabs 扇扇形形1223（）. 2r =14r 2解得解得所以所以如图，分别以如图，分别以abc的顶点的顶点a，b，c为圆心，为圆心，以以1为半径画圆，求图中绿色部分的面积为半径画圆，求图中绿色部分的面积. .2.解：设解：设 则则() 222+ = = 1 1 1= 360360360 1 = 3601803601.2s 绿绿ca=, b= , =.如图，有一直径是如图，有一直径是20cm的圆形纸片，现从中的圆形纸片，现从中剪出一个圆心角是剪出一个圆心角是90的扇形的扇形abc ，求被剪，求被剪掉部分的面积掉部分的面积. .3.解：连接解：连接bc. bac=90， bc 是直径是直径.易求出扇形的半径易求出扇形的半径 ab=10 cm. 被剪掉部分的面积为被剪掉部分的面积为 22()222=9010= 1050 cm .360s ()()中考中考 试题试题例例 如图，直角三角形如图，直角三角形abc的斜边的斜边ab=35，点点o在在ab边上，边上，ob=20，一个以，一个以o为圆心的为圆心的圆，分别切两直角边圆，分别切两直角边bc，ac于于d、e两点，两点，求求 的长度的长度. de连接连接oe、od， o切切bc、ac于点于点d、e，odbc，oeac.