24一元二次方程根与系数的关系2

1、湘教版湘教版shuxue九年级上九年级上ax2+bx+c=0 x=-b b2-4ac2a本节内容本节内容 2.41 1、一元二次方程意义及一般形式、一元二次方程意义及一般形式: 由一个未知数的二次多项式组成的方程由一个未知数的二次多项式组成的方程叫做一元二次方程。叫做一元二次方程。一般形式一般形式ax2+bx+c=0 (a0)。2 2、一元二次方程的解法、一元二次方程的解法:(1)(1)平方根的意义（开平方法）平方根的意义（开平方法） ax2=b(b0)(2) (2) 配方法配方法方程两边同加上一次项系数一半的平方方程两边同加上一次项系数一半的平方. .(3)(3)公式法公式法x=- -bb2

2、- -4ac2a(b2- -4ac0)(4)(4)因式分解法因式分解法ab=0 a=0或或b=03 3、一元二次方程的根由哪些因素决定？其根有几种情况？、一元二次方程的根由哪些因素决定？其根有几种情况？如何判断？如何判断？一元二次方程的根由系数一元二次方程的根由系数a、b、c来决定来决定。根的判别式：根的判别式：=b2-4ac=b2-4ac0，原方程有，原方程有两个不相等的实数根。两个不相等的实数根。=b2-4ac=0，原方程有，原方程有两个相等的实数根。两个相等的实数根。=b2-4ac0，原方程，原方程没有实数根。没有实数根。问题：问题：一元二次方程的根与系数之间除一元二次方程的根与系数之间

3、除上述关系外，还有什么关系？上述关系外，还有什么关系？先解方程，先解方程，再填写下表：再填写下表：方程方程x1x2x1+x2x1 x2x2-2x=002x2+3x-4=0 x2-5x-6=0-416-120-3-45-6由上表猜测，若方程由上表猜测，若方程x2+bx+c=0的两根为的两根为x1，x2，则则x1+x2= ; x1x2= .-bc( (一次项系数的相反数）一次项系数的相反数）( (常数项）常数项） 已知方程已知方程x2-5x-6=0的两根是的两根是x1= , x2= .根据因式分根据因式分解的性质，得解的性质，得x2-5x-6=(x- )(x- ). 6-16-1二次项二次项系数为

4、系数为1 1二次项系数不是二次项系数不是1的一元二次方程的一元二次方程（ax2+bx+c=0）的根与系数怎样？的根与系数怎样？当当0时，设时，设ax2+bx+c=0的两根为的两根为x1，x2，则，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=a x2-(x1+x2)x+x1x2又：又：ax2+bx+c=a(x2+ x+ )acab于是就有：于是就有： (x2+ x+ )=acabx2-(x1+x2)x+x1x2ab得到：得到：x1+x2= - - ，x1x2=ac也可以这样理解：也可以这样理解：当当0时，设时，设ax2+bx+c=0的两根为的两根为x1，x2，x1+x2= +- -b+b2-

5、 -4ac2a- -b- -b2- -4ac2a由求根公式得：由求根公式得：x1x2= - -b+b2- -4ac2a- -b- -b2- -4ac2a= - - = - -2a2babac= =4a2b2-(-(b2- - 4ac) )ac这就表明：对于一元二次方程这就表明：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当当b2-4ac0时时，有两根为有两根为x1、x2，则则x1+x2=- - x1x2=ab两根的两根的和和等于一次项系数与二次项系数的等于一次项系数与二次项系数的比的相反数比的相反数，两根的两根的积积等于常数项与二次项系数的等于常数项与二次项系数的比比。1 1、根据根与系数关系，求下

6、列方程的、根据根与系数关系，求下列方程的两根和与积。两根和与积。（1）2x2-3x+1=0（2）2x2-3x+2=10（3）7x2-5=x+8（4）x(x-1)=2(x-5)x1+x2=- - =232- -3x1x2=21整理，得整理，得: x2-3x-8=0 x1+x2=- -(-3)=3x1x2=- -8整理，得整理，得: 7x2-x-13=0 x1+x2=- - =717- -1713x1x2= = - -7-13整理，得整理，得: x2-3x+10=0原方程无实数根。原方程无实数根。2、已知关于、已知关于x的方程的方程x2+3x+q=0的一个根是的一个根是- -3，求它的另一个根及求

7、它的另一个根及q的值。的值。解解：设原方程的另一个根为：设原方程的另一个根为x2由根与系数的关系得：由根与系数的关系得：(- -3)+x2=- -3解得：解得：x2=0又：又：q=x1x2=(-3)0=0还可以用其它的办法还可以用其它的办法求求q的值吗？的值吗？3. 已知已知x1、x2是方程是方程2x2+3x- -1=0 的两个根的两个根，不解方程不解方程，求下列代数式的值求下列代数式的值. . (1) (1+x1)(1+x2)(2) x12+x22(3) +x11x21小结小结思路思路：先由根与系数的关系求出：先由根与系数的关系求出x1+x2和和x1x2的值，再将代数的值，再将代数式变形，再整体代人计算。式变形，再整体代人计算。-14133一元二次方程的根与系数关系及作用？一元二次方程的根与系数关系及作用？ac对于一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当当b2-4ac0时时，有