53二次根式的加法和减法

1、二次根式的加、减法二次根式的加、减法本课内容本节内容5.3做一做做一做计算计算：1 2 5 3 52 5 2 3 2 ( )( )； ( ) ( )；+-+- 2 5 3 5= 2 35=5 5, 5 2 3 2= 5 32=2 2 . .+ + +- - -动脑筋动脑筋 下图是由面积分别为下图是由面积分别为8和和18的正方形的正方形abcd和和正方形正方形cegh拼成拼成. 求求be的长的长. 因为正方形因为正方形abcd 和和cegh的边长分别为的边长分别为 和和 ， 所以所以be的长度为的长度为8188818 .818（化成最简二次根式）（化成最简二次根式）= 2 23 2（分配律）（分

2、配律）= 232= 5 2. 在进行二次根式的加减运算时，在进行二次根式的加减运算时， 通常应先将每个通常应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式的二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，但被开方数不变系数相加减，但被开方数不变. 举举例例例例1 计算：计算： 1 5 8 2 27+ 181 2 2 18 50+453( ) ( ) ； ().().- - -. 1 2 2 18 50+453= 6 2 5 2+ 5=2+ 5 () (). .- - - 1 5 8 2 27+ 18( () )- -= 10 2 6 3+3 2= 13 2 6 3. .- -

3、-解解 二次根式的加减与二次根式的加减与合并同类项类似合并同类项类似.例例2 2 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成圆心的圆构成. .已知大圆和小圆的面积分别为已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和和150.72m，求圆环的宽度，求圆环的宽度d（取取3.14）. .举举例例d解解设大圆和小圆的半径分别为设大圆和小圆的半径分别为r，r，面积分别，面积分别为为 ， ，由，由 ，2s1s21sr22sr可知可知1sr =，则则2sr =.12ssdrr763 02150 723 143 14243489 34 35 3.答：圆环的宽度为

4、答：圆环的宽度为5 3m. 1. 计算：计算： 练习练习 1 5 2 18( ) ( ) ； 8 2 答答案案： 2 4 18 9 2 ()-()-； 3 10 2 +3 8 7 2()()；- - 3 2 答答案案：9 2 答答案案：4 3-6 2 答答案案：. 4 5 12 3 8 2 27()()- 2. 计算：计算： 1 23 8+2 7 ( )( )；- -2 7 5 2 答答案案：- 7 2 3 3 - -答答案案：- - 2 2 3 5 87518 .()()-动脑筋动脑筋 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为

5、上底宽其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽下底宽 ，高，高 的梯形，这段路基长的梯形，这段路基长500m，那么这段路基的土石方为多少立方米呢（路基的土那么这段路基的土石方为多少立方米呢（路基的土石方即等于路基的体积）石方即等于路基的体积）？42m62m6m4 2m6m6 2m 路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：长度，所以，这段路基的土石方为： 14 26 265002 23 2650025 2650035000 3 m. 即这段路基的土石方为即这段路基的土石方为35000 3m . 从上面的解答过程可以看到，

6、二次根式的从上面的解答过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的混合运算是根据实数的运算律进行的. .举举例例例例3 计算：计算： 3 1 6 28 2 2 + 2 1 2( ) ( ) ； () .() .- - -3=6228 - -3=6 228 - -.3= 2 323=32 - -3 1 6 28( ) ( ) - - 2 2 + 2 1 2 ()()- -= 2 2 2 + 222 -= 2 2 2 + 2 2 -.= 2 - -解解 从例从例3可以看到，二次根式相乘，与多项式可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，的乘法相类似，我

7、们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算对某些二次根式的乘法进行简便运算. .举举例例例例4 计算：计算：2 1 2+ 12 1 2 23 ( )( )； ().().- - - 1 2+ 12 1 ( ) ( ) 解解 - - 22= 21 - - = 12 2 23 ()()- -22 = 2 2 233 - - = 2 2 23 3- -. = 5 2 6- -举举例例例例5 计算：计算： 1 32+ 2211 2 +2323 ( ) ( ) ； ().().- - 1 32+ 22( ) ( ) 解解= 4 2+ 22 = 5 22 = 5. 11 2 +2323(

8、)()- - 23 2+ 3=+23 2323 23 - - 4= 23 23- -22 4= = 4.23- - 1. 计算：计算： 练习练习3 1 51545( ) ( ) ；- - 3 答答案案： 2 80 + 405() () ； 3 2+ 3 33 ()()； - - 4 3+ 1025() .() .- -4+2 2答答案案： 3+ 3 答答案案： 52 2 答答案案：- 2. 计算：计算： 2 1 52 ( ) ()( ) () ；- - 2 72 72 ()()().()()().+-+- 7 2 10 答答案案： - -5 答答案案： 3. 计算：计算： 62 3 1 3(

9、)( )；+ + 2 8 4 2()().()().- - 2+ 2答答案案： 22 答答案案： - -小结与复习小结与复习 1. 二次根式二次根式 在实数范围内有意义的条件是什么在实数范围内有意义的条件是什么？ 2. 二次根式有哪些性质二次根式有哪些性质？ a4. 如何进行二次根式的加、减、乘、除运算如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？3. 举例说明什么叫举例说明什么叫最简二次根式，试写出一个二次最简二次根式，试写出一个二次 根式并将它化简根式并将它化简. .加、减、乘、除运算加、减、乘、除运算二次根式二次根式性质性质最简二次根式最简二次根式2 = 0 . aa a( () )( () )200a aaaa a = 0 0 a babab( ( , , ) ). .积的算术平方根的性质：积的算术平方根的性质：00bbab.aa ， 商的算术平方根的性质：商的算术平方根的性质： 1. 二次根式二次根式 在实数范围内有意义，必须满足在实数范围内有意义，必须满足 . 学习了二次根式以后学习了二次根式以后，代数式可看成是把数和表示，代数式可看成是把数和表示 数的字母用运算符号数的字母用运算符号( (加、减、乘、除、乘方和开方）加、减、乘、除、乘方和开方） 连接