曲线和曲面上的积分课件_第1页
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文档简介

1、曲线和曲面上的积分1曲线和曲面上的积分场论曲线和曲面上的积分2基本概念 梯度场: 设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场), 自然给出了上的一个向量场, 也记为,它称为的梯度场, 简称梯度场; 散度场:设F是Rn上的光滑向量场. 上的数量场 称作F的散度(场), 也记作div F=FniiixFF1 div曲线和曲面上的积分3基本概念(续) 旋度场: 设F=(P,Q,R)是R3上的一个光滑向量场. 向量场 称作F的旋度(向量场), 也记成rot F=F 记号(读作nabla)也称作梯度算子,把它理解为yPxQxRzPzQyRF,rot nxx,1曲线和曲面上的积分4梯度场的意义 设是Rn上的一个

2、光滑实值函数(纯量场), 是其梯度场. 也记作grad . 的基本意义是给出了在的各点最大的方向导数的值及其方向; 给出了的等高面(x)=c上的法向量场; (x0)(x-x0)=0是等高面(x)=(x0)在x0点的切平面; 是描述数量场扩散的基本数学量.曲线和曲面上的积分5散度场的意义 设F是Rn上的一个光滑向量场,div F=F叫做F的散度场. div F(x0)表示向量场F在x0点的发散程度: 设V是包含x0点(x0点为内点)的区域F在V上的平均发散程度定义为当|V|趋于零时, 由Gauss公式就得到上面的解释. div F(x0)()0表示x0是F的源(或漏)点.VNdFV|1曲线和曲面

3、上的积分6梯度场的散度场 设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),其梯度场的散度场div =D在讨论温度场和密度场等数量场时是基本的. D 叫Laplace算子 如果div F=0, 就称F为无源场, 例如三维空间中,向量场的旋度场就是无源场.曲线和曲面上的积分7旋度场的意义 设F=(P,Q,R)是R3上的一个光滑向量场. rot F=curl F=F叫F的旋度. curl F(x0)表示向量场F在x0点的环流(涡旋)程度(是一个向量). 它的解释要复杂一些: 取定义个方向n(单位向量), S是过x0点与n垂直的平面区域C是其边界曲线,取其方向与n的方向成右手螺旋, 定义F在S上在n方向上的平均环流为CdrFS|1曲线和曲面上的积分8旋度场的意义(续) 当|S|趋于零时, 其极限定义为定义F在x0点在n方向的环流curl(F,n)(x0),由Stokes公式, curl(F

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