选修1-1导数的概念1

1、导数的概念201311112( )4.96.510h ttt 1.1.2 导数的概念 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度只能粗略的描平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态。它并不能反映某一述运动员的运动状态。它并不能反映某一刻的运动状态。刻的运动状态。 我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速瞬时速度度.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时间内间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv当t = 0.01时,当t = 0.01时,0951.13v当t = 0.001时,1049.13v当t =0.001时,当t =

2、 0.0001时,当t =0.0001时,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001, l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth13.051v 13.09951v 13.0999951v 13.149v 13.10049v 13.1000049v 当当 t 趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与

3、一个确定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此因此, 运动员在运动员在 t = 2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.v表示表示“当当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.v从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度13.1 4.9hvtt 为方便表示，我们用：瞬时速度瞬时速度在在t t0 0时刻的瞬时速度呢？时刻的瞬时速度呢？定

4、义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 0000( )() limlim xxf xxf xyxx 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同. 3由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1. 求函数的改变量求函

5、数的改变量2. 求平均变化率求平均变化率3. 求值求值00()();yf xxf x .lim)(00 xfxfx00()();f xxf xyxx口诀：一差、二化、三极限口诀：一差、二化、三极限例例1.1.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数222(1)(1)12() ,yxxx 解解：,2)(22xxxxxy . 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy(2+)(2)3yfxfxxx 0(2)33limxyfxx (6)5f(2)3f对于上面的导数有什么实际意义？对于上面的导数有什么实际意义？在第在第2h附近，原有大约以附近，原有大约以3 的速率下降，在第的

6、速率下降，在第6h附近，原有附近，原有温度大约以温度大约以5 的速率上升的速率上升/oc h/oc h0001,|,2.:x xyxxxyx已已知知函函数数在在处处附附近近有有定定义义 且且求求 的的值值例例,:00 xxxy 解解)()(000000 xxxxxxxxxx,1limlim0000 xxxxyxx. 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由xxxxxy00.100 xxx021x练习：练习：1.1.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数222(1)(1)12() ,yxxx 解解：,2)(22xxxxxy . 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy(1)(1)(1)2fxfx(1)2f函数f(x)满足 ，则当x无限趋近于0时，(12 )(1)(2)fxfx0000( )(4)()()f xxxf xxf xxfx 变式：设在处可导，（3）无