第5章 边界层流动

1、 第五章第五章v边界层理论是边界层理论是(Prandtl) 于于19041904年创年创立的，由于它的应用性极为广泛，发展极为立的，由于它的应用性极为广泛，发展极为迅速，现已成为粘性流体力学的主要发展方迅速，现已成为粘性流体力学的主要发展方向之一。向之一。v边界层理论的边界层理论的主要任务主要任务是研究物体在流体是研究物体在流体中运动时所受到的摩擦阻力，物体与流体间中运动时所受到的摩擦阻力，物体与流体间的热质交换。的热质交换。 v最早提出的边界层概念是最早提出的边界层概念是速度边界层速度边界层。此。此后的温度边界层和浓度边界层都是在速度边后的温度边界层和浓度边界层都是在速度边界层基础上建立的。

2、界层基础上建立的。 第五章 边界层流动 一一、速度边界层概念速度边界层概念 二、沿平板边界层动量微分方程二、沿平板边界层动量微分方程 三、三、边界层动量积分边界层动量积分方程方程第五章 边界层流动第五章 边界层流动q1904年，年，Prandtl在一次国际数学会上宣读了一在一次国际数学会上宣读了一份关于具有很小粘度流体流动的数学论文。份关于具有很小粘度流体流动的数学论文。q在论文中他首先提出了边界层的概念。在论文中他首先提出了边界层的概念。q他指出：任何一种实际流体流过物体壁面时都他指出：任何一种实际流体流过物体壁面时都可分为二种流动情况，即可分为二种流动情况，即物体表面处的边界物体表面处的边

3、界层流动和边界层外的广大区域内的低粘度流动层流动和边界层外的广大区域内的低粘度流动。第五章 边界层流动先来看下面实验结果，将平板或曲面物体（例如先来看下面实验结果，将平板或曲面物体（例如机翼）放在风洞里吹风，假设机翼）放在风洞里吹风，假设Re很大，实验测很大，实验测得各个截面上的速度分布，结果如图得各个截面上的速度分布，结果如图4-1所示所示图图4-1 第五章 边界层流动 ghp6无限大平板上的速度分布无限大平板上的速度分布机翼上的速度分布机翼上的速度分布第五章 边界层流动q分析实验测得的速度分布发现，整个流分析实验测得的速度分布发现，整个流场可以明显地分成性质很不相同的两个场可以明显地分成性

4、质很不相同的两个流动区域流动区域： v 1）边界层层内流动边界层层内流动 v 2）边界层层外流动边界层层外流动 第五章 边界层流动 ghp边界层内流动特征为边界层内流动特征为：紧贴物面非常薄的一层区域称为边界层紧贴物面非常薄的一层区域称为边界层。在该区域内速度分量在该区域内速度分量 ux 变化非常迅速变化非常迅速因此尽管粘度很小，但因速度梯度极大，导致粘性因此尽管粘度很小，但因速度梯度极大，导致粘性应力大，尤其在壁面处应力大，尤其在壁面处。所以在边界层内粘性力的作用与惯性力同等重要所以在边界层内粘性力的作用与惯性力同等重要。 层厚非常薄层厚非常薄由于速度由于速度 ux 变化迅速，随着离壁面距离

5、的增加，速变化迅速，随着离壁面距离的增加，速度迅速恢复到来流速度度迅速恢复到来流速度u0 ，所以边界层的厚度很薄所以边界层的厚度很薄。通常层厚与前端的距离之比约为通常层厚与前端的距离之比约为：100:1: L v边界层厚度有各种不同的定义，根据需要选取。边界层厚度有各种不同的定义，根据需要选取。v本课程采用边界层约定厚度定义本课程采用边界层约定厚度定义v 其概念是当层内的速度达到来流速度的其概念是当层内的速度达到来流速度的99%99%时，即认为时，即认为达到了边界层外沿，其距壁面的位置即为边界层厚度达到了边界层外沿，其距壁面的位置即为边界层厚度v 表达式为表达式为：99. 00 uuxy 第五

6、章 边界层流动 ghpl边界层层外的整个流动区域称为外部流动区域边界层层外的整个流动区域称为外部流动区域l在该区域内速度梯度（或认为粘度）极小在该区域内速度梯度（或认为粘度）极小l故认为流动趋于无粘性的理想流体运动故认为流动趋于无粘性的理想流体运动。0 yux0 第五章 边界层流动 ghp1) 沿平板流动沿平板流动 速度边界层的发展过程速度边界层的发展过程 以平板为例讨论边界层的发展情况，见以平板为例讨论边界层的发展情况，见 4-1 图图 第五章 边界层流动 ghp12由图可见，在沿平板流动时，边界层的发展经历了三个阶段。由图可见，在沿平板流动时，边界层的发展经历了三个阶段。 cxx 0在此区

7、域内流体呈有规则的在此区域内流体呈有规则的。为为，对应的边界层厚度称为临界厚度，对应的边界层厚度称为临界厚度 c ： 在该区域内出现不规则涡团运动，流线不再完全是层流在该区域内出现不规则涡团运动，流线不再完全是层流状。状。 涡团运动加剧，流线受到剧烈扰动，流动由层流转变为湍流涡团运动加剧，流线受到剧烈扰动，流动由层流转变为湍流。 v 在紧贴壁面的流层内，剪切应力足以克服涡团的影响在紧贴壁面的流层内，剪切应力足以克服涡团的影响， 该层内仍保持层流流动称为该层内仍保持层流流动称为或层流底层。或层流底层。v 在层流内层与湍流边界层之间，流体的流动既非层流，在层流内层与湍流边界层之间，流体的流动既非层

8、流， 又非完全的湍流，该层称为又非完全的湍流，该层称为 。v 在缓冲层之外的湍流边界层可称为在缓冲层之外的湍流边界层可称为 。第五章 边界层流动 ghp临界距离临界距离 即由层流边界层转变到湍流边界层时离前缘的距离即由层流边界层转变到湍流边界层时离前缘的距离定义为定义为：临界距离的长短与入口端的形状、壁面的粗糙度、临界距离的长短与入口端的形状、壁面的粗糙度、来流流体的性质和来流速度大小有关来流流体的性质和来流速度大小有关。 ccuxRe0 第五章 边界层流动 ghp粗糙平板粗糙平板q 在实际情况下通过做实验加以确定，但其趋势是可以在实际情况下通过做实验加以确定，但其趋势是可以预测预测 ，如入口

9、端越钝（就比锐角，圆角临界值大）、，如入口端越钝（就比锐角，圆角临界值大）、壁面越粗糙壁面越粗糙、来流速度越大来流速度越大 ，临界距离越大，临界距离越大。q 在计算上有时为简便起见，当长度方向远大于在计算上有时为简便起见，当长度方向远大于xc，近近似认为流动直接进入湍流边界层，不考虑层流和过渡似认为流动直接进入湍流边界层，不考虑层流和过渡区的影响区的影响。q 由实验表明其临界雷诺数为由实验表明其临界雷诺数为: 650103102Re uxc第五章 边界层流动 ghpv 如流体以均匀一致的流速流过封闭管道如流体以均匀一致的流速流过封闭管道时，将在管壁形成边界层，并逐渐加厚时，将在管壁形成边界层，

10、并逐渐加厚直至管中心交汇。直至管中心交汇。v 现以圆管内的管流为例，对进口段边界现以圆管内的管流为例，对进口段边界层的形成与发展过程做一讨论。层的形成与发展过程做一讨论。v 沿圆管流动的边界层发展沿圆管流动的边界层发展第五章 边界层流动 ghp交汇点交汇点进口段长度进口段长度 管进口段的边界层形成与发展管进口段的边界层形成与发展 第五章 边界层流动 ghp18当流体流经圆管时当流体流经圆管时：I从入口处建立起边界层，并由四壁同时向管中心发展，从入口处建立起边界层，并由四壁同时向管中心发展， 直至交汇于管中心，此时管内流体都处于边界层中。直至交汇于管中心，此时管内流体都处于边界层中。 交汇点离管

11、口距离交汇点离管口距离Le，称为进口段长度。称为进口段长度。 管内边界层沿程发展情况与沿平板发展管内边界层沿程发展情况与沿平板发展不同不同。下面根据交汇点前后的特点加以叙述下面根据交汇点前后的特点加以叙述II. 在交汇点之在交汇点之前前的边界层流动称为的边界层流动称为 二维运动二维运动 ),(zruuzz 流体在管中心加速流体在管中心加速 ),(zruurr )(z 边界层沿层增厚边界层沿层增厚 其特征其特征： 第五章 边界层流动 ghpIII在交汇点之在交汇点之后后的边界层流动的边界层流动， 称为称为。 其特征其特征： 一维运动一维运动： )(ruuzz 0 ru 边界层层厚不再沿程变化为边

12、界层层厚不再沿程变化为： 2d 速度分布不再变化速度分布不再变化 可能是可能是 抛物线分布抛物线分布 （层流层流），），可能是可能是 第五章 边界层流动郎格哈尔针对圆管导出郎格哈尔针对圆管导出 的表达式的表达式 ： 层流层流： ddLeRe0575. 0 湍流湍流： 4025 dLe式中式中： 第五章 边界层流动 ghp bddu Re第五章 边界层流动 ghp 下落时是什么形状？下落时是什么形状？ 中的中的“游泳健将游泳健将” ” 通常具有什么体型？鸟类呢？通常具有什么体型？鸟类呢？ 自由泳与蛙泳自由泳与蛙泳？ 后部是一扩大管，还是收缩管形状？后部是一扩大管，还是收缩管形状？ 吹过电线杆上电

13、线的风声为何会发生吹过电线杆上电线的风声为何会发生？ 流过桥墩的水流为什么会产生流过桥墩的水流为什么会产生？ 第五章 边界层流动 ghp24定性分析定性分析q 所谓边界层分离，顾名思义就是指原来紧贴所谓边界层分离，顾名思义就是指原来紧贴壁面运动的边界层流动在某些条件下，脱离壁壁面运动的边界层流动在某些条件下，脱离壁面而进入外部流场。面而进入外部流场。q分离出来的流体在物体后面形成尾涡区，从而分离出来的流体在物体后面形成尾涡区，从而产生很大的尾部阻力。产生很大的尾部阻力。q因此有必要研究边界层为什么会从物面分离，因此有必要研究边界层为什么会从物面分离，又应该如何防止或推迟分离又应该如何防止或推迟

14、分离。 q边界层分离边界层分离第五章 边界层流动 ghpl现以流体绕长圆柱流动为例，考察边界层分离现以流体绕长圆柱流动为例，考察边界层分离的大致过程，见图的大致过程，见图4-7。AEl在在 之前，如之前，如 A 点，由于流道截面减小流速加大，点，由于流道截面减小流速加大，压力变小，即：压力变小，即： （减压区），流体质点受力情况（减压区），流体质点受力情况如上图所示：如上图所示： 因为因为，所以此时所有的流体质点沿着流动方向，贴壁面所以此时所有的流体质点沿着流动方向，贴壁面向前运动向前运动。 Su p D D + + 220 xp第五章 边界层流动 ghp 之后，此时由于流道截面变大流速变小，

15、压力沿程之后，此时由于流道截面变大流速变小，压力沿程增加进入增压区，即：增加进入增压区，即： 流体质点的受力情况，如上图所示流体质点的受力情况，如上图所示。 0/ xp随着流道截面的增加，反向压差不断增大，最终使得质点随着流道截面的增加，反向压差不断增大，最终使得质点的动能消耗殆尽的动能消耗殆尽 ，转而向后运动转而向后运动。而后退的质点又被向前而后退的质点又被向前运动的流体顶住，最终被挤出边界层进入流体内部，形成运动的流体顶住，最终被挤出边界层进入流体内部，形成一脱体运动现象一脱体运动现象 ，见图，这一过程称为，见图，这一过程称为。 第五章 边界层流动沿物体表面沿物体表面切向速度切向速度和沿法

16、线和沿法线速度梯度速度梯度变化，见变化，见图图4-6所示所示。 在在E点处壁面速度为零，法线上的点处壁面速度为零，法线上的速度梯度小于零； 在在SD线上，质点的速度变为线上，质点的速度变为； 在在A点处，壁面切向速度为零，法线上的点处，壁面切向速度为零，法线上的速度梯度大于零速度梯度大于零； 在在DSE区域内，速度改变方向，在边界层内产生区域内，速度改变方向，在边界层内产生倒流倒流。 在在S点处壁面速度为零，位于曲面法线上的点处壁面速度为零，位于曲面法线上的速度梯度也为零速度梯度也为零； 0 xp 内部条件内部条件 00 yxyu（外部流体具有逆压性质外部流体具有逆压性质） 上述条件称为：边界

17、层分离发生的充分必要条件。上述条件称为：边界层分离发生的充分必要条件。 外部条件外部条件第五章 边界层流动 ghp30边界层分离后，由于物体后端出现具有旋涡运边界层分离后，由于物体后端出现具有旋涡运动的尾流或分离区。动的尾流或分离区。它的出现将大大增加流动阻力。它的出现将大大增加流动阻力。此时物面上的压力分布已不同于未分离时的压此时物面上的压力分布已不同于未分离时的压力分布，从而引起物体的压差阻力。力分布，从而引起物体的压差阻力。此压差阻力与物体形状关系很大，所以称为形此压差阻力与物体形状关系很大，所以称为形体阻力。体阻力。在流体分离的条件下，物体所受阻力主要是通在流体分离的条件下，物体所受阻

18、力主要是通过实验来确定的过实验来确定的。 第五章 边界层流动q从前，有个高尔夫球运动爱好者（同时也是高尔夫球从前，有个高尔夫球运动爱好者（同时也是高尔夫球制造商）为赢得对手，他经常想怎样才能使高尔夫球制造商）为赢得对手，他经常想怎样才能使高尔夫球打得又快又远又省力。打得又快又远又省力。q在一次偶尔的练习机会中，他发现在同样的一击中，在一次偶尔的练习机会中，他发现在同样的一击中，一个已经变得粗糙的高尔夫球比一个新的光滑球飞得一个已经变得粗糙的高尔夫球比一个新的光滑球飞得更远，反复的试验证实这并不是偶然现象。更远，反复的试验证实这并不是偶然现象。q在这一现象的启发下，他制造出一种带有窝纹的高尔在这

19、一现象的启发下，他制造出一种带有窝纹的高尔夫球夫球( (人造粗糙球人造粗糙球) )。这种窝纹球一经推出好评如潮，。这种窝纹球一经推出好评如潮，得到大批定单。得到大批定单。 q当时人们没能解释这一奇怪现象当时人们没能解释这一奇怪现象粗糙圆球的阻力粗糙圆球的阻力反而小于光滑球的阻力反而小于光滑球的阻力。 高尔夫球高尔夫球q随着边界层理论的出现，人们揭开了这随着边界层理论的出现，人们揭开了这个迷底。个迷底。q现借助于绕长圆柱绕流的实验结果说明现借助于绕长圆柱绕流的实验结果说明这一现象这一现象。 阻力系数对雷诺数变化的曲线阻力系数对雷诺数变化的曲线 球球：Re3105 图图5-7给出的是由实验得到的圆

20、球和圆柱给出的是由实验得到的圆球和圆柱 阻力系数对雷诺数变化的关系曲线阻力系数对雷诺数变化的关系曲线。阻力系数突然缩小阻力系数突然缩小柱柱 ：Re5105 第五章 边界层流动 ghp36q 由图可见由图可见:q 在在Re较小情况下，边界层呈层流状态，分离点发生在较小情况下，边界层呈层流状态，分离点发生在物体的最大截面处前，在物体后面形成较宽的分离区，物体的最大截面处前，在物体后面形成较宽的分离区，因此相应的压差阻力系数较大因此相应的压差阻力系数较大。q 当当Re增加到一定数值后，在流动分离之前的边界层就增加到一定数值后，在流动分离之前的边界层就可能由层流转变为湍流。可能由层流转变为湍流。q 而

21、湍流的强烈混合效应使得分离点后移。此时，虽然而湍流的强烈混合效应使得分离点后移。此时，虽然在未分离的区域中摩擦阻力有所增加，但物体后面的在未分离的区域中摩擦阻力有所增加，但物体后面的脱体区变窄，从而压差阻力大为下降脱体区变窄，从而压差阻力大为下降。q 这就是圆柱在这就是圆柱在Re5105处和圆球在处和圆球在Re3105处阻力处阻力系数突然下降的原因系数突然下降的原因。 q正是基于上述理由，人们可以在流动分离之前，正是基于上述理由，人们可以在流动分离之前，对流动加以某种干扰，使这种转化提前发生。对流动加以某种干扰，使这种转化提前发生。q例如在圆球前嵌以金属丝以干扰边界层的流动，例如在圆球前嵌以金

22、属丝以干扰边界层的流动，使得边界层从层流转变为湍流，致使阻力系数使得边界层从层流转变为湍流，致使阻力系数显著降低。显著降低。q因此就有了粗糙圆球的阻力反而小于光滑球的因此就有了粗糙圆球的阻力反而小于光滑球的结果结果。 q（1）当局部雷诺数当局部雷诺数Re较小较小，如如100时时，边界层理论不再适用边界层理论不再适用。q（2）一般说来边界层理论只适用分离点一般说来边界层理论只适用分离点以前。在分离点的下游，由于边界层厚以前。在分离点的下游，由于边界层厚度大幅度增加，边界层理论因而失效度大幅度增加，边界层理论因而失效。 第五章 边界层流动l1. 问题的提出问题的提出l2. 边界层方程的建立边界层方

23、程的建立l3. 方程的求解方程的求解l4. 求解结果分析求解结果分析v 无限空间中不可压缩、粘性的均匀流体，以速度无限空间中不可压缩、粘性的均匀流体，以速度 u0 沿板面方向流动，求平板上边界层内的二维沿板面方向流动，求平板上边界层内的二维 ux, uy 速度分布及平板面上的局部阻力系数。速度分布及平板面上的局部阻力系数。v 取直角坐标，使原点与平板前缘重合，取直角坐标，使原点与平板前缘重合，x 轴沿来流方轴沿来流方向，向，y 轴垂直于平板，如图所示。轴垂直于平板，如图所示。.EC).(.xSNzxzxyxxxuuuyuuxuutu + + + + + + 0 zu0 zu稳定稳定忽略重力忽略

24、重力 沿平板沿平板与与 z 无关无关0 + + + + zuyuxuzyx)(222222zuyuxuxpgxxxx + + + + + + 量级分析量级分析第五章 边界层流动 ghp420 + + yuxuyx.EC).(.xSNPrandtl 边界层方程边界层方程偏微分方程偏微分方程22yuvyuuxuuxxyxx + + 通过对方程的简化和量级分析，得到了通过对方程的简化和量级分析，得到了适用于边界层内的动量传递方程组适用于边界层内的动量传递方程组l引入新变量，无量纲化处理得引入新变量，无量纲化处理得： 02122 + + dudfdudxxvxuxy0 22yuvyuuxuuxxyxx

25、 + + 0uuuxx 写成准数方程写成准数方程第五章 边界层流动 ghpq布拉修斯于布拉修斯于19081908年用级数衔接法求出此问题的年用级数衔接法求出此问题的近似解。近似解。q下面给出解的结果：下面给出解的结果： + + 452105943. 416603. 0 fq为了应用方便，又将上式制成为了应用方便，又将上式制成 表表4-1 的形式的形式 第五章 边界层流动(4-24)0000.332060.20.006640.00410.331995.03.283290.991550.015917.86.079231.000000.00002 )( ff f vxuxy0 0uuufxx + +

26、 452105943. 416603. 0 f边界层厚度边界层厚度壁面速度变化率壁面速度变化率l应用边界层方程的精确解（如应用边界层方程的精确解（如上表），可进一步求出边界层上表），可进一步求出边界层内的内的等等。 fuux 0（4-26）)(210ffxvuuy 根据根据 表表4-1的数据，可画出如下图所示的速度分布曲线的数据，可画出如下图所示的速度分布曲线vxuxy0 0uuufxx 第五章 边界层流动 ghp48v 由图可见，由图可见， 是一条光滑曲线，在板面附近斜率是一条光滑曲线，在板面附近斜率很大，近于直线，而后趋于渐近线很大，近于直线，而后趋于渐近线1 1。v垂直速度垂直速度 从板

27、面上的从板面上的 0值很慢地上升，然后较快地增长，值很慢地上升，然后较快地增长，趋于渐近线。趋于渐近线。第五章 边界层流动 ghpb 由定义知由定义知： 99. 00 fuuxb 查表得：查表得： b 得到边界层厚度表达式：得到边界层厚度表达式： 00 . 5uvx （4-27）边界层厚度沿程变化边界层厚度沿程变化式中式中： y0 . 50 vxuy 1 板面板面局部摩擦阻力为局部摩擦阻力为 0 yxSxyu 定义定义fuux 0/vxuu00332. 0 查表查表5-15-1（4-29）2021uCsxfx 1 局部阻力系数局部阻力系数 （4-30）21Re664. 0 x 000fvxuu

28、 yf vxuxy0 30328. 1Lub 总阻力系数为总阻力系数为21Re328. 1 LxfC2 （4-33） LSfdxbF02 对长为对长为L，宽为，宽为b，当平板两侧都浸没在流体中，当平板两侧都浸没在流体中 平板所受的总摩擦力为平板所受的总摩擦力为 )2(2120bLuFCf ! 在层流范围内与实验结果符合良好。在层流范围内与实验结果符合良好。! 在板前缘处与实际情况不符。在板前缘处与实际情况不符。第五章 边界层流动 ghp54Z 由由N-S方程出发，通过简化、量级分析得到了方程出发，通过简化、量级分析得到了Prandtl边界层方程，边界层方程，Blasius在此基础上进一步求得了

29、分析解在此基础上进一步求得了分析解或称为或称为。Z 由于方程中仍保留有由于方程中仍保留有，若面对，若面对物物体绕流问题，求解就十分困难了。体绕流问题，求解就十分困难了。Z 因此工程上常采用因此工程上常采用方法，这种方法计算量要方法，这种方法计算量要小得多，相对也容易得多，其解的准确度也接近精确小得多，相对也容易得多，其解的准确度也接近精确解解。Z 下面只介绍由下面只介绍由于于19211921年首先提出，由年首先提出，由实现的实现的卡门方程的近似解卡门方程的近似解。Z 卡门避开卡门避开 N-S 方程，方程，直接直接对边界层进行对边界层进行动量衡动量衡，导出导出。l1.1.所论情况所论情况l2.

30、Karman 方程的建立方程的建立l3. 沿平壁层流边界层沿平壁层流边界层的近似解的近似解q 稳定流动稳定流动q 层流层流q 不可压缩流体不可压缩流体q 恒物性恒物性q 忽略重力（边界层较薄）忽略重力（边界层较薄）q 二维运动二维运动 ),(),(yxuuyxuuyyxx 第五章 边界层流动q如图所示，密度为如图所示，密度为 、粘度为粘度为 的流体流过平板壁面的流体流过平板壁面q令边界层厚度为令边界层厚度为 ，边界层外流体的流速为，边界层外流体的流速为u0。在距平在距平板壁面板壁面 y 处的流体沿处的流体沿 x 方向的流速为方向的流速为uxq今在沿平板壁面流动的流体中取一流体微元，这个微元今在

31、沿平板壁面流动的流体中取一流体微元，这个微元流体为由控制面流体为由控制面 A1 A2 A3 A4 组成的控制体组成的控制体 q长度取长度取 D Dx，高取高取 h，宽度取，宽度取 z 向为单位向为单位1 1，见图，见图 11100 + +hyhxxxxxxudyudyuD D D DA2 2 面流出面流出A1 1 面流入面流入xuyuxuA4 4 面流出面流出第五章 边界层流动 ghp60 xuudyuudyuuyxhxxxxhxxD D+ + D D+ + 00011A2 2流出动量流出动量 A4流出动量流出动量A3摩擦力摩擦力 A2 2压力压力 A1 1压力压力 (注意衡算的是注意衡算的是

32、 x 向动量) + + D D D D+ +hxxxhspdypdyx00111 A1 1流入动量流入动量l将质量衡算式代入动量衡算式消去将质量衡算式代入动量衡算式消去 A4 面的面的 uy 项项xuudyuudyuuyxhxxxxhxxD D+ + D D+ + 0001111100 + +hyhxxxxxxudyudyuD D D D + + D D D D+ +hxxxhspdypdyx00111 xyydxdyxxxxD D D D+ +D D0lim在两边除以在两边除以 D Dx ，并令并令 D Dx 0 0 得得： hSpdydxd0 xyydxdyxxxxD D D D+ +D

33、D0lim对于沿平板流动的边界层方程此项为对于沿平板流动的边界层方程此项为0 0 dyudxdudyudxdhxhx 0002 第五章 边界层流动Karman 边界层动量积分方程边界层动量积分方程 const 提出积分号，得：提出积分号，得：积分上限处理积分上限处理0uux + + hhfdxfdxfdx00 Shxxdyuuudxd 00)(Sxxdyuuudxd 00)(第五章 边界层流动 ghp 1）求解思路求解思路( Karman 边界层动量积分方程中包含有三个未知数：边界层动量积分方程中包含有三个未知数： ux ； ； s。( 其中其中(解解Karman方程时，先根据流型假定一个速度

34、分布，方程时，先根据流型假定一个速度分布， 假定的假定的 ux 分布分布形式越接近真实情况，其解越接近精确解。形式越接近真实情况，其解越接近精确解。Sxxdyuuudxd 00)(dyduxS ( 还剩还剩2个未知数，一个方程解个未知数，一个方程解2个未知数，需采用试差法。个未知数，需采用试差法。v式中：式中：a, b, c, d 为四个待定系数，可通过为四个待定系数，可通过 边界层内已知速度的关系来确定。边界层内已知速度的关系来确定。v即，可通过即，可通过来求取来求取4 4个待定系数。个待定系数。 + + + + + 32dycybyauxv首先求得方程解是玻尔毫森（首先求得方程解是玻尔毫森

35、（Pohlhausen）等）等人，他先设定速度分布为一多项式人，他先设定速度分布为一多项式： 第五章 边界层流动 ghp66确定待定系数确定待定系数0, 0, 0)1. auyCBx3002,)3. uduuyCBx （因为一阶导数为极值）（因为一阶导数为极值） 联立求解联立求解代入假定式，得到速度分布代入假定式，得到速度分布+ + + + + 32dycybyaux0, 0, 0)2.22 cyuyCBx23, 0,)4. dbyuyCBx 2）求解结果求解结果 速度分布速度分布302123 yyuux（4-46a）具体要得到速度分布，还需进一步得到边界层厚度的表达式。具体要得到速度分布，还需进一步得到边界层厚度的表达式。 边界层厚度边界层厚度 将将ux 代入方程代入方程的左、右两端的左、右两端064. 4uvx 21Re64. 4 xx 或或（4-51）Sxxdyuuudxd 00)(v右端积分也得到关于右端积分也得到关于 （x）函数函数v左端代入积分得到关于左端代入积分得到关于 （x）的）的函数函数v得到得到的表达式的表达式第五章 边界层流动局部阻力系