复变函数课件第3章基本定理的推广复合闭路定理

1、dc1c2c3cdc1c1daa bb ee ff 第三节 基本定理的推广复合闭路定理问题的提出问题的提出1复合闭路定理复合闭路定理2小结与思考小结与思考4典型例题典型例题3一、问题的提出 2.d11 , zzz计算计算实例实例 , 1 2 在内的闭曲线在内的闭曲线是包含是包含因为因为 zz根据本章第一节例根据本章第一节例4可知可知, 2.2d11 zizz由此希望将基本定理推广到多连域中由此希望将基本定理推广到多连域中.二、复合闭路定理1. 闭路变形原理闭路变形原理 , )( 在多连通域内解析在多连通域内解析设函数设函数zf ),( 1正向为逆时针方向正向为逆时针方向单闭曲线单闭曲线内的任意

2、两条简内的任意两条简为为及及dcc. 11ddcc全含于全含于为边界的区域为边界的区域及及dc1c1daa bb , bbaa 和和作两段不相交的弧段作两段不相交的弧段dc1c1daa bb ee ff , aebb e a a 显显然然曲曲线线 bfabfaa , , , , , e ef f为为了了讨讨论论方方便便 添添加加字字符符 . 均均为为封封闭闭曲曲线线 , d因因为为它它们们的的内内部部全全含含于于 ( )d0,aebb e a af zz 故故( )d0.aa f b bfaf zz ,aaaebbbaebaaebaeb ,bfabbbfaaabfabfaa aaebaebzz

3、fd)( 由由, 0d)( bfabfaazzf得得dc1c1daa bb ee ff czzfd)( 1d)(czzf aazzfd)( aazzfd)(, 0d)( bbzzf bbzzfd)(, 0d)(d)( 1 cczzfzzf即即.d)(d)( 1 cczzfzzf或或dc1c1daa bb ee ff , 1 成一条复合闭路成一条复合闭路看看及及闭曲线闭曲线如果我们把这两条简单如果我们把这两条简单cc : 的正方向为的正方向为 , c外外面面的的闭闭曲曲线线按按逆逆时时针针进进行行1 , c内内部部的的闭闭曲曲线线按按顺顺时时针针进进行行 ), , (的左手边的左手边内部总在内部

4、总在的的的正向进行时的正向进行时即沿即沿 . 0)( dzzf那末那末 解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值域内作连续变形而改变它的值. .闭路变形原理闭路变形原理说明说明: : 在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z) 的不解析的点的不解析的点. .2. 复合闭路定理复合闭路定理1212 , , , , , , , , , , , nncdccccc cccd设设为为 多多连连通通域域内内的的一一条条简简单单闭闭曲曲线线是是在在内内部部的的简简单单闭闭曲曲线线 它它们们互互不不包包含含也也互互不不相相交交

5、 并并且且以以为为边边界界的的区区域域全全含含于于 ( ) , f zd如如果果在在内内解解析析dc1c2c3c那末那末,d)(d)()1(1 nkcckzzfzzf ; kcc其其中中及及均均取取正正方方向向dc1c2c3c. 0d)()2( zzf1212 , , , , (: , , , , ).nnc ccccccc 这这里里为为由由组组成成的的复复合合闭闭路路其其方方向向是是按按逆逆时时针针进进行行按按顺顺时时针针进进行行 . 1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 zzzzz三、典型例题例例1 1解解, 1 0 12 2

6、 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1 也包含这两个奇点，也包含这两个奇点， 12 ,cc 在在内内作作两两个个互互不不包包含含也也互互不不相相交交的的正正向向圆圆周周和和xyo 1 , 0 1 zc 只包含奇点只包含奇点2 1, cz 只只包包含含奇奇点点1c2c根据复合闭路定理根据复合闭路定理, , zzzzd122 21d12d1222cczzzzzzzz 2211d1d11d1d11cccczzzzzzzz0220 ii.4 i d , 2 1 . zezzzz 计计算算积积分分为为正正向向圆圆周周和和负负向向圆圆周周所所

7、组组成成例例2 2 xyo121c2c解解12 , cc和和围围成成一一个个圆圆环环域域 ,zez函函数数在在此此圆圆环环域域和和其其边边界界上上处处处处解解析析圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路, ,根据闭路复合定理根据闭路复合定理, ,. 0d zzez11 d , () .nzazan 求求为为含含的的任任一一简简单单闭闭路路，为为整整数数例例3 3解解 , 内部内部在曲线在曲线因为因为 a a , 故故可可取取很很小小的的正正数数1 : , za 使使含含在在内内部部1 111 (),nza 在在以以为为边边界界的的复复连连通通域域内内处处处处解解析析由复合闭路定

8、理由复合闭路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此结论非常重要此结论非常重要, 用起来很方用起来很方便便, 因为因为不必是圆不必是圆, a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心, 只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线内即可内即可.例例4 40011 d , 2(), .nzzizzn 求求为为含含的的任任意意正正向向闭闭曲曲线线为为自自然然数数解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn0 , az 此此处处不不妨妨设设01,111 d2()0,1.nnzizzn 则则有有四、小结与思考 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它掌握并能灵活应用它是本章的难点是本章的难点.常用结论常用结论: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn思考题思考题 复合闭路定理在积分计算中有什么用复合闭路定理在积