



下载本文档
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、角形中的最值问题-作者 : _-日期 : _第 42 课 三角形中的最值问题考点提要1掌握三角形的概念与基本性质2能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数,解决三角形中的最值问题基础自测1( 1) ABC 中, cosA33sinA ,则 A 的值为 30 或 90;(2) ABC 中,当 A=时, cos A2cos B C 取得最大值33222在 ABC 中, sin A: sin B : sin Cm : (m1) : 2m ,则 m 的取值范围是m1 2解 由 sin A : sin B : sin Ca : b : cm : (m1) : 2m ,令 amk ,b(m1) k, c2mk
2、 ,由 abc, acb ,得 m1 23锐角三角形 ABC 中,若 A=2B ,则 B 的取值范围是30oB45o4设 R, r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径,则r 的最大值R为215在 ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长分别是a,b, c ,若 b23ac ,则 B 的取值范围是0 B 1206在 ABC 中,若 AB ,则下列不等式中,正确的为 sin A sin B ; cos A sin 2B ; cos2A Ba b2Rsin A 2Rsin Bsin A sin B ,故 正确;2cos A cosBsin(A) B ,故 正确(或由余22弦函数在 (0,)
3、上的单调性知 正确);由 cos2 A cos2B12sin 2 A sin BAB ,故正确知识梳理1直角 ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长分别是a, b,c ,C=90,若内切圆的半径为 r ,则 ra bc 22在三角形中,勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础,起到工具性的作用它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用例题解析例 1 已知直角三角形的周长为1,求其面积的最大值3点评例 2 已知 ABC 中, a1,b2 ( 1)求最小内角的最大值; (2)若 ABC 是锐角三角形,求第三边 c 的取值范围12c,解 (1)由三
4、角形三边关系得第三边c 满足 2c1,解得 1c3 ,故最小1c2,内角为 A又 cosAb2c2a2c23 1( c3) 12 c33 (当且仅2bc4c4c4c2当 c3 时等号成立),所以 A 30,即最小内角的最大值为30(2)因为 ABC 是锐角三角形,即 A ,B,C 三个角均为锐角,又因为a b,所以A B,故只需说明 B ,C 为锐角即可40 cosB1,01c241,即2c解得由 B,C 为锐角得20 cosC1,14c01,43 c5 点评 在锐角三角形中研究问题的时候,一定要注意其三个角都为锐角这个条件另外要注意变形的等价性,如“内角A 为锐角0 cos A1”例 3 (
5、2008 江苏)求满足条件 AB2, AC2BC 的 ABC 的面积的最大值解 设 BC x ,则 AC 2x 根据面积公式得 S ABC = 1 ABBC sin Bx1cos2 B ,2根据余弦定理得 cos BAB2BC 2AC24x22x24x2,2AB BC4x4x代入上式得 S ABC = x 1(4x2) 2128( x212)2,4x16由三角形三边关系有2xx2,解得 222x222 ,22x,x故当 x212, x 2 3 时 S ABC 取最大值12822 16点评例 4 如图,已知 A=30, P, Q 分别在 A 的两边上, PQ=2当 P,Q 处于什么位置时, AP
6、Q 的面积最大?并求出 APQ 的最大面积5点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法,本题解法一运用了余弦定理和基本不等式,解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数uuuruuuruuur例 5 已知 ABC 的周长为 6, | BC |,| CA |,| AB |成等比数列,求:( 1) ABC 的面积 S 的最大值;(2) BA BC 的取值范围uuuruuur uuur解 设 | BC |,| CA |,| AB |依次为 a,b,c,则 a+b+c=6,b 2 =ac由 bac a c6b 得 0 b 2 (当且仅当 a=c 时,等号成立),22又由余弦定理得 cos Ba2
7、c2b2a2c2ac 2ac ac1 (当且2ac2ac2ac2仅当 a=c 时,等号成立),故有0B ,1 ac sin B1 b2 sin B 13(1) S22sin3,即S3 (当且仅2223max当 a=b= c 时,等号成立);(2) BA BCac cos Ba 2c 2b 2(a c)22ac b222(6b)23b2(b3) 227 2Q 0 b 2,uuuruuur182 BA BC6点评 本题运用均值定理进行放缩,再运用不等式的性质求解(1)为不等式问题,( 2)为函数问题方法总结1三角形中角的最值(范围)问题,一般运用余弦定理,通过求该角余弦的范围,根据余弦函数的单调性
8、处理要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件,尤其要注意锐角三角形的角的关系2三角形中边的最值(范围)问题,主要由有三角形三边关系决定3三角形中面积的最值(范围)问题,可以角为自变量,也可以边为自变量建立目标函数,要注意自变量的范围练习 42 三角形的最值问题班级姓名学号1若直角三角形斜边的长m(定值),则它的周长的最大值是( 2 +1) m2在锐角 ABC 中,若 C2B ,则 AB 的取值范围是 (2 ,3 ) AC解ABsin Csin 2B2 cosB ,而B, 2AB3 ACsin Bsin BAC643在 ABC 中,若 b 2 ,a1 ,则 A 的取值范围是 0oB45o 4若
9、2、3、x 分别是锐角三角形的三边长,则x 的取值范围是(5,13)5若三角形两边之和为16 cm,其夹角为 60o,则该三角形面积的最大值是 163 ,周长的最小值是246已知 ABC 中, A = 60 , BC = 4,则 AB + AC 的最大值为_8 3 _77钝角三角形的三边为a,a1, a2 ,其中最大角不超过120,则 a 的取值范围是3 a 3 2解 由题意钝角三角形中, a 2 为最大边且最大角不超过 120,因此得a (a1)a 2 , a 2(a1) 2(a2) 2,cosAa2( a 1 )2( a2 )21,2a( a1)2由得 a1,得1a3,得 a 1或 a 3
10、,故 322a38已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若 S AOB =9,SCOD=16,则四边形面积的最小值是4989( 2006 全国)用长度分别为2、3、4、5、6(单位: cm)的 5 根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为6 10cm2解 由题意可围成以下几种三角形图( 1)中, cos1 ,sin15,S4 15;44图( 2)中, AD2 10 ,sin2 10,S610 ;7图( 3)中, cos1 ,sin3 , S103比较22上述几种情况可知,能够得到三角形的最大面积为6 10 cm2点评 当周长一定时,
11、三边越是接近,其面积越大这是等周问题中的一个基本结论可见,面积最大的三角形应该这样构成:2+5,3+4,610在 ABC 中,已知 acos2 Cccos2 A3 b 222(1)求证: a、b、c 成等差数列;(2)求角 B 的取值范围解911如图,正方形 ABCD 的边长为 a,E、 F 分别是边 BC、CD 上的动点,EAF=30,求AEF 面积的最小值解 设 AEF 的面积为 S, BAE=(15o45o),则由 EAF=30得 DAF= 60o正方形 ABCD 的边长为 a,在 Rt BAE 中, AEABa;coscos在 Rt DAF 中,AFADa,cos(60o) cos(6
12、0o) S1AE AFsinEAF21aasin30oa22 coscos(60 o4coscos(60o)a2a24cos(1 cos3 sin )2cos22 3sincos2210a2a2cos23sin212( 1 cos23 sin2)122a2a2cos23sin212( 1 cos23 sin2)1222sin(2a2a230o) 1a230o)12sin(2 30 o312( 2008 四川延考)在 ABC 中,内角 A ,B,C 对边的边长分别是a, b,c ,已知 a2c22b2 (1)若 B,且 A 为钝角,求内角 A 与 C 的大小;4(2)若 b2 ,求 ABC 面积
13、的最大值解 ( 1)由题设及正弦定理,有sin 2 Asin 2 C2sin 2 B1故 sin 2 Ccos2 A 因 A 为钝角,所以 sin Ccos A 由 cosAcos(C) ,可得 sin Csin(C ) ,C=,448A=5 8(2)由余弦定理及条件 b21 (a2c2 ) ,有 cos Ba2c2,故24accosB 1 21ac sin B ,又 ac 1由于 ABC 面积(a2c2 )4 , sin B 223 ,2当 ac 时,两个不等式中等号同时成立,所以ABC 面积的最大值为 1433 2211备用题1直角 ABC 的斜边 AB=2 ,内切圆的半径为r,则 r 的最大值为21 22232在 ABC 中,已知 sin A + sin B = 5sin C,求证: sinC 解 等式 sin2A + sin 2B = 5sin2C 立即联想正弦定理,有a2+b2=5c2而 a2 +b2=5c2 与余弦定理连起来也无可非议 c2= a2+b22abcosC, 5c2
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 民宿旅游场地租赁与运营管理合同
- 矿产资源市场调研与开发利用合同
- 车辆牌照租赁与车辆租赁业务联合合同
- 成都市二手房买卖合同贷款及还款计划协议
- 水上运动场地及设备租赁合同范本
- 厂房抵押贷款与金融风险管理咨询合同范本
- 特色餐厅租赁合同范本包含装修与维护责任
- 食品安全达标餐饮店铺租赁权及经营管理权转让合同
- 基础设施建设场地调研合作协议
- 矿产资源开采权出让及地质灾害防治责任合同
- 《城市道路与交通》课件
- 高处作业吊篮危险源辨识及风险评价表
- 反对本本主义的背景内容及其意义课件
- 火电厂危险化学品安全管理课件
- 《中国近现代史纲要(2023版)》课后习题答案合集汇编
- 常用应用文写作格式
- (国卫版)老年人能力评估
- 国开2023秋《人文英语3》第1-4单元作文练习参考答案
- (完整版)雨水收集系统施工方案
- 电磁场与电磁波智慧树知到课后章节答案2023年下同济大学
- 中国女性生理健康白皮书
评论
0/150
提交评论