角形中的最值问题

1、角形中的最值问题-作者 : _-日期 : _第 42 课 三角形中的最值问题考点提要1掌握三角形的概念与基本性质2能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题基础自测1（ 1） ABC 中， cosA33sinA ，则 A 的值为 30 或 90；（2） ABC 中，当 A=时， cos A2cos B C 取得最大值33222在 ABC 中， sin A: sin B : sin Cm : (m1) : 2m ，则 m 的取值范围是m1 2解 由 sin A : sin B : sin Ca : b : cm : (m1) : 2m ，令 amk ,b(m1) k, c2mk

2、 ，由 abc, acb ，得 m1 23锐角三角形 ABC 中，若 A=2B ，则 B 的取值范围是30oB45o4设 R， r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则r 的最大值R为215在 ABC 中，内角 A，B，C 所对边的边长分别是a,b, c ，若 b23ac ，则 B 的取值范围是0 B 1206在 ABC 中，若 AB ，则下列不等式中，正确的为 sin A sin B ； cos A sin 2B ； cos2A Ba b2Rsin A 2Rsin Bsin A sin B ，故 正确；2cos A cosBsin(A) B ，故 正确（或由余22弦函数在 (0,)

3、上的单调性知 正确）；由 cos2 A cos2B12sin 2 A sin BAB ，故正确知识梳理1直角 ABC 中，内角 A，B，C 所对边的边长分别是a, b,c ，C=90，若内切圆的半径为 r ，则 ra bc 22在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用例题解析例 1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值3点评例 2 已知 ABC 中， a1,b2 （ 1）求最小内角的最大值； （2）若 ABC 是锐角三角形，求第三边 c 的取值范围12c,解 （1）由三

4、角形三边关系得第三边c 满足 2c1,解得 1c3 ，故最小1c2,内角为 A又 cosAb2c2a2c23 1( c3) 12 c33 （当且仅2bc4c4c4c2当 c3 时等号成立），所以 A 30，即最小内角的最大值为30（2）因为 ABC 是锐角三角形，即 A ，B，C 三个角均为锐角，又因为a b，所以A B，故只需说明 B ，C 为锐角即可40 cosB1,01c241,即2c解得由 B，C 为锐角得20 cosC1,14c01,43 c5 点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件另外要注意变形的等价性，如“内角A 为锐角0 cos A1”例 3 （

5、2008 江苏）求满足条件 AB2, AC2BC 的 ABC 的面积的最大值解 设 BC x ，则 AC 2x 根据面积公式得 S ABC = 1 ABBC sin Bx1cos2 B ，2根据余弦定理得 cos BAB2BC 2AC24x22x24x2，2AB BC4x4x代入上式得 S ABC = x 1(4x2) 2128( x212)2，4x16由三角形三边关系有2xx2,解得 222x222 ，22x,x故当 x212, x 2 3 时 S ABC 取最大值12822 16点评例 4 如图，已知 A=30， P， Q 分别在 A 的两边上， PQ=2当 P，Q 处于什么位置时， AP

6、Q 的面积最大？并求出 APQ 的最大面积5点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数uuuruuuruuur例 5 已知 ABC 的周长为 6， | BC |,| CA |,| AB |成等比数列，求：（ 1） ABC 的面积 S 的最大值；（2） BA BC 的取值范围uuuruuur uuur解 设 | BC |,| CA |,| AB |依次为 a，b，c，则 a+b+c=6，b 2 =ac由 bac a c6b 得 0 b 2 （当且仅当 a=c 时，等号成立），22又由余弦定理得 cos Ba2

7、c2b2a2c2ac 2ac ac1 （当且2ac2ac2ac2仅当 a=c 时，等号成立），故有0B ，1 ac sin B1 b2 sin B 13（1） S22sin3，即S3 （当且仅2223max当 a=b= c 时，等号成立）；（2） BA BCac cos Ba 2c 2b 2(a c)22ac b222(6b)23b2(b3) 227 2Q 0 b 2,uuuruuur182 BA BC6点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解（1）为不等式问题，（ 2）为函数问题方法总结1三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据余弦函数的单调性

8、处理要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系2三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定3三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的范围练习 42 三角形的最值问题班级姓名学号1若直角三角形斜边的长m（定值），则它的周长的最大值是( 2 +1) m2在锐角 ABC 中，若 C2B ，则 AB 的取值范围是 （2 ，3 ） AC解ABsin Csin 2B2 cosB ，而B， 2AB3 ACsin Bsin BAC643在 ABC 中，若 b 2 ,a1 ，则 A 的取值范围是 0oB45o 4若

9、2、3、x 分别是锐角三角形的三边长，则x 的取值范围是(5,13)5若三角形两边之和为16 cm，其夹角为 60o，则该三角形面积的最大值是 163 ，周长的最小值是246已知 ABC 中， A = 60 ， BC = 4，则 AB + AC 的最大值为_8 3 _77钝角三角形的三边为a,a1, a2 ，其中最大角不超过120，则 a 的取值范围是3 a 3 2解 由题意钝角三角形中， a 2 为最大边且最大角不超过 120，因此得a (a1)a 2 ， a 2(a1) 2(a2) 2，cosAa2( a 1 )2( a2 )21，2a( a1)2由得 a1，得1a3，得 a 1或 a 3

10、，故 322a38已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 S AOB =9，SCOD=16，则四边形面积的最小值是4989（ 2006 全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位： cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为6 10cm2解 由题意可围成以下几种三角形图（ 1）中， cos1 ,sin15，S4 15；44图（ 2）中， AD2 10 ,sin2 10，S610 ；7图（ 3）中， cos1 ,sin3 ， S103比较22上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为6 10 cm2点评 当周长一定时，

11、三边越是接近，其面积越大这是等周问题中的一个基本结论可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，610在 ABC 中，已知 acos2 Cccos2 A3 b 222（1）求证： a、b、c 成等差数列；（2）求角 B 的取值范围解911如图，正方形 ABCD 的边长为 a，E、 F 分别是边 BC、CD 上的动点，EAF=30，求AEF 面积的最小值解 设 AEF 的面积为 S， BAE=（15o45o），则由 EAF=30得 DAF= 60o正方形 ABCD 的边长为 a，在 Rt BAE 中， AEABa；coscos在 Rt DAF 中，AFADa，cos(60o) cos(6

12、0o) S1AE AFsinEAF21aasin30oa22 coscos(60 o4coscos(60o)a2a24cos(1 cos3 sin )2cos22 3sincos2210a2a2cos23sin212( 1 cos23 sin2)122a2a2cos23sin212( 1 cos23 sin2)1222sin(2a2a230o) 1a230o)12sin(2 30 o312（ 2008 四川延考）在 ABC 中，内角 A ，B，C 对边的边长分别是a, b,c ，已知 a2c22b2 （1）若 B，且 A 为钝角，求内角 A 与 C 的大小；4（2）若 b2 ，求 ABC 面积

13、的最大值解 （ 1）由题设及正弦定理，有sin 2 Asin 2 C2sin 2 B1故 sin 2 Ccos2 A 因 A 为钝角，所以 sin Ccos A 由 cosAcos(C) ，可得 sin Csin(C ) ，C=，448A=5 8（2）由余弦定理及条件 b21 (a2c2 ) ，有 cos Ba2c2，故24accosB 1 21ac sin B ，又 ac 1由于 ABC 面积(a2c2 )4 ， sin B 223 ，2当 ac 时，两个不等式中等号同时成立，所以ABC 面积的最大值为 1433 2211备用题1直角 ABC 的斜边 AB=2 ，内切圆的半径为r，则 r 的最大值为21 22232在 ABC 中，已知 sin A + sin B = 5sin C，求证： sinC 解 等式 sin2A + sin 2B = 5sin2C 立即联想正弦定理，有a2+b2=5c2而 a2 +b2=5c2 与余弦定理连起来也无可非议 c2= a2+b22abcosC， 5c2