考研数一真题及解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .（1）已知极限 limxarctanxc ，其中 c, k 为常数，且 c0，则（）xkx 011（A） k2, c（ B） k2,c22C）k3,c1（ ）k3,c13D3（2）曲面 x2cos( xy)yzx0 在点 (0,1,1) 处的切平面方程为（）（A） x y z2（B） x y z 2（C） x 2 y z3（D） x y z 0（3）设 f (x)1 ， bn1b n sin n x

2、 ，则 S(9 )x2f ( x)sin nxdx( n1,2,.) ，令 S(x)20n 14（）（B） 1（C） 1（A） 3（ ）3444D4（4）设 l1 : x2y21,l2 : x2y 22, l3 : x22 y22, l 4 : 2 x2y 22, 为四条逆时针的平面曲线，记 I i( yy3)dx(2 xx3)dy(i1,2,3,4)，则= ()li63（A）I 1（ ）（ ）I3（ ）I 3BI 2CD（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 ABC,则B可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵（D）矩阵

3、 C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价A 的列向量组等价B 的行向量组等价B 的列向量组等价1a1200（6）矩阵 aba与 0b0相似的充分必要条件为1a1000（A） a 0,b2（B） a0, b为任意常数（C） a2, b0（D） a2, b为任意常数（7）设X1， X 2， X 3 是随机变量，且X1 N(0,1) ， X2 N( 0,2 2）， X3 N (5,3 2 ) ,Pj P2X j2( j 1,2,3), 则（）（A）P1P2P3（ ）P1P3B P2（C）P3P1P2（ ）P3P2D P1（8）设随机变量给定a( 0 a常 数 c 满 足P Xc a, 则X t (

4、n) ,Y F (1,n )0. 5),PY c2 （）（A）（B） 1（C） 2（D）1 2二、填空题： 9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上 .(9) 设函数 f (x) 由方程 y xex(1y) 确定，则 lim n( f (1)1)nn(10) 已知 y1 e3 xxe2x ， y2exxe2 x ， y3xe2 x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3个解，该方程的通解为 y(11) 设 x sint y t sin t(12)ln xdx1(1x)2（ t 为参数），则 d 2 ycostdx2t4（ 13 ）设 A(a ij ) 是三阶非

5、零矩阵，| A | 为A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式，若aijAij0(i, j1,2,3), 则 A_（ 14 ） 设 随 机 变 量Y 服 从 参 数 为1的 指 数 分 布 , a 为 常 数 且 大 于 零 ， 则P Ya 1 | Ya _。三、解答题：1523 小题，共 94 分 . 请将解答写在答题纸 指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（15）（本题满分 10 分）1f ( x)x ln( t1)计算dx, 其中 f ( x)1dt0xt（16）（本题满分 10 分）设数列 a 满足条件：a03, a11,an 2 n( n 1)an0(n

6、 2),S(x) 是幂级数n的和函数，nan xn 0（I ）证明： S ( x)S(x)0 ,（II ）求 S( x) 的表达式 .（17）（本题满分 10 分）求函数 f ( x, y)( yx3)ex y 的极值 .3（18）（本题满分 10 分）设奇函数 f ( x)在 -1,1上具有 2 阶导数，且 f (1)1, 证明：（I ）存在(0,1), 使得 f ()1（II ）存在1,1 ，使得f( ) f ( ) 1（19）（本题满分 10 分）设直线 L 过 A(1,0,0), B(0,1,1) 两点，将 L 绕 Z 轴旋转一周得到曲面, 与平面 z 0, z2所围成的立体为，（ I

7、 ）求曲面 的方程（ II ） 求 的形心坐标 .（ 20）（本题满分 11 分）设 A1a , B01 ，当 a, b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC CAB ，并求所有矩阵 C 。101b（21）（本题满分11 分）a1b1设二次型 f x1, x2 , x32 a1x1 a2 x222a2 ,b2 。a3 x3b1 x1 b2 x2 b3 x3 ，记a3b3（I ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2TT；（II）若 , 正交且均为单位向量， 证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型2 y12y22 。（22）（本题满分11 分）设随机变量的概率密度为f ( x)（I ）求 Y 的分

8、布函数（II ）求概率 P X Y （23）（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为fx1x20 x 3 ，令随机变量 Y2x14x1x 2 ,0其他1x22x3e x ,x 0,其中为未知参数且大于零，X1, X2， XN 为0,其它 .来自总体 X 的简单随机样本 .（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量 .2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .（1）【答案】 Dxarctanx【解析】 limxkx 0（2）【答

9、案】 A【解析】设 F (x, y, z)x2x (x 1 x3o( x3 )1 x31lim3lim 3c, k 3,cx 0xkx 0 xk3cos( xy)yzx ，则 Fx (x, y, z)2xysin( xy)1 Fx (0,1,1)1；Fy (x, y, z)xsin( xy )zFy (0,1, 1)1 ；Fz ( x, y, z)yFz (0,1,1)1，所以该曲面在点 (0,1, 1) 处的切平面方程为 x( y 1) (z 1) 0 ，化简得 xyz2，选 A（3）【答案】 Cx1 ,0x1【解析】根据题意，将函数在 1,1上奇延拓 f ( x)2，它的傅里叶级数1 ,x

10、1x02为 S( x) 它是以2为周期的，则当x( 1,1)且 f ( x) 在 x 处连续时，S( x) f (x) ，因此991)111S() S(2) S(S ( )f ( )444444（4）【答案】 D【解析】 I i( yy3)dx(2 xx3)dy(i1,2,3,4)li63利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域D1, D4 上函数为正值，则区域大，积分大，所以 I 4I1 ，在 D4 之外函数值为负，因此 I 4I2,I4I3 ，故选 D。（5 【答案】（B）【解析】由 CAB 可知 C的列向量组可以由 A的列向量组线性表示，又 B可逆，故有 A CB 1

11、，从而 A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示， 故根据向量组等价的定义可知正确选项为（ B）。（6）【答案】 (B)1a11a1200【解析】由于 aba 为实对称矩阵，故一定可以相似对角化， 从而aba 与0b01a11a10001a1相似的充分必要条件为 aba 的特征值为 2,b,0 。1a11a1又E Aaba(b)(2)2a2 ，从而 a0,b为任意常数 。1a1（7）【答案】（A）【解析】由 X1N0,1 , X2N0,2 2, X 3N5,32知，p1P2X12 PX12221，p2P2X22 PX22 2 1 1，故 p1p2 .由根据 X3N 5,32及概率密度的对

12、称性知， p1p2p3 ，故选（ A）（8）【答案】（C）【解析】由X t (n), Y得，FYn X 2，故P2c2P2X 或c 2PXcXcaY9. 【答案】 1【解析】 lim n( f ( 1 )1)limf ( x) 1f (0)nnx 0x由 yx ex(1 y ) ，当 x0 时， y 1方程两边取对数 ln( yx)x(1y)两边同时对 x 求导，得11(1y)xyyy x将 x 0 ， y 1代入上式，得 f (0) 1(10) 【答案】 y C1e3x C2ex xe2x【解析】因y1e3xxe2 x， y2exxe2 x 是非齐次线性线性微分方程的解，则 y1y2e3xe

13、x是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为y pC1e3xC2ex ，因此该方程的通解可写为yC1e3xC2exxe2x(11) 【答案】 2【解析】 dysin t t cost sin tt cost , dxcost ，dyt costt ，dtdtdxcostd( dy)21 ，所以d 2 ydx1，所以 dy2t2dtdx2costdx4(12) 【答案】 ln 2【解析】ln xdxln xd (1ln x11 (1 x)2)1dx11x1 x1 x(1 x)（13）【答案】1【解析】（14）【答案】 2e2【解析】由 XN 0,1 及随机变量函数的期望

14、公式知E Xe2 Xxe2 x1ex211x 2 242e2 .2 dxxe 2dx22x ln(t1)（15）【解析】1 f (x)dx10tdtdx111 ln(t 1)000dxxdtxxxt（16）【解析】（I ）设 S( x)an xn ， S ( x)an nxn 1 ， S ( x)an n( n 1)xn 2 ，n 0n 1n 2因为 an 2n(n1)an0 ，因此 S (x)an n(n1)xn2an 2 xn 2an xnS( x) ；n 2n 2n 0（II ）方程 S (x) S( x)0 的特征方程为210 ，解得 11,11，所以 S(x)c1e xc2ex ，又

15、 a0 S(0)3c1c23， a1 S (0)1c1c21，解得 c12, c21，所以 S( x)2e xex 。17f x 2 x yx3x y2+y+x3x y0x e( y) e(x)e【解析】33x3x3f y x yx yx y0e( y)e(1+y+)e33解得 (1,4 ),( 1,2) ，33111对于 (1,4) 点， A 3e 3 , Be 3 , Ce 3 ,ACB20, A0,31(1, 4) 为极小值点，极小值为 e 332)， A555B2对于( 1,e 3 , Be 3 ,Ce 3 , =AC0,不是极值 .3（18）【解析】（1）令 F (x)f ( x)x

16、, F (0)f (0)0, F (1)f (1) 1 0,则0,1 使得 F ( ) 0,即f ( ) 1（2）令 G (x)ex ( f ( x) 1), 则 G ( ) 0,又由于 f ( x) 为奇函数，故 f ( x) 为偶函数，可知 G ()0,则,1,1使G( ) 0,即 e f ( )1e f () 0，即 f ( ) f ( )1（19）【解析】（1） l 过 A, B 两点，所以其直线方程为：x1y 0z0x1 z111yz所以其绕着 z 轴旋转一周的曲面方程为：zdxdydz2z(1z)2z2dz07 ，所以形心坐标为（2）由形心坐标计算公式可得 z2z) 2z2dzdx

17、dydz(1507(0,0,)（20）【解析】由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设 Cx1x2，则由 AC CAB 可得线性方x3x4程组：x2ax30ax1x2ax41x1x3x41（1）x2ax3b由于方程组（ 1）有解，故有 1 a 0, b 1 a0，即 a1,b 0, 从而有01a0 0101 11x1 k1k21a10a101100，故有x2k1, 其中 k1、k2任意 .101 1 100000x3k101a 0 b00000x4k2从而有 Ck1k21k1k1k2（21）【解析】 (1)2a12b122a1a2b1b22a1a3b1b3a12a1a2a1 a3b12b1b2b1b3则 f 的矩阵为2a1a2b1b22a22b222a2a3b2b32 a1a2a22a2 a3b1b2b22b2 b32a1a3b1b32a2 a3b2b32a32b32a1a3a2a3a32b1b3b2b3b322TT（2）令A=2TT,则A2TT2,A2TT，则 1,2 均为 A的特征值，又由于()r(2TT )r(T )r(T )2，故 0 为 A 的特征值，则三阶rA矩阵 A 的特征值为 2,1,0，故 f 在正交变换下的标准形为 2y12y22（22）【解析】（1） FYyP Yy由 Y 的概率分布知，当 y1时， FYy0 ；当 y2时， FYy1 ；当 1y2