对数相关公式

1、对数相关知识概述：对数是高中代数中一块重要内容，主要考察对数函数以及与对数相关的 运算等(包括各种公式)，在此总结如下：定义：对数源出于指数a* = N 二 x =loga N， a 0且a=1， N 0常用对数：lgN=log1()N ;自然对数：In N=logeN，e =2.718281828459一.代数基本关系式.(基础)把指数式代入对数式消去N，得到* (F1) log a ax， a 0 且 a=1， x R以a为底作指数运算小乂 以a为底做对数运算x 、，说明:xalog a a x特别地，对应x=0和x=1的情况，有* (F1.1 ) loga1 =0， a 0且a=1(F1

2、.2) logaa J a 0且a = 1把对数式代入指数式消去x，得到(F2)真数还原：aloga N 二 N，a 0 且 a = 1， N 0说明：N以a为底做对数运算 loga N沖底做指数运算 alogaN应用举例:1例 1:求值(E1) log32-256;(E2) 27log32 ; (E3) 27log92。1解：(E1) log32log252562* =log25 2 5(E2) 27叫2 =(33 汽23= 33log32 二 3log32=283327 =33 二 32 2 = 9，所以(E3)为了底数变为相同，先分析 27与9的关系,注：需要使用的指数恒等式：srar二

3、ars =asr= as ， a_0。做这一类题的关键3= 22.2/ 3 og929227也23二 9log92 2在于关注底数是否相同，底数不同的想办法化成同底数，然后应用公式。自己动手:(Q1) log7 49 ; (Q2) log 1 8 ; (Q3) log 1 243 ; (Q4) 2也5 ； (Q5) 32log3“227(F3) m logaN = NlogaM，a 0 且 a=1，M , N 0证明：因为 aaMbgaN 二 aMaN Ma同理 agaNlogaM _(alogaN上面两式的左边底数相同,log指数的相等由乘法交换律保证着，所以MlogaN =NlogaM 。

4、应用举例：例 1: (E2) 27log32 ; (E3) 27log92解：用(F3)重新做：2 F3(E2) 27log32 =2log327 = 23 = 8 ; (E3) 27叫2 = 2呱27 = 2叫)=2忑=2应。注：(F3)可以方便计算这一类题，在做选择填空上可以快一点点。Fa 1 -log 5 7自己动手:(Q6)箱二.积的对数、商的对数、;(Q7) 8log3227。幕的对数。(重点)* (F4) loga MN -logaMlog a N , a0且 a = 1， M , N 0证法一：令M = a，N = an，那么 m = log a M ， n = log a N，

5、所以loga MN = loga am an = loga am n = m n = loga M loga N 。证法二：loga MN = loga alogaM alogaN = loga alogaM logaN = loga M loga N。证法一首先引入了辅助的m,n，最后求得结果后换回M,N。证法二是不引入辅助量而是利用了(卩2)和(F1)。两种方法基本步骤一样，没有本质区别。(F4.1)扩展到多个数的积的情况：a 0且a胡，2小2,山，山 0loga N1NJ|Nk JogaN logaU 川 g N* (F5) loga M = loga M -loga N , a 0且

6、a =1， M , N 0N* (F6) log a M n 二 n loga M，a 0且 a = 1，M 0，n R证法一：令M二am，那么m = log a M，所以证法二：loga M n =logalogaMn=loga am =logaamn 二 mn 二 nlogaM。alogaM n =loga anlogaM =nlogaM。应用举例:例 2:求值：(E8) Ig2+lg5 ； (E9) log3 72 3log 3 2 ; (E10) Ig14 2lg ?+lg 7 Ig18 ;3(E11) lg 2lg 50 lg25 ;解：(E8) lg2 lg5 = lg 2 5 =

7、lg10 J ;(E9) Iog3 72-3log32 =log3 72 Iog3 2=log3 72 2 =log39 = 2 ;/L、7(7(E10) log5142log5-+log57log518 =log5 14 江一 I x7xi8 |=log51=03L13丿注：把所有减法做成加法，把所有除法做成乘法。(E11) lg2lg 50 lg25 = lg 2 lg 2 52lg25 = lg2 lg2 2lg5 lg252 2 2=lg 2 2lg 2lg5 lg 5 = lg 2 lg5 1例 3: (E12)已知砸玄18二m , log a 2 n , a 0 且 a=1，求 l

8、og a 1.5。分析：质因数分解：18=2 32，24 =23 3，而1.5 =2 J 3，它们都由以2或3为 底的幕所“组成”。注意这里要解一元二次方程组。解：因为 loga18 =loga2 2log a3 =m(1)同理 loga 24 =3log a 2 loga 3 =n(2) 从上面两式解出loga2和loga3 ( m和n是已知量，把loga 2和loga3看作未知量) 2 1(2 )2-(1) :5loga2=2nm= loga2nm5531(1)3-(2 ):5loga3=3m-n =loga 3mn55所以 loga1.5 =loga 3 -loga 2 = 4 m -

9、3 n55自己动手:1 2(Q8 2log5 10 log 5 0.25 ； (Q9 lg_lg25 ； (Q10 lg22 lg 5lg 20 ； 4(Q11) lg2 5 2lg 2-lg22 ；(Q12已知lg2=a，lg3 =b，lg7=c，求下列各式的值：5(Q12.1) lg105 ； (Q12.2) lg75 ； (Q12.3) lg2.8 ； (Q12.4) lg6三：对数式连锁。(这个恒等式比较难，有兴趣的同学可以看一下)Byy（F7） log_： log-： = log 一 , :，:. 0,1 U 1,二，0。（类比：CL P CL证明：记n = log甘，应用（F6）与

10、（F2）,有log log -：二 n log - - log n =log ：. ogF =log ：.。（F7.1）扩展应用:： o,r,:三 i0,1 U 1, = , ：r 0log ：o ： i log：2 III log：njn log =log n1-2. .- K(F8.2 )取 c二e, gb二;In a1底数与真数互换之后的log ba(F8.3)取 c=b， loga b，即 logab logba=1，对数式与原对数式互为倒数；s*（F8.4） log rMs= logaM，a：0且a1，Ma0 , a r证明：用换底公式（F8），把底数换成a，得到logar M sa

11、iogaMsloga ar再应用（F6）二型0鱼M，结合起来便得到（F8.4）。r与（Fl），有匹Mloga a恒等式（F8.4）是恒等式（F6）的增强版本。,对数式的成为Iog4 9 ,（F8.5）对数式中，底数和真数同时进行同指数乘方（该指数非零）值不变loga M = logan M n， a0且 a1， M 0， n0这样底数a可以换成与之关系比较密切的an，例如log?3可以“扩充” 也可以“收缩”成为log、3，也可以“倒转”成为log! -，视乎需要使用。2 3（F8.6）多个对数式连乘积中，将所有真数以任意顺序重排，将所有底数以任意 顺序重排，得到新的对数式连乘积的值与原式相等

12、。这个公式写出来比较麻烦，下面用例子说明：如log34log56log78log910真数是：4,6,8,10，底数是：3,5,7,9，我们把真数随意重排：6,10,8,4，底数重排后：7,5,3,9，新的对数式 log7 6log 510log 3 8log 9 4log3 4log 5 6log 7 8log 910lg 4 lg 6 lg8 lg10 lg3 lg5 lg 7 lg9log 6log 10八 c, 4 lg6 lg10 lg8 lg 4 log 7 6log 510log 3 8log 9 4 -lg7 lg5 lg3 lg 9观察上面两式右边，分子和分母分别都只是顺序不

13、同而已，乘法交换律保证了两 对数式连乘积的相等。log 3 4log 5 6log 7 8log 910 = log 7 6log 510log 3 8log 9 4应用举例:111例 5： （E15）log2log?-log5-；（E16） log4 3 log8 3 log32 Iogg2。2589解:（E15）对数式的连乘，与对数式连锁有点相似，但稍微复杂，应用换底公式1 1 112 lg 2 lg3 lg5log 1 log1 log1lg25lg8lg9-2lg5 -3lg 2-2lg3log 2 log 3 log 512589lg 2Ig3Ig5另外，应用（F8.6 ），保持真数

14、顺序不变，底数2,3,5重排为：5,2,3，有111 111log2 25log3 8log5 9 log5 25log2 8log3 -21 i 3 i 2 = -12(E16)括号之内底数不同，不能直接相加，全部换成常用对数log4 3 log8 3 logs 2 log9 2 =YIg2 十 Ig2 1 丄 12lg2 392人丽+血lg3 lg32 3 Ig2 2 lg3 4例 6： （ E17）已知 log2 3 二 a，log3 7 二 b，试用 a， b 表示 log42 56 ；(E18)已知 log3 2 二 a， log5 2 二 b，试用 a， b 表示 log 30 9

15、0。解：（E17）解法一：全部换成常用对数Ig3a = log2 3Ig3 = a lg 2， b = log3Ig27 = =Tg 7 = b lg3 =Tg 7 二 ab lg 2 lg3(这样lg 3 , lg 7都可以用a , b , lg 2表出,代入后便可以达到消元的目的）叽56”*3lg 2 ablg23 abIg42 一 Ig2 Ig3 lg lg 2 alg 2 ablg 2 一 1 a ab解法二：事实上，如果把底数统一换成2或3的话，log23二a，log37二b两个式子中有一个不用变换底数，会比较方便,这里以3为例a - log2 3 二1 二 log32) alogs

16、 23 .1 + b log4256 二哑63log32 log37亠_log3 42Iog3 2 Iog3 3 Iog3 71 1ba 3 ab1 a ab（E18）题目条件给出的是log32二a，log52二b，般来说，把底数换成2，3或5都可以使问题简化，这里以2为例（事实上，把底数换成3或5运算量更少）。1 1 11a =log3 2log2 3， log 5 2log 2 5 =-“alog 2 5blog 2 3log 2 51 1log 90 log2 90 log 2 2 + 2log 2 3 + log 2 5a b a 十 2b + ablog 30 90 = log2 3

17、0log2 2+log23 + log251+a ba b ablog2 3)a b ab（或 log30 90 = 1 logs。3 = 121 atIog2 2 + log2 3 + log2 51+2+la b注：这里解题关键是注意观察，熟悉质因数分解和对数运算恒等式，以及选取适当的底数进行换底。1 1 1例7：（ E19）已知正数x,y,z满足：3x=4y=6z，求证：丄丄 1 ； z x 2y(E20)已知 logaX=2，logbX=3，logcX=6，求 log abcx 的值。（E19）证明：引入设而不求的未知数，令 3x =4y =6z =t，那么x = gt， y 二 lo

18、g4t， z 二 gt（观察上面三式，真数相同而底数不同，所以把底数统一换成 利用（F8.3），可得t将会方便运算）1logt 3 二一x11，logt 4， logt6 二一yz、1 1所以logt 6 - logt 3 = logtz x2 logt412y（E20）把底数统一换成x，由（F8.3 ）得1 1 g a工，g b匚，1 1logx1logabc x =logxabc logx a +logxb + logxc1 =1注：把出现频率较高的量作为底数是十分有效的。 自己动手：(Q15(Q17)例6 （E17）中通过把底数换成2求解;log8 9log 32; (Q16 log2l25 log4 25 log8 5 logs 2 log2s4 log12s8 ;(Q18)设 log18a， logs b，试用 a,b 表示 log36 45 ；1 1(Q19设3x =5y =75，求丄丄的值。2x y附录1.乘方表k0123456789102k124816326412825651210241111111111o上4