2014年考研数学一真题答案

1、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)下列曲线中有渐近线的是()(A) y x sin x/、1(C) y x sin x【答案】C【考点】函数图形的渐近线2(B)y x sin x21(D) y x sin x【解析】对于选项 A lim( x sin x) x不存在，因此没有水平渐近线,同理可知，选项 A没有铅直渐近线,而 lim x xx lim 一xsinx不存在，因此选项 A中的函数没有斜渐近线; x对于选项B和D,我们同理可知，对应的

2、函数没有渐近线;对于C选项，lim y 1 xx-1(x sin 一.1 , y,x,y x sin-.由于lim limx1,又x x x x x.1_ , 1八limsin - 0 .所以y x sin -存在斜渐近线 y x xxx.故选C.(2)设函数f(x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x,则在区间0,1内()(A)当 f (x) 0时，f (x) g(x)(B)当 f (x) 0时，f(x) g(x)(C)当 f (x) 0 时，f(x) g(x)(D)当 f (x) 0 时，f(x) g(x)【答案】D【考点】函数图形的凹凸性【解析】令 F(x) f(x)

3、g(x) f(x) f (0)(1 x) f(1)x有 F(0) F(1) 0, F (x) f (x) f (0) f(1), F (x) f (x)当f (x) 0时，F(x)在0,1上是凹的，所以F(x) 0,从而f(x) g(x).选D.(3)设f(x,y)是连续函数，则11 yody -2 f(x，y)dx(A)(B)dx0f (x, y)dy11 x0dx 0 f (x,y)dy01-x2dx f (x,y)dy1000dx f(x,y)dyIi x102d0cof(r8s ,加油10 f (r cos , r sin )dr12d0coT “re0s开立1d 0 f (r cos

4、 , r sin )rdr2【考点】交换累次积分的次序与坐标系的变换【解析】画出积分区域.11 y0dy 1y2f(x,y)dx01-x211 x1dx0f (x, y)dy+ 0dx 0 f(x, y)dy11或 02 d0cos sin f (r cos , r sin )rdr_d2f (r cos0,r sin)rdr .故选 D.2(x acosx bsinx) dx ,贝 12x 2axcosx 2bxsin x22a cos x 2absin xcosxb2 sin2 xdxr 222, 2.2 r ,x 2bxsin x a cos x b sin xdx2 x2 2bxsin

5、 x a2cos2 0,2.2x b sin xdx32(万2b2)22(a b4b)a2 (b2)24故当0,b2时,积分最小.故选A.(5)行列式(A)(C)(ad bc)2(B)(adbc)2(D)行列式展开定理1)1)41)31)2adbc(bcad)(6)设向量组2.(ad bc).故选B.2,3均为3维向量，则对任意常数1 k 3, 23线性无关是1, 2 ,3线性无关的()(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【考点】向量组的线性无关的充要条件1 0【解析】(1 k 3, 2 l 3) ( 1，2，3) 0 1k l1 0记 A (

6、1 k 3, 2 l 3),B( 1, 2, 3),C01k l若1, 2, 3线性无关，则r(A)r(BC) r(C) 2k 3, 2 l 3线性无关.由1 k 3, 2 l 3线性无关不一定能推出1, 2, 3线性无关如:1 , 2, 3线性1001= 0， 2= 1 ， 3= ， 1 k 3, 2 l 3线性无关，但此时000相关.故选A.(7)设随机事件 A与B相互独立，且 P(B) 0.5,P(A B) 0.3,则P(B A)()(A) 0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4【答案】B【考点】概率的基本公式【解析】P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A) 0.

7、5P(A) 0.5P(A) 0.3 P(A) 0.6.P(BA)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)0.5 0.5 0.6 0.2 .故选 B.(8)设连续型随机变量 X1,X2相互独立，且方差均存在，X1,X2的概率密度分别为 、1f(x), f2(x),随机变量丫1的概率密度为fy1(y) 2f(y) f2(y),随机变量1丫2 (X1 X2),则2(A)EYEY2,DY1DY2(B)EYEY2,DY1DY2(C)EYEY2, DY1DY2(D)EYEY2, DY1DY2【答案】D 【考点】统计量的数学期望 . 1【解析】Y2 (X1 X2), ey2 211E2(X1 X2) 2(

8、EX1 EX2),11DY D2(X1 X2) 4(DX1 DX2).1.y .1fMy)-f1(y)f2(y),EY1i(y)f2(y)dy2(EXex?)EY2.-2丫？-1 - 2- 2EY1，f(y) f2(y)dy 2(EX1EX2)，2212212DY EY2(EY)2-(EX12 EX；)4(EX1 EX2)21 2EX122EX2(EX1)2(EX2)22EX1EX2412 、1,、2,121f22-DX1DX2EX12EX22EX1EX241f22DX1 DX2 (EX1)2 (EX2)2 2EX1 EX2412-DX1 DX2 (EX1 EX2)2DY24EY EY2 ,D

9、Y1 DY2二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答理纸,指定位置上. 22 ,(9)曲面Z X (1 sin y) y (1 sin x)在点(1,0,1)处的切平面万程为【答案】2x y z 1 0【考点】曲面的切平面【解析】F (x, y, z) x2(1 sin y) y2(1 sin x) z22Fx 2x(1 sin y) cosx y , Fycosy x 2y(1 sinx), Fz1F 2 F1 F 11 x (1,0,1) j y (1,0,1),1 z (1,0,1)1曲面在点(1,0,1)处的切平面方程为2(x 1) ( 1)(y 0) ( 1)(z

10、 1) 0,即 2x y z 1 0(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f (x) 2(x 1),x 0,2,则f(7) 【考点】函数的周期性【解析】 由于 f(x) 2(x 1),x 0,2,所以 f(x) (x 1)2 C,x 0,2又f(x)是奇函数，f(0) 0,解得C 1f(x) (x 1)2 1,x 0,2Q f (x)是以4为周期的奇函数，故2f f(3) f( 1)f(1)(1 1)1 1(11)微分方程xy y(ln x In y)0满足条件y(1) e3的解为y【答案】y xe2x1【考点】变量可分离的微分方程【解析】xy y(ln x ln y) 0)lnx 0

11、x y令 u贝Uy ux, y u u x代入，得u u x u ln u 0即uu(ln u 1)x分离变量，得duu(ln u 1)d (In u 1) dxIn u 1 x两边积分得 In In u 1 In x C1,即 In u 1 Cx 即 In、1 Cx x代入初值条件y(1)e3,可得C 2,即In ? 1 2xx整理可得y xe2x 1.(12)设L是柱面x2 y2 1与平面y z 0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 。zdx ydzL【答案】兀【考点】斯托克斯公式【解析】由斯托克斯公式，得dydz dzdx dxdy?zdx ydzL其中Dxy(x,

12、 y) x2y2 1(13)设二次型 f(x1,x2,x3)围是【答案】2,2【考点】惯性指数、矩阵的特征值、【解法一】二次型对应的系数矩阵为:则 123 tr (A)故二次型的负惯性指数为【解法二】f (x1，x2, x3)2 乂2(x1 ax3 )2(x2若负惯性指数为1,dydz dzdx dydz dzdxDxyx； x2 2ax诙 4x2x3的负惯性指数为 1,则a的取值范配方法化二次型为标准形a2 O ,记特征值为2, 30 ,即特征值必有正有负，共特征值1负2正或1负1正1零;2 axix33种情况;a 2,22x3)2 (4 a4x2x32、 2)x32,2(14)设总体X的概

13、率密度为f(x,)2x丁, 0222 axi x3 a x32乂2224x2x3 a x32y2(4 a2)y32x 2 t,其中，其他是未知参数,X1，X2, ,Xn为来臼总体X的简单随机样本，若ncXi2是2的无偏估计，则【考点】5n统计量的数字特征【解析】根据题意，有nE(c Xi2)i 1nc E(Xi2)i 1ncE(X2)nc2nc 1 42 x3 2 4三、解答题:2 5nc 22 c5n1523小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限lim -x1x 2t2(et1) tdtx2 ln(1 1) x

14、【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则limx1x 21(t2(et 1) t)dtlimxx2 ln(1 1) x1x2(ex 1) xlimx1x 21(t2(et 1) t)dtlimx12/ xx (ex令1 xt lim e-4t 0 t2limt 0et 12t(16)(本题满分10分)设函数y f (x)由方程22xy +x y6 0确定,求f(x)的极值【考点】极值的必要条件【解析】对方程两边直接求导:- 23y y2x y 2xy2y 2xyy 0令y 0,得y 2x,或y 0 (舍去)将y 2x代入原方程得6x3 6 0 解得x 1 ,此时y 2.对式

15、两端再求导，得(3y2 2xy x2)y 2(3y x)(y)2 4(y x)y 2y 04 一 4将x 1, y 2, y 0代入上式，得 y 0,即f一099y f (x)在x 1处取极小值，极小值为f (1)2.(17)(本题满分10分) 设函数f (u)具有2阶连续导数，z f(e2xxx2 xf (e cosy) e 4 f(e cosy) e cosye即 f (ex cosy) 4f (excosy) excosy令 u excosy,则 f (u) 4 f (u) u特征方程r2 4 0r1 2, r22齐次方程通解为y Ge2” C?e 2u1 一 *1设牛寸斛yau b ,

16、代入方程得a ,b 0,特解y u44cosy)满足2-Z- (4z excosy)e2x,若 f(0) 0, f (0) 0,求 f(u)的表达式. y【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【解析】由z f (ex cosy),知 f (excosy) excosy , z f (ex cosy) ( ex sin y)xy2 zx 、 xxx 、 x2 f (e cosy) e cosy e cosy f (e cosy) e cosy, x2 zxxxxx .2 f (e cosy) ( e sin y) ( e sin y) f (e cosy) ( e cosy) y2

17、2由 一2 2 (4z excosy)e2x,代入得xy1原方程的通解为yGe2uC2e2u ；u,1由 f(0) 0, f(0) 0,得 Ci ,C211616【考点】级数敛散性的判别y f (u)1 2ue161 2u16(18)(本题满分10分) 设 为曲面z x2 y2(z 1)的上侧，计算曲面积分I (x 1)3dydz (y 1)3dzdx (z 1)dxdy【考点】高斯公式22【解析】因不封闭，添加辅助面1: x y 方向向上.z 16 (x 1)3dydz (y 1)3dzdx (z 1)dxdy1(3(x 1)2 3(y 1)2 1)dxdydz(3x2 6x 3 3y2 6

18、y 3 1)dxdydz_ 2_ 2122(3x 3y 7)dxdydz dz (3x 3y 7)dxdyD(z)12、z2dz d (3r 7)rdr 4000(其中 (6x 6y)dxdydz 0 ,因为积分区域关于 xoz, yoz对称，积分函数 f (x, y) 6x 6y分别是y,x的奇函数.)在曲面 1 , (x 1)3dydz (y 1)3dzdx (z 1)dxdy 01故 (x 1)3dydz (y 1)3dzdx (z 1)dxdy 4 -(19)(本题满分10分)设数列an, bn满足 0 an ,0 bn ,cosan an cosbn,且级数bn 收敛.22n 1证明

19、：lim an 0; n(II )证明：级数an收敛. n 1 bn【解析】证明：(I) cos anan cosbnan cosancosbnQ0 ancos ancosbn 00anbnbn收敛,1an收敛,1limnan0.(II)解法“ an1:bncosancosbn bn2sinnsinanbnQ 0 anbnan sin bn 2anbn 2,sinanbn2anbn2anbn2 albn an 422bn2 i an 2bn2bnbn收敛,an收敛. n 1 bn解法2：员cosbn1 cosbnbnbnbn1 cosbnbnlim n bn.1 cosbnlim7nb2n同阶

20、无穷小有相同的敛散性,，由nbn11 cosbn小小n收敛1bna收敛 n 1 bn(20)(本题满分11分)41 ,为3阶单位矩阵.(I)求方程组Ax 0的一个基础解系;(II)求满足 AB E的所有矩阵B.【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解【详解】对矩阵 ( AME ) 施以初等行变换12( AME )0123411103M1 0 0M0 1 0M0 0 11200100011000100015 M42M3M1 M22M13M1123131141613141I ) 方程组 Ax 0 的同解方程组为x1x41x22x424 ，即基础解系为x33x43x4x411x1X/

21、II ) Ax 0 的同解方程组为：x2x30x4x42122x4121，即通解为k13x41131x4010Ax01 的同解方程组为：00Ax 0 的同解方程组为：1x1x4616x22x43 ，即通解为23k2x33x44234x4x4010x1x4111x22x41 ，即通解为21k3x33x41331x4x4010k1 22k1 13k1 1 k1ki,k2,k3为任意常数(21)(本题满分11分)111001“一 111002,证明：n阶矩阵与相似1 1100 n【考点】矩阵的特征值、相似对角化0L010L02MO MM0L0n因为 r(A) 1 , r(B) 1所以A的特征值为:0

22、, n 什(A) nB的特征值为：120,n tr(B) n(II)求 EY关于A的0特征值，因为r(0E A) r( A) r(A) 1,0故有n 1个线性无关的特征向量，即A必可相似对角化于0n同理，关于 B的0特征值，因为r(0E B) r( B) r(B) 1,0故有n 1个线性无关的特征向量，即B必可相似对角化于0n由相似矩阵的传递性可知，A与B相似.(22)(本题满分11分) 1随机变量设随机变量X的概率分布为PX 1 PX 2-,在给定X i的条件下,Y服从均匀分布U(0,i)(i 1,2),求Y的分布函数FY(y);【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征(期望)【详解】(I) Fy(y) P(Y y)P(X 1)P(Y y X 1) P(X 2)P(Y y X 2)1 1-P(Y y X 1) -P(Y y X 2)当y 0时，FY(y) 0 . _. .1113当 0y1 时，FY (y)y- - y y22 24八，1111 y当1y2 时，FY (y) y2 2 22 4当y 2时，FY(y)03.4y综上：FY(y)1 y2 411 1 12 2y 00 y 11 y 2y 230 y 141_(II)随机变量Y的概率密度为fY(y) F Y(y)11 y 240 其他3 11 23 113EY - yfY(y)dy 4 0