1.4向量的向量积,向量的混合积

1、本节重点:21.4.1向量积 1.4 向量的向量积、向量的混合积1。向量的向量积及其运算律、坐标运算?向量的混合积及其运算律、坐标运算物理学中研究刚体转动问题时， T向量m,它的模等于这个力的大小|“力矩”是一重要概念；所谓一个力 /关于定点O的力矩，指的是与从O到这个力作用线所引垂直线段OH之积，它垂直于通过O与力作用线的平面，弁且向量OH ,f一组成一个右T标架 O ; OH , f,c T,mo但是，要获得力矩 m ,也可以不使用垂足Ho我们在f , m仍组成一个右手标架f作用线上任取一点T T T O； r , f, moRo女T图以r记向量OR。则m垂直于r , f。且/ ,由于OH

2、 = OR sin / ORH/ ORH = n Z ( r ,f )(或 /我们把由f | |T r T r ,OH | = | f | |?If | sin Z ( r ,141定义设积，它的方向与a , 叫外积)，记作r | sin (f)f得出m的方法推广到一般向量,就产生一种新的运算。b为两不共线非零向量，作一向量(或b垂直且a , b , c组成一个右手标架o ;c,其模等于aT T c,b之模与a, b夹角正弦之则c称为a, b的向量积T T c=a xT T系 1:| a x bT等于以TTbT Ta , b为邻边的平行四边形的面积。T T系2:两向量a , b共线充要条件为由

3、定义嗅x b = 0。推出向量积的运算规律。1.4.2定理向量积满足下述运算律b x a = (a x b)T T T T入 a x b = a x 入 b 6(a x b )证:(1)若a, b共线，则等式显然成立。今设T T及各自的模均未改变，故|bx a| = | a x bT Ta , b不共线，则当交换与b，因此a x b与b x a是共线向量，且按顺序T 标架o ; a, 从而得(2)不妨设b , a x b , o ; b , a , b x a 所以T T T T a x b = -( b x a)T T入工0且a, b不共线TTTTTTo又根据向量积定义,T T T T次序时

4、，a , b的夹角 Tb x a方向相反。当入0时，、.,T T入a与a同向，故入a x b与a x b同向，另一方面| 入a x b | = |=|a x b与b x a都同时垂直于aT Ta , b x a都分别构成右手TT又与入(a x b )同向，| | b | sin Z (入 a , b )T TT入 | | a | | b | sin Z (入 a b)T TT TT T二| 入 11a | | b | sin Z ( a , b) =| 入(a x b ) | ,T Tsin / (入 a, b)Tb | sin / (兀一/ ( a ,TT Tb | sin / ( a ,

5、b )Tb)|入（a x b） | ,T T T T因此入a x b 入（a x）类似可证a x （入b ）=入（a x b） 向量积对于加法也满足分配律，留后再证。142向量的混合积TTT143定义a , b的向量积与c的数量积TTT T证毕（a x b） c叫做a , b , c的混合积。记作(a , b , c)=因止匕入a x b =入（a x b）STTTTTTTT当入V 0时，入a与a反向，故 入a x b与a x b反向,但入（a x b），也与（a x b）反向，故入a xb与入（a x b）同向，另一方面T TTT| 入 a x b =1 入 a | | b |T一| 入1|

6、 a|T=1 人| | a | |T T（a x b） c混合积的几何意义由下面两个定理表述144定理 不共面向量a , b , c的混合积的绝对值等于以a , b , c为棱的平行六面的体积。它的符号，当a, b , c组成右手系时为正,当a, b, c组成左手系的为负。T T TT T T证：由于a , b , c不共面,把它归到共同的起点o，可以构成a , b , c为棱的平行六面体 （图1-26）它的底面是以a , b为邻边的平行四边形,面积S二|a x b |。它的高h。它的体积八二S ?h图 1-26由数量积定义T T TT T TT(a x b)? c =| a x b | c COS9 = S I c | COS9其中1 B是a x b和c的夹角.TTTT当0; a , b , c 成右手系时,0 寸(d b c) t (ad c) T_L(a b d) Td a b c(a b c) (a b c) (a b c)T T T T T 、T、)T、9、证明(a b) (c d) = b(a cd) -a(b cd) = c(a bd) -d(a b c)弁利用这个结果来计算(a b, c d, e