直线圆锥曲线有关向量的问题

1、直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点：1直线与圆锥曲线的公共点的情况直线： ax byc 0Bx( 或A y 2B y C 0)曲线： f ( x, y)Ax 2C 00（ 1）没有公共点方程组无解（ 2）一个公共点i) 相交A0ii ) 相切A0 ,0（ 3）两个公共点A 0,02连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：12 y1 y2AB1 k2 x1 x21k3以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4. 几何与向量综合时可能出现的向量内容（ 3）给出 , 等于已知是的中点;（ 5）

2、给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数, 等于已知三点共线.（ 6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（ 7） 给出 , 等于已知 , 即是直角 , 给出 , 等于已知是钝角 , 给出 , 等于已知是锐角。（ 9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（ 10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（ 11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（ 13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（ 16） 在中，给出 , 等于

3、已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题；4中点问题；5定比分点问题；6对称问题；7平行与垂直问题；8角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（ 1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（ 2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。例 1过点 P( x, y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A,B 两点，点 Q与点 P关于 y 轴对称， O为坐标原点，若uuuruu

4、ur 且 uuur uuur，则点 P 的轨迹方程是（D）BP2PAOQ?AB1A3 y2B3 y23x21(x0, y0)3x21(x0, y0)22C 323y21(x0, yD 323y21(x0, y0)x0)x22x22例 2 已知椭圆 C1： 4 y 1，椭圆 C2 以 C1的长轴为短轴，且与C1 有相同的离心率(1) 求椭圆 C2 的方程；(2) 设O为坐标原点，点，B分别在椭圆1 和2 上， 2 ，求直线AB的方程ACCOB OA22解： (1) 由已知可设椭圆2 的方程为 y2x 1(a2) ，Ca43a243y2x2其离心率为2，故a 2 ，则 a 4，故椭圆 C2 的方程

5、为 16 4 1.(2) 解法一： A，B两点的坐标分别记为( xA， yA) ，( xB， yB) ，A，B 不在 y 轴上，因此可设直线AB的方程由 OB 2OA及 (1) 知， O， A，B 三点共线且点为 y kx .将 ykx 代入x22 1中，得 (1 2) x24，所以 x242，y4kA1 4k4将 ykx 代入y2x22216， 1 中，得 (4 k ) x16421622所以 xB4 k2，又由 OB 2OA，得 xB 4xA，16 16即 4 k21 4k2，解得 k 1，故直线AB的方程为y x 或 y x.解法二： ，两点的坐标分别记为(xA，yA) ，(xB，B)

6、，A ByA，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB的方程由 OB 2OA及 (1) 知， O， A，B 三点共线且点为 y kx .x2222将 ykx 代入 4 y 1 中，得(1 4k) x 4，所以x242，由2，A1 4kOBOA216216k2得 xB 14 2， yB 1 4k2，k将 x22y2x24 k222， y 代入16 4 1 中，得 1 4k2 1，即 4 k 14k，BB解得 k 1，故直线AB的方程为 y x 或 y x.uuuruuur例 4 已知 A,B 为抛物线 x2=2py( p0) 上异于原点的两点，0 ，点 C坐标为（ 0，2p）OA OB（ 1）求证

7、： A,B,C 三点共线；2AMRuuuuruuurMBM （）且 OMAB0 试求点的轨迹方程。（ ）若（ 1）证明：设 A( x1, x12), B(x2, x22) ，2 p2 puuur uuur22由OA OB0 得 x1 x2x1x20, x1x24 p2 ，2 p 2 puuur2uuur22x1, x2x1 )又 Q AC ( x1, 2 px1 ), AB ( x22p2 px1x22x12(2 px12 ) ( x2x1 ) 0 ，2 p2puuuruuurAC / AB ，即 A,B,C 三点共线。uuuuruuur0及AMBM（R ）知 OM AB，（ 2）由（ 1）知

8、直线 AB过定点 C，又由 OMAB垂足为，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为Mx2+( y-p ) 2=p2( x 0， y 0) 。x 2y21的左、右焦点 .例 6设 F、F 分别是椭圆124uuuruuuur（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2 的最大值和最小值 ;（）设过定点M(0,2) 的直线 l与椭圆交于不同的两点A、B，且 AOB为锐角（其中 O为坐标原点），求直线l的斜率 k 的取值范围 .解：（）解法一：易知 a2, b1,c3，所以 F13,0, F23,0，设 Px, y ，uuur uuuurx2y23 x2x213x2则

9、PF1 PF23 x, y , 3 x, y13844因为 x2,2uuuruuuur，故当 x=0，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1PF2 有最小值 -2当 x=2，即点 P 为椭圆长轴端点时，uuuruuuur有最大值 1PFPF12解法二：易知 a2, b1,c3 ，所以 F13,0, F23,0，设 Px, y ，则uuur2uuuur 2uuuur 2uuuruuuuruuuruuuurcosF1PF2uuuruuuurPF1PF2F1F2PF1PF2PF1PF2PF1PF2uuuruuuur2 PF1PF212y222 12x2y2x3x3y3 （以下同解法一）2（）显然直线x0

10、不满足题设条件，可设直线l : ykx2, Ax1 , y2, Bx2 , y2，ykx21联立x2，消去 y ，整理得：k2x24kx 30y2144 x1x24k, x1x231k21k244由213 4k23 0 得： k334k4 k4或 k22又 00900uuuruuuruuur uuurA0BcosA0B0OA OB0 ， OA OB x1 x2y1 y20又 y1 y2kx12 kx22 k2 x1 x22k x1x243k28k 24k 21k 21k 21k214443k210 ，即 k 24k 21k 21442k2故由、得2k33k2或22 自我提升1、平面直角坐标系中

11、，O 为坐标原点，已知A（ 3， 1）， B（ -1 ， 3），若点C 满足，其中，且=1，则点C的轨迹方程为 ( D )OCOAOBRA 3+2-11=0B ( -1) 2+(y-2) 2=5 C 2x-y=0Dx+2y-5=0xyx2、已知 i ,j是 x,y轴正方向的单位向量，设a = ( x2)iyj ,b = ( x 2)iyj , 且满足 | a |+|b |=4.则点 P( x, y) 的轨迹是 .( C )A椭圆B双曲线C线段D射线y252012 许昌一模 设 F1、 F2 分别是双曲线 x2 9 1的左、右焦点若点P 在双曲，则 | )线上，且 PF PF 0PFPF| (1

12、212A2 2C 4 2D2 105D 解析 根据已知 PF1F2 是直角三角形，向量PF1 PF2 2PO，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出10，则 | |10.212|2|1 2|2PFPFPFPFPOF F6已知 A、 B 为抛物线 x2=2py (p0)上两点，直线AB 过焦点 F， A、 B 在准线上的射影分别为 C、 D，则y 轴上恒存在一点K，使得 KA ? KF0； CF ? DF0 ；存在实数 使得ADAO ；若线段AB中点 P 在在准线上的射影为T，有 FT ? AB0。中说法正确的为 _7. 已知椭圆 x2y21，过 P(1,0)作直线 l ，使得 l与该

13、椭圆交于A,B 两点， l与 y2uuuruuur轴的交点为 Q，且 AQPB ，求直线 l 的方程。解：直线 l过 P(1,0)，故可设方程为y=k( x- 1) ， 因为 uuuruuur，所以 AB的中点与 PQ的AQPB中点重合 .由得k2x22k2所以，又 xP+xQ=故2(1+2)-4+2(-1)=021xy21xAxB4k12k22yk( x1)4k 2得2 ，所求的直线方程为2。1 2k 21k2y2( x1)82012 瑞安质检x2y21( a2) 的右焦点为 F ，直线 l ：xa22a 2与设椭圆 M：a 212x 轴交于点 A，若 OF 2AF 0( 其中 O为坐标原点

14、 ) 11(1) 求椭圆 M的方程；(2) 设 P 是椭圆 M上的任意一点， EF为圆 N：x2 ( y 2) 21 的任意一条直径 ( E，F 为直径的两个端点 ) ，求 PE PF的最大值a2a2 2， 0) ，解： (1)由题设知， Aa2 2， 0 ，F1(2a222x2y22由1 21 0，得22 6. 所以椭圆的方程为aa 2 . 解得a62OFAFa 2M1.(2) 解法 1：设圆 N： x2 ( y 2) 2 1 的圆心为 N，222则 PEPF ( NE NP) (NFNP) ( NF NP) (NF NP) NP NF NP 1.22x 0y0设 (0，0) 是椭圆上一点，

15、则62 1，所以2 02(y0 2)2 2(y01) 2 12.P xyMNP x因为 y0 2，2 ，所以当 y0 2 1 时， NP 取得最大值12. 所以 PE PF的最大值为11.x2 x1 ，解法 2：设点 E( x1， y1) ， F( x2， y2) ， P( x0，y0) ，所以y2 4y1.可得PE PF ( x1 x0)( x2 x0) ( y1 y0)( y2 y0) ( x1 x0)( x1 x0) ( y1 y0)(4 y1 y0)22224 14y022y0 (x22y1) 010100 411 4xxyyyxyy因为点 E 在圆 N上，所以 x21 ( y1 2)

16、 21，即 x21 y21 4y1 3.22x0y0又因为点 P 在椭圆 M上，所以 6 2 1，22 2211.即 x0 6 3y0. 所以 PE PF 2y0 4y0 9 2( y0 1)因为 y 2，2 ，所以当 y 1 时， ( PE PF)min 11.00 9. 设椭圆 C： x2y 21(a b 0) 的左焦点为F，上顶点为 A，过点 A 作垂直于 AFa2b 2的直线交椭圆C 于另外一点 P，交 x 轴正半轴于点Q，且AP8 PQ5（ 1）求椭圆C 的离心率；（ 2）若过 A、 Q、 F 三点的圆恰好与直线l ：x 3y 5 0 相切，求椭圆 C 的方程 .解：设 Q（ x0， 0），由 F（ -c ， 0）A（ 0， b）知FA( ,),AQ(x0,)c bbFAAQ,cx0b20, x0b2c设 P( x1, y1 ),由 AP8PQ，得x