chap3电磁相互作用的基本规律

1、第三章第三章 电磁相互作用的基本规律电磁相互作用的基本规律一、一、coulomb定律和电场的散度定律和电场的散度1. 1. coulomb定律定律1q2q12r121212301214q qfrr 3.1 3.1 电磁现象的实验定律电磁现象的实验定律 和和maxwell方程组方程组0sve dsdv 电场散度方程电场散度方程00svve dsedvdv 因为因为0/e 2. 2. gauss定理和电场散度定理和电场散度(3.1.1b)(3.1.1a)回路回路l l上的电动势上的电动势ddt 通过曲面通过曲面s s的磁通量的磁通量:故 :又 lse dlandb ds lssdbe dlb ds

2、dsdtt 二、二、faraday电磁感应定律和电场的旋度电磁感应定律和电场的旋度1 1faraday电磁感应定律电磁感应定律()lsssedsdb de dlbsdtdst 可得电场的旋度方程bet (3.1.2b)随时间变化的磁场产生涡旋电场2 2电场的旋度电场的旋度(3.1.2a)三、电荷守恒定律sij ds 流进的电流强度vdqdidvdtdt 又vsddvj dsdt 所以(3.1.3a)vvsvddvdvdttj dsjdv 因为0jt 故电流连续性方程(3.1.3b)034( )( )vj rrb rdvr 四、biot-savant定律和磁场的散度1. 1. biot-sava

3、nt定律定律2. 静磁场的散度故0b(3.1.4b)3330( )( )( )j rrrrj rj rrrr 即即0vsbdvb ds 因为因为0sb ds (3.1.4a)0lsb dlj ds五、ampere环路定律和静磁场的旋度1. ampere环路定律0()lssb dlbdsj ds2. 静磁场的旋度(3.1.5a)故0b j(3.1.5b)六、真空中的六、真空中的maxwell方程组方程组1. 各实验定律的适用范围0010svlsslse dsdvbe dldstb dsb dlj ds 积分形式(3.1.1a)(3.1.2a)(3.1.4a)(3.1.5a)000ebetbb j

4、 微分形式考虑(3.1.5b)式1）稳恒情况0/t (3.1.1b)(3.1.2b)(3.1.4b)(3.1.5b)对 两边取散度0b j有左边0b右边0j公式成立2）非稳恒情况0/t 同样对 两边取散度0b j左边0b右边0 jt 公式不成立将gauss定理 代入0()djj取djjt 0e0dj et 得0dejt 故位移电流密度这样(3.1.5b)式改写成0000()debjj jt (3.1.5b)随时间变化的电场产生的涡旋磁场00000, beetebb jt 微分形式000010svlsslsse dsdvbe dldstb dseb dlj ds dst 积分形式一、介质的极化和

5、磁化1. 介质的极化01limivippv 极化强度七、介质中的七、介质中的maxwell方程组方程组ppvsvq dvp dspdv 极化电荷极化电流密度 ：pp 故pj故( )ppjp ttt ppjt (3.1.6)(3.1.7)2. 介质的磁化01limivimmv 磁化强度mmslsijdsm dlm ds有mjm 故磁化电流密度(3.1.8)00,be介质介质,e bbe,总场总场mppjj,二、介质中的maxwell方程组极化场极化场00,eee bbb 000010()fpfpmebetbebjjjt 1. 引进电位移矢量和磁场强度 01pfpep fd 故00fpe 得0de

6、p 定义电位移矢量第一式, pmpjjmt 第二式000fepbjmtt 0000()()fbmepjt 即0bhm fdhjt 定义磁场强度得0; ; .ffbdetdbhjt 2. 介质中的maxwell方程组(1.2.14-17)微分形式0fsvlssflssd ds dvbe dldstb dsdhdldsjdst 积分形式八、八、lorentz lorentz 力密度力密度电场力efqe 或力密度efedv 磁场力bfidlbjbdvvbdvlorentz力ebfffedvvbdv/ff dvevb介质中介质中maxwellmaxwell方程组的微分形式方程组的微分形式0 ffdbe

7、tbdhjt 0bba 可得可得: :0aet aet 为电磁场的矢势为电磁场的矢势; ;a为电磁场标势为电磁场标势 . .(/)i eeat 九、电磁场的矢势和标势九、电磁场的矢势和标势取取 为任意的标量场为任意的标量场( (时空函数时空函数),),作规范变换作规范变换的三个空间分量为电磁场的矢势的三个空间分量为电磁场的矢势a时间分量为电磁场标势时间分量为电磁场标势即即/caa /c 构造四维矢量场构造四维矢量场用用 表示电磁场不是唯一的表示电磁场不是唯一的, ,( , )r t ,a ,/aaat a a ?a 有有 /baabeatate 协变形式协变形式aaax 上式说明上式说明 和和

8、 描述同一电磁场描述同一电磁场. .(,)a ( , )a ()()选取选取 满足附加条件满足附加条件( , )a 0at lorentzlorentz规范规范说明说明:1.:1.总可以选取总可以选取 使使lorentzlorentz规范成立规范成立, ,( , )a 假定对于给定的假定对于给定的 ,lorentz,lorentz规范不成立规范不成立, ,( , )a 取取 满足下式满足下式 2222211avtvt 则由则由 ,/aaat 确定的确定的 满足满足l l规范规范,a 2.2.满足满足lorentzlorentz规范的规范的 不是唯一的不是唯一的. .( , )a ,/llaat

9、 只需只需 满足满足: :l 222210lvt 为使为使 满足满足lorentzlorentz规范规范coulomb coulomb 规范规范0a ()()选取选取 满足附加条件满足附加条件( , )a 说明说明:1.:1.总可以使总可以使coulombcoulomb规范成立规范成立; ;若若 不满足不满足coulombcoulomb规范，取规范，取 满足下式满足下式a即可即可,a 2a 2.2.满足满足coulombcoulomb规范的规范的 不是唯一的，取不是唯一的，取( , )a ,/ccaat 式中式中 满足满足: :c 20c 则由则由 ,/aaat 确定的确定的 满足满足c c规

10、范规范,a 自由点粒子自由点粒子的作用量的作用量21222001,/btp freeatsm cdsm cvc dt 与电磁场相互作用的作用量可用与电磁场相互作用的作用量可用 表示为表示为21intintbbtaatsea dxea dxl dt a 电荷为电荷为e e的点粒子的点粒子3.1 3.1 电磁相互作用的基本规律电磁相互作用的基本规律3.1.1 3.1.1 在电磁场中运动的带电粒子的作用量在电磁场中运动的带电粒子的作用量22201,/p freelm cvc int()leea v 可推出可推出21,tp freetldt lhvleevlppeav 2 .,in eq emcpmv

11、 (3.1.17)(3.1.17)外场中带电粒子的能量外场中带电粒子的能量 和动量和动量hp机械能量和动量机械能量和动量22201plm cvceea v /() 式中式中3.1.2 3.1.2 带电粒子在电磁场中的运动方程带电粒子在电磁场中的运动方程处于电磁场中处于电磁场中, ,该点粒子的作用量为该点粒子的作用量为2211,int,int()ttpp freep freepttssslldtl dt 得得()()()()dpeaea ve vavadt (22)(22)由由( (第二类第二类)lagrange)lagrange方程方程dlldtv (3.1.21)(3.1.21)23 .()

12、,(/),in eqeatba ()dpe evbfdt (3.1.23)(3.1.23)上式可化为上式可化为(3.1.24)(3.1.24):ee:evb 电场力电场力; ;磁场力磁场力对作用量对作用量 作粒子轨道运动变分作粒子轨道运动变分intbbaasea dxea dxa d x ints四维电磁场场强张量四维电磁场场强张量intbbaabbaadxse axeaax dde axef ux d 式中式中faa 四维电磁场场强张量四维电磁场场强张量对第二项求分步积分对第二项求分步积分, ,得得(3.1.26)(3.1.26)0000/xyzxzyyzxzyxececececbbfecb

13、becbb 利用利用(3.1.24)(3.1.24)可得可得(3.1.27)(3.1.27)二阶反二阶反对称张量对称张量练习：推导练习：推导(3.1.27)(3.1.27)式及其逆变形式式及其逆变形式faa 和混变形式和混变形式 faa 和混变形式和混变形式faa 对偶场强张量对偶场强张量：利用四阶全反对称赝张量：利用四阶全反对称赝张量f 1 2( / )ff 例例: :012332231 2( / )()xffffb 10123101230isiselse 的偶置换的偶置换的奇置换的奇置换01231 练习：推导练习：推导 及协变形式及协变形式f f 定义定义 00,intpp freebba

14、asssdum ueaxmef ux dd 固定固定a,ba,b点，即点，即0()()abxx 由最小作用量原理由最小作用量原理 和和 的任意性的任意性, ,得得0ps 0dumef ufd 带电粒子运动带电粒子运动方程四维形式方程四维形式此时对带电粒子作用量此时对带电粒子作用量 的变分为的变分为: :ps(3.1.28)(3.1.28)x (3.1.29)(3.1.29)零分量方程可化为零分量方程可化为0iiiindeeefve vee vcc dtcc 易验证上式的易验证上式的i i分量与分量与 等价等价. .(3.1.31)(3.1.31)/nde dtee vf v 3.2 3.2 电

15、磁场在外源作用下的运动规律电磁场在外源作用下的运动规律3.2.1 3.2.1 四维电流密度矢量及四维形式的连续性方程四维电流密度矢量及四维形式的连续性方程四维四维lorentzlorentz力力/n cfef uf (3.1.30)(3.1.30)()dpe evbfdt 定义四维电流密度矢量定义四维电流密度矢量cjj 连续性方程的四维形式为连续性方程的四维形式为0j (3.2.8)(3.2.8)3.2.2 3.2.2 电磁场的电磁场的lorentzlorentz不变量不变量2222(/)f ff fbec 4/ffe b c 标量标量赝标量赝标量电荷密度电荷密度( )x 电流密度电流密度(

16、)j x二者满足连续性方程二者满足连续性方程0( )j xt (3.2.4)(3.2.4)定义四维定义四维(lorentz)(lorentz)力密度：力密度：ffj 利用四维电流密度矢量的表达式利用四维电流密度矢量的表达式, ,可将上式写成可将上式写成20/fe v ce j cecfejb 0fff 3.2.3 3.2.3 四维力密度四维力密度真空中在外源下的真空中在外源下的maxwellmaxwell方程组方程组0201 bebjct 0/ebet 3.2.4 3.2.4 外源作用下电磁场的运动方程外源作用下电磁场的运动方程两个非齐次方程可写成两个非齐次方程可写成0fj 0orfj 是第一

17、式是第一式, ,0 是第四式是第四式1 2 3, , 两个齐次方程可写成两个齐次方程可写成0ff 是第三式是第三式, ,0 是第二式是第二式1 2 3, , 上式改写成上式改写成0f 这里这里0 1 2 3, , ,v 01 2 3 ,( , , )as v 0fff 是第三式是第三式1 2 3, ,v 取取共三项共三项分别为分别为: :0 2 31 3 00 1 2( , , );( , , );( , , ) 是第二式是第二式得得应用应用gaussgauss定理和定理和stokesstokes定理定理可将可将meqs改写成积分形式改写成积分形式00/slsse dqe dlb dtb d

18、(3.2.30)(3.2.30)0000lssedb dljdditt 式中式中3 ,vsqd xij d 000()ddsjdiii (3.2.30)(3.2.30)(3.2.30)(3.2.30)各式的意义：各式的意义：1.1.封闭曲面封闭曲面s s的电场强度通量等于的电场强度通量等于s s中的总电荷中的总电荷.(gauss.(gauss定理定理) )2.2.变化的磁通量产生电动势变化的磁通量产生电动势. (faraday. (faraday电磁感应定律电磁感应定律) )3.3.封闭曲面的磁通量等于零封闭曲面的磁通量等于零. (. (磁场的高斯定理磁场的高斯定理) )4.4.封闭曲线封闭曲

19、线c c的磁场环量等于以的磁场环量等于以c c为边界的曲面上的全电流为边界的曲面上的全电流. . ( (安培环路定律安培环路定律) )3.3 3.3 电磁场的能动张量定理电磁场的能动张量定理3.3.2 3.3.2 电磁场的能动张量电磁场的能动张量电磁场能量动量张量为电磁场能量动量张量为001 ( /)ttgj aj a 式中式中00114tg f fff (3.3.22)(3.3.22)(3.3.23)(3.3.23)将将 用电场强度用电场强度 和磁感应强度和磁感应强度 表出表出0t eb0tucgtcg (3.3.26)(3.3.26)式中式中0022000112tueb poyntingp

20、oynting矢量矢量能流密度能流密度动量流密度张量动量流密度张量000011iiittgcc 电磁场动量密度电磁场动量密度201sc gebeh 0001ijtuieebb 电磁场的电磁场的能动张量定理能动张量定理为：为：0tfjf (3.3.25)(3.3.25)0geb 积分形式积分形式3333 vsvvsvdd xj es dud xdtdd xfdgd xdt (3.3.34)(3.3.34)全空间全空间3333 ,e mme mmdududd xj ed xudtdtdtdgdgdd xfd xgdtdtdt (3.3.36)(3.3.36)(3.3.35)(3.3.35)三维形式

21、三维形式/ usj etgtf 动量定理动量定理能量定理能量定理(3.3.28)(3.3.28)(3.3.29)(3.3.29) 33,svvme mvds dd xj ed xudtduundt 33svvmfvddd xfd xgdtdggfdt 有限区域：由有限区域：由(3.3.34-35)(3.3.34-35)式式应力张量应力张量: (3.3.37)(3.3.37)(3.3.38)(3.3.38)3.5 3.5 介质中的介质中的maxwell方程方程3.5.1 3.5.1 介质中电荷的运动定律介质中电荷的运动定律3.5.2 3.5.2 静止介质中的静止介质中的maxwell方程方程3.

22、5.3 3.5.3 运动介质中的运动介质中的maxwell方程方程3.5.4 3.5.4 介质的电磁性质方程介质的电磁性质方程 3.5.1 3.5.1 介质中电荷的运动定律介质中电荷的运动定律一、介质的极化一、介质的极化: :极化机制极化机制: :极化强度极化强度( )/iip xpv 极化极化( (束缚束缚) )电荷电荷：从：从 面出去的正电荷为面出去的正电荷为d 1.1.无极分子无极分子: :有外电场有外电场: : 无极分子的位移极化无极分子的位移极化; ;有极分子的取向极化有极分子的取向极化d l(3.5.1)(3.5.1)0p 2.2.有极分子有极分子 0pel lepdqenl dp

23、 d 移入的电荷是移入的电荷是pdqp d 总的极化电荷是总的极化电荷是又又3ppvqd x 33pvsvd xdpd xp 因而极化电荷体密度因而极化电荷体密度pp 极化电荷面密度极化电荷面密度1212()pnpp /pnp ddp np psqdp 分界面面密度分界面面密度其中其中( )npp xnelv (3.5.5)(3.5.5)极化电流极化电流()pppdqpdijddtt pptdqt极化电流密度极化电流密度/pjpt (3.5.7)(3.5.7)积分形式为积分形式为/psidpt 由由(3.5.5)(3.5.5)和和(3.5.7)(3.5.7)得极化电荷体密度和极化电流满足得极化

24、电荷体密度和极化电流满足0/pptj 连续性方程连续性方程pppjtt 二、介质的磁化二、介质的磁化磁化机制：磁化机制：轨道磁矩轨道磁矩+ +自旋磁矩自旋磁矩=(=(分子分子) )磁偶极矩磁偶极矩()mia 分子环流分子环流ia磁化强度磁化强度/iimmv 磁化电流磁化电流强度强度: :mllinia dlnm dl 因为因为/mnmvnm a dl dl(3.5.11)(3.5.11)(3.5.11)(3.5.11)化为化为mlidl m bmjm 磁化电流密度磁化电流密度即即()mmlidl mdmdj 由上式知由上式知0mj 无源的无源的磁化电荷密度磁化电荷密度0m 极化和磁化产生的诱导

25、电荷密度为极化和磁化产生的诱导电荷密度为ipmp 诱导电流密度诱导电流密度ipmpjjjmt 其积分形式为其积分形式为ilpiddl mt 三、诱导电荷密度和诱导电流密度三、诱导电荷密度和诱导电流密度fpmfpfp 四、介质中自由电荷的传导四、介质中自由电荷的传导介质中总的电荷密度和电流密度为介质中总的电荷密度和电流密度为: :/fpmfjjjjjptm ,:ffj 自由电荷体密度和传导电流密度自由电荷体密度和传导电流密度. .连续性方程为连续性方程为0ffjjtt 3.5.2 3.5.2 静止介质中的静止介质中的maxwellmaxwell方程组方程组00201 ()/()ffepbetbe

26、pbjmctt (3.5.24)(3.5.24)0(/) 0() j 00 ,/dephbm 则则(3.5.24)(3.5.24)可化为可化为0 ffdbetbdhjt 引入电位移矢量引入电位移矢量 及磁场强度及磁场强度 ：dh3 ,ffffvsqd xidj 式中式中边值关系边值关系122112211221122100()()()() ffnddneenbbnhh (3.5.29)(3.5.29)11221221()ffsfd dsqd nsd n sqndd 证明12 n121 n2 n3.5.3 3.5.3 极化磁化张量极化磁化张量; ; 电磁感应张量电磁感应张量四维总电流密度四维总电流

27、密度 和传导电流密度和传导电流密度 分别满足：分别满足：tj fj 00,tfjj 诱导电流密度诱导电流密度(,/)itfjjjcpptm 121200 ,tte dle dlee 11220lsbbe dldse dle dldldhtt 121dldl 12 n2dldl 1212 0. .()i e nee dh同样满足同样满足0ij ij 四维形式可写成四维形式可写成ijcm 其中其中0000/xyzxzyyzxzyxppppmcmcmpmcmcpmcmc 故非齐次故非齐次m m方程方程( )( )可写为可写为00()ffcmj 为四维极化磁化张量为四维极化磁化张量0()fifjj 引

28、入电磁感应张量引入电磁感应张量0hfcm 其中其中0000000000000000000000/xyzxzyyzxzyxddddhhhdhhdhh 0fhj 非齐次非齐次m m方程写为方程写为齐次齐次m m方程仍为方程仍为0fff 3.5.4 3.5.4 介质的电磁性质方程介质的电磁性质方程为什么要引进本构关系,e d b h 共12个分量0 ffbebtdhjdt 六个独立方程需要六个方程本构关系本构关系 ( ,),( ,)dd e bhh e b 由介质电磁性质决定由介质电磁性质决定1.1.电磁场不太强，缓慢变化时，线性介质；电磁场不太强，缓慢变化时，线性介质；0000000011()()

29、()rrdepeeeeebhmhhh 0 ,pemh 0011 ,rrrr debh 各向同性介质各向同性介质2.2.高频电磁场，有高频电磁场，有0( , )( ,)ptet 00ietet exp() ( , )( )( , ) 色散关系色散关系 ( ),( ) 0000exp()exp()exp()eitiei t 故故3.3.低频下的各向异性介质：低频下的各向异性介质： ,pemb方向不一定相同方向不一定相同00,iijjiijjpemhpe mh , iijjiijjdebh , de bh 4.4.铁电，铁磁，强场：非线性关系铁电，铁磁，强场：非线性关系, ,不一定单值不一定单值ii

30、jjijkjkdee e 5.5.导电介质：导电介质：fje 各向同性线性介质各向同性线性介质, ,ohm定律定律 : :电导率电导率各向异性各向异性fiijjje fje 电导率张量电导率张量 6.6.运动介质：各向同性线性介质运动介质：各向同性线性介质同理同理, ,利用电磁感应张量利用电磁感应张量 和极化磁化张量和极化磁化张量 设设 系相对系相对 系的相对运动速度为系的相对运动速度为 ss v对场强张量对场强张量 作作lorentz变换变换( (沿沿 方向的特殊方向的特殊l l变换变换) )vf ff 可推得可推得22211()()()()eevbv v evvebbv v bcv h m

31、 可求得可求得 ， 的变换关系的变换关系,d hd h ,p mp m (3.5.54a)(3.5.54a)作代换作代换00 /,edbh 可推得可推得22211()()()()vhdev v dcvhhvdv v hv (3.5.54b)(3.5.54b)由由(3.5.54a)(3.5.54a)可得可得2/()(/)eeeevbbbbbve c (3.5.53)(3.5.53)当当 ，(3.5.53)(3.5.53)式可简化为式可简化为111122232232332332;();(/)();(/) eebbeevbbbveceevbbbvec xxvv e (3.5.53a)(3.5.53a

32、)在在 中中( (静止介质静止介质) )设介质以速度设介质以速度 整体运动整体运动, ,取为取为 系系;debh vs s 在在 中中( (运动介质运动介质) )，将，将(3.5.54a,b(3.5.54a,b）两式代入）两式代入s给出给出22/()/()dvh cevbbve chvd (3.5.72)(3.5.72)其协变形式为其协变形式为;rrh uf uf uh u 上式近似为上式近似为2211(/)(/)dec vhbhc ve (3.5.72)(3.5.72)的解为的解为222222111111()(/)()()(/)()rrrrecvhv v edhcvev v hb 6.6.一点电荷一点电荷q q以速度以速度v v沿沿x x轴运动轴运动, ,设电荷经过设电荷经过s s系系的坐标原点时刻为的坐标原点时刻为 求在此时刻求在此时刻s s系中的电磁场系中的电磁场. .0.t 由（由（3.5.35a)3.5.35a)的逆变换式可得在的逆变换式可得在s s系中的电磁场为系中的电磁场为解解: