考研数学理工类精选试题及解析：概率

1、精品文档（2011考研数学理工类精选试题及解析：概率第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设a, b, c为三个事件, 且_.解.= 0.970.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_.解. , 注意: = +所以; 3. 随机地向半圆为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为_.解. 假设落点(x, y)为二维随机变量, d为半圆. 则 , k为比例系数. 所以假设d1 = d中落点和原点连线与x轴夹角小于的区域 .4. 设

2、随机事件a, b及其和事件ab的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若表示b的对立事件, 则积事件的概率 = _.解. 0.4 + 0.30.6 = 0.1 .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是_.解. 假设a = 订日报, b = 订晚报, c = a + b.由已知 p(a) = 0.5, p(b) = 0.65, p(c) = 0.85.所以 p(ab) = p(a) + p(b)p(a + b) = 0.5 + 0.650.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二,

3、第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率_.解. 设ai事件表示第i台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 p(a1) = 0.9, p(a2) = 0.8, p(a3) = 0.7, =10.90.80.7=0.496.7. 电路由元件a与两个并联元件b, c串联而成, 若a, b, c损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是_.解. 假设事件a, b, c表示元件a, b, c完好.p(a) = 0.7, p(b) = 0.8, p(c) = 0.9. 事件线路完好

4、= a(b + c) = ab + ac. p(a(b + c) ) = p(ab + ac) = p(ab)+p(ac)p(abc) = p(a)p(b) + p(a)p(c)p(a)p(b)p(c) = 0.70.8 +0.70.90.70.80.9 = 0.686.所以 p(电路断路) = 10.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率_.解. 设x表示甲进球数, y表示乙进球数. p(甲比乙进球多) = p(x = 3, y = 2) +p(x = 3, y = 1) + p(x = 3, y = 0) + p(x

5、 = 2, y = 1) +p(x = 2, y = 0) + p(x = 1, y = 0) = p(x = 3)p(y = 2) +p(x = 3)p(y = 1) + p(x = 3)p(y = 0) + p(x = 2)p(y = 1) +p(x = 2)p(y = 0) + p(x = 1)p(y = 0) =+ = 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为, 则此密码被译出的概率_.解. 设a, b, c表示事件甲, 乙,

6、丙单独译出密码., 则.p(a + b + c) = p(a) + p(b) + p(c)p(ab)p(ac)p(bc) + p(abc) = p(a) + p(b) + p(c)p(a)p(b)p(a)p(c)p(b)p(c) + p(a)p(b)p(c) =.二单项选择题.1. 以a表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件为(a) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (b) “甲、乙产品均畅销”(c) “甲种产品滞销” (d) “甲产品滞销或乙产品畅销”解. (d)是答案.2. 设a, b, c是三个事件, 与事件a互斥的事件是(a) (b) (c) (d) 解. f, 所以(d)

7、是答案.3. 设a, b是任意二个事件, 则(a) p(ab)p(ab)p(a)p(b) (b) p(ab)p(ab)p(a)p(b)(c) p(ab)p(ba)p(a)p(b)p(ab) (d).解. p(a + b)p(ab)p(a)p(b) = (p(a) + p(b)p(ab)p(ab)p(a)p(b) =p(a)(p(b)p(ab) + p(ab)(p(b)p(ab) =(p(b)p(ab)(p(a)p(ab) =p(ba)p(ab) 0所以(b)是答案 .4. 事件a与b相互独立的充要条件为(a) a + b = w (b) p(ab) = p(a)p(b) (c) ab = f

8、(d) p(a + b) = p(a) + p(b)解. (b)是答案.5. 设a, b为二个事件, 且p(ab) = 0, 则(a) a, b 互斥 (b) ab是不可能事件 (c) ab未必是不可能事件 (d) p(a) = 0或p(b) = 0.解. 概率理论中 p(a) = 0不能推出a为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(c)是答案.6. 设a, b为任意二个事件, 且ab, p(b) 0, 则下列选项必然成立的是(a) p(a) p(a|b) (c) p(a) p(a|b)解. (当b = w时等式成立). (b)是答案.7. 已知 0 p(b) a) = _. p(x1 x

9、x2) = _.解. p(x a) = f(a) p(x = a) = p(x a)p(x a) = 1f(a) p(x1 x x2) = f(x2)f(x1)4. 设k在(0, 5)上服从均匀分布, 则有实根的概率为_.解. k的分布密度为 p有实根 = p = pk 1或k 2 =5. 已知(k = 1, 2, 3), x与y独立, 则a = _, b = _, 联合概率分布_, z = x + y的概率分布为_.解. . (x, y)的联合分布为 yx1 2 3 123ab z = x + y2 1 0 1 2 p24a 66a 251a 126a 72a ab = 216a, 6. 已

10、知(x, y)联合密度为 , 则c = _, y的边缘概率密度_.解. 所以 当 时 所以 7. 设平面区域d由曲线围成, 二维随机变量(x, y)在d上服从均匀分布, 则(x, y)关于x的边缘密度在x = 2处的值为_.解. d的面积 = . 所以二维随机变量(x, y)的密度为: 下面求x的边沿密度:当x e2时 当1 x e2时 , 所以.8. 若x1, x2, , xn是正态总体n(m, s2)的一组简单随机样本, 则服从_.解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布. , 所以 9. 如果(x, y)的联合分布用下列表格给出, (x, y)(1, 1) (1, 2) (1,

11、3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) p a b且x与y相互独立, 则a = _, b = _.解. yx1 2 3121/6 1/9 1/18 1/3 a b 两式相除得, 解得 , .10. 设(x, y)的联合分布律为 yx2 1 0 1 3 0 0 则 i. z = x + y的分布律 _. ii. v = xy的分布律_. iii. u= x2 + y2的分布律_.解. x + y3 2 1 3/2 1/2 1 3 p1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 xy1 0 1 3/2 5/2 3 5 p3/12 1/12 1/12 1/12 2/1

12、2 2/12 2/12 x2 + y215/4 3 11/4 2 1 5 7 p2/12 1/12 1/12 1/12 3/12 2/12 2/12二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量x的分布函数(a) , (b) (c) , (d) 解. (a)不满足f(+) = 1, 排除(a); (b)不满足单增, 排除(b); (d)不满足f(1/2 + 0) = f(1/2), 排除(d); (c)是答案.2. 是随机变量x的概率分布, 则l, c 一定满足(a) l 0 (b) c 0 (c) c l 0 (d) c 0, 且 l 0解. 因为, 所以c 0. 而k为偶数, 所以l可以

13、为负. 所以(b)是答案.3. xn(1, 1), 概率密度为j(x), 则(a) (b)(c) (d) 解. 因为e(x) = m = 1, 所以. (c)是答案.4. x, y相互独立, 且都服从区间0, 1上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(a) (x, y) (b) x + y (c) x2 (d) xy解. x , y . 所以(x, y) .所以(a)是答案.5. 设函数 则(a) f(x)是随机变量x的分布函数. (b) 不是分布函数.(c) 离散型分布函数. (d)连续型分布函数.解. 因为不满足f(1 + 0) = f(1), 所以f(x)不是分布函数,

14、 (b)是答案.6. 设x, y是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为, 则z = max(x, y)的分布函数是(a) = max (b) = max(c) = (d) 都不是解. .(c)是答案.7. 设x, y是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为, 则z = min(x, y)的分布函数是(a) = (b) = (c) = min (d) = 111解. (d)是答案.8. 设x的密度函数为, 而 则y = 2x的概率密度是(a) (b) (c) (d) 解. (b)是答案.9. 设随机变量(x, y)的联合分布函数为 , 则的分布密度是(a) (b) (c) (d) 解.

15、 是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(a), (b). , 所以(d)不是答案. (c)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算z的密度:当z 0时当z 0时 = , (c)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量x和 y分别服从正态分布n(0, 1)和n(1, 1), 则下列结论正确的是(a) px + y 0 = 1/2 (b) px + y 1 = 1/2 (c) pxy 0 = 1/2 (d) pxy 1 = 1/2解. 因为x和 y分别服从正态分布n(0, 1)和n(1, 1), 且x和 y相互独立, 所以 x + y n(1, 2),

16、 xy n(1, 2)于是px + y 1 = 1/2, (b)是答案.11. 设随机变量x服从指数分布, 则y = minx, 2的分布函数是(a) 是连续函数 (b) 至少有两个间断点 (c) 是阶梯函数 (d) 恰好有一个间断点解. 分布函数: 当y 2时 当0 y 2时 当y 0时 于是 只有y = 2一个间断点, (d)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数x的分布密度.解. 假设x表示所用子弹数. x = 1, 2, 3, 4, 5. p(x = i) = p(前i1次不中,

17、第i次命中) = , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 p(x = 5) = . 于是分布律为 x1 2 3 4 5 p0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00012. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数x的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设ai表示第i次取出正品(i = 1, 2, 3, )i

18、. 每次取出的产品不放回x1 2 3 4 p ii. 每次抽取后将原产品放回x1 2 k p , (k = 1, 2, )iii. 每次抽取后总以一个正品放回x1 2 3 4 p 3. 随机变量x的密度为 , 求: i. 常数c; ii. x落在内的概率.解. 4. 随机变量x分布密度为i. , ii. 求i., ii的分布函数f(x).解. i. 当x 1时 当1 x 1时 当x 1时 所以 ii. 当x 0时 当0 x 1时 当1 x 2时 当2 x时 所以 5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差x具有分布密度函数 , x +试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率; i

19、i. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为, x 0时当 f(x) = 0当 = 当 x 9p时 所以 密度 8. 已知x 服从参数 p = 0.6的01分布在x = 0, x = 1下, 关于y的条件分布分别为表1、表2所示 表1 表2 y 1 2 3 y 1 2 3 p(y|x = 0) p(y|x = 1) 求(x, y)的联合概率分布, 以及在y 1时, 关于x的条件分布.解. x的分布律为x0 1p0.4 0.6(x, y)的联合分布为 yx 1 2 3010.1 0.2 0.10.3 0.1 0.2 所以y的分布律为y1 2 3p0.4 0.3 0

20、.3所以 x|y 10 1p0.5 0.59. 设随机变量x与y相互独立, 并在区间0, 9上服从均匀分布, 求随机变量的分布密度.解. x , y 因为x, y相互独立, 所以(x, y)联合密度为 (x, y) , 当 z 0时 当 0 z 1时 y = xz (z 1)所以 d210. 设(x, y)的密度为 求: i., ii. 解. i. 当x 0 或 x 1时 当0 x 1时 所以 所以 所以 ii. 当y 0 或 y 1时 当0 y 1时 所以 所以 所以 第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量x与y相互独立, d(x) = 2, d(y) = 4, d(2xy)

21、 = _.解. d(2xy) = 4d(x) + d(y) = 122. 已知随机变量xn(3, 1), yn(2, 1 ), 且x与y相互独立, z = x2y + 7, 则z_.解. 因为z = x2y + 7, 所以z服从正态分布. e(z) = e(x)2e(y) + 7 = 0. d(z) = d(x2y + 7) = d(x) + 4d(y) = 1+4 = 5. 所以zn(0, 5)3. 投掷n枚骰子, 则出现点数之和的数学期望_.解. 假设xi表示第i颗骰子的点数(i = 1, 2, , n). 则 e(xi) = (i = 1, 2, , n)又设, 则4. 设离散型随机变量

22、x的取值是在两次独立试验中事件a发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知e(x) = 0.9, 则d(x) = _.解. , 所以e(x) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 d(x) = 2pq = 20.450.55 = 0.495.5. 设随机变量x在区间1, 2上服从均匀分布, 随机变量 , 则方差d(y) = _.解. x y的分布律为y1 0 1p2/3 0 1/3因为 于是 , , 6. 若随机变量x1, x2, x3相互独立, 且服从相同的两点分布, 则服从_分布, e(x) = _, d(x) = _.解. x服从b(3, 0.2

23、). 所以e(x) = 3p = 30.2= 0.6, d(x) = 3pq = 30.20.8 = 0.487. 设x和y是两个相互独立的随机变量, 且xn(0, 1), y在1, 1上服从均匀分布, 则= _.解. 因为x和y是两个相互独立的随机变量, 所以= 0.8. 设x和y是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为: , , 则e(xy) = _.解. 因为x和y是两个相互独立的随机变量, 所以e(xy) = e(x)e(y) = 49. 若随机变量x1, x2, x3相互独立, 其中x1在0, 6服从均匀分布, x2服从正态分布n(0, 22), x3服从参数l = 3的泊松分布

24、, 记y = x12x2 + 3x3, 则d(y) = _.解. =二. 单项选择题1. 设随机变量x和y独立同分布, 记u = xy, v = x + y, 则u和v必然(a) 不独立 (b) 独立 (c) 相关系数不为零 (d) 相关系数为零解. 因为x和y同分布, 所以e(u) = e(x)e(y) = 0, e(u)e(v) = 0. .所以 cov(x,y) = e(uv)e(u)e(v) = 0. (d)是答案.2. 已知x和y的联合分布如下表所示, 则有 yx0 1 20120.1 0.05 0.250 0.1 0.20.2 0.1 0(a) x与y不独立 (b) x与y独立 (

25、c) x与y不相关 (d) x与y彼此独立且相关解. p(x = 0) = 0.4, p(y = 0) = 0.3. 0.1 = p(x = 0, y= 0) p(x = 0)p(y = 0). (a)是答案.3. 设离散型随机变量x可能取值为: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, 且e(x) = 2.3, e(x2) = 5.9, 则x1, x2, x3所对应的概率为(a) p1 = 0.1, p2 = 0.2, p3 = 0.7 (b) p1 = 0.2, p2 = 0.3, p3 = 0.5(c) p1 = 0.3, p2 = 0.5, p3 = 0.2 (d) p1 = 0

26、.2, p2 = 0.5, p3 = 0.3解. 解得 p1 = 0.2, p2 = 0.3, p3 = 0.5. (b)是答案.4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望(a) 6 (b) 12 (c) 7.8 (d) 9解. 假设x表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. x的分布律为x6 9 12p 7/15 7/15 1/15. (c)是答案.5. 设随机变量x和y服从正态分布, xn(m, 42), yn(m, 52), 记p1 =px m4, p2 = py m + 5, 则(a) 对任何m, 都

27、有p1 = p2 (b) 对任何实数m, 都有p1 p2解. p1 = x m4 =p2 = y m + 5 =(其中f(x)为n(0, 1)的分布函数). 所以(a)是答案.6. 随机变量x = x + y 与h = xy不相关的充分必要条件为(a) e(x) = e(y) (b) e(x2)e2(x) = e(y2)e2(y)(c) e(x2) = e(y2) (d) e(x2) + e2(x) = e(y2) + e2(y)解. cov(x, h) = e(xh)e(x)e(h) e(xh) = e(x)e(h) = e(x)+e(y)e(x)e(y) = 所以(b)是答案.三. 计算题

28、1. 设x的分布律为, k = 0, 1, 2, , a 0, 试求e(x), d(x).解. 令 , 所以. 令 , 所以.2. 设随机变量x具有概率密度为 , 求e(x), d(x).解. 3. 设随机变量x和y的联合概率分布为(x, y)(0, 0)(0, 1)(1, 0)(1, 1)(2, 0)(2, 1)p(x=x, y=y)0.100.150.250.200.150.15求.解. 的分布律为sin p(x + y)/2 0 1 1p0.45 0.40 0.154. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显

29、示的时间相等, 以x表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. x的概率分布, ii. 解. 假设x为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数x 0 1 2 3p1/2 1/22 1/23 1/23 p(x = 0) = p第一个路口为红灯 = p(x = 1) = p第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯 = p(x = 0) = p第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯 = p(x = 0) = p第一, 二, 三路口为绿灯 = 5. 设(x, y)的分布密度 求.解. 6. 在长为l的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设x, y为线段上的两点. 则它们都服从0,

30、 l上的均匀分布, 且它们相互独立. x , y (x, y)的联合分布为 .又设z = |xy|, d1=(x, y): x y, 0 x, y l, d2=(x, y): x y, 0 x, y l 7. 设随机变量x的分布密度为, 求e(x), d(x).解. =+ =+所以 8. 设(x, y)的联合密度为 , 求e(x), d(y), r(x, y).解. , .9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万

31、元. 求一周内期望利润是多少?解. 假设x表示一周内发生故障的天数. 则xb(5, 0.8) , , 又设y为该企业的利润, y的分布律为y10 5 0 2p0.33 0.41 0.20 0.06 e(y) = 100.33 + 50.41 + 00.20 + (2)0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间t的概率密度、数学期望和方差.解. 假设x、y分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则x、y的密度函数如下: x、y相互独

32、立, 且 t = x + y. x、y的联合密度: 关于t的分布函数: 当 时 当 时 所以 所以t的概率密度: 所以 所以 第四章 大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设yn是n次伯努利试验中事件a出现的次数, p为a在每次试验中出现的概率, 则对任意 e 0, 有_.解. 12. 设随机变量x和y的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式p(|xy| 6) _.解. e(xy) = e(x)e(y) = 22 = 0 d(xy) = d(x) + d(y)= 1 + 420.512 = 3所以 二. 选择题1. 设随机变量相互独立, , 则根据列维

33、林德伯格(levy-lindberg)中心极限定理, 近似服从正态分布, 只要( a ) 有相同的数学期望 ( b ) 有相同的方差( c ) 服从同一指数分布 ( d ) 服从同一离散型分布解. 列维林德伯格(levy-lindberg)中心极限定理要求既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( a ) 、( b )、 ( d )都不是答案, ( c )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设x表示400台机器中发生故障的台数, 所以xb(400, 0.02)由

34、棣莫佛拉普拉斯定理: 所以 1f(2.5) = f(2.5) = 0.9938.2. 设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解. 假设x表示10000盏灯中开着的灯数, 所以xb(10000, 0.7)由棣莫佛拉普拉斯定理: 所以 f(4.36)f(4.36) = 2f(4.36)1 = 20.9999931 = 0.999.第五章 数理统计的基本概念一. 填空题1. 设x1, x2, , xn为来自总体n(0, s2), 且随机变量, 则常数c=_.解. n(0, ns2), 所以 .

35、2. 设x1, x2, x3, x4来自正态总体n(0, 22)的样本, 且, 则a = _, b = _时, y服从c2分布, 自由度为_.解. x12x2n(0, 20), 3x34x4n(0, 100) , ; . y为自由度2的c2分布.3. 设x1, x2, , xn来自总体c2(n)的分布, 则解. 因为x1, x2, , xn来自总体c2(n), 所以e(xi) = n, d(xi) = 2n (i = 1, 2, , n) 二. 单项选择题1. 设x1, x2, , xn为来自总体n(0, s2)的样本, 则样本二阶原点矩的方差为(a) s2 (b) (c) (d) 解. x1

36、, x2, , xn来自总体n(0, s2), 所以 . (c)是答案.2. 设x1, x2为来自正态总体n(m,s2)的样本, 则x1 + x2与x1x2必(a) 线性相关 (b) 不相关 (c) 相关但非线性相关 (d) 不独立解. 假设 y1 = x1 + x2, y2 = x1x2所以 e(y2) = e(x1)e(x2) = 0. cov(y1, y2) = e(y1y2)e(y1)e(y2) = e(.(b)是答案.3. 设x服从正态分布n(0, 22), 而x1, x2, , x15为来自总体x的简单随机样本, 则随机变量所服从的分布为(a) c2(15) (b) t(14) (

37、c) f(10, 5) (d) f(1, 1)解. , 所以 , 即 (c)是答案.三. 计算题1. 设x1, x2, , x10为总体n(0, 0.32)的一个样本, 求.解. 因为x1, x2, , x10为总体n(0, 0.32)的一个样本, 所以 2. 从一正态总体中抽取容量为10的一个样本, 若有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上, 试求总体的标准差.解. 因为总体x服从n(m, s2), 所以. 由 知 即 查表得 3. 设总体xn(72, 100), 为使样本均值大于70的概率不小于0.95 , 问样本容量至少应取多大?解. 假设样本容量为n, 则由 得 p(所以 .4. 设总体x服从n(m, 4), 样本(x1, x2, , xn)来自x, 为样本均值. 问样本容量至少应取多大才能使i. ii.