34 二次曲线的仿射特征

1、上页 下页 结束 4 二次曲线的仿射特征二次曲线的仿射特征 4.1 直线与二次曲线相交情况直线与二次曲线相交情况 4.2 中心中心4.3 渐近方向渐近方向4.4 抛物线的开口朝向抛物线的开口朝向4.5 直径与共轭直径与共轭4.6 圆锥曲线的切线圆锥曲线的切线上页 下页 结束 圆锥曲线包括圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线, 它们是它们是 二次曲线中最重要的部分二次曲线中最重要的部分. 圆锥曲线的圆锥曲线的仿射特征仿射特征是指是指与度量无关的几何与度量无关的几何特征特征, 如如椭圆和双曲线椭圆和双曲线都有都有对称中心对称中心, 双曲线双曲线有有渐近线渐近线, 抛物线抛物线有有开

2、口朝向开口朝向等等. 而二次曲线的而二次曲线的对称轴对称轴、顶点顶点不是不是仿射特征仿射特征, 对对称轴与垂直有关称轴与垂直有关, 顶点顶点则是则是二次曲线与对称轴二次曲线与对称轴的交点的交点.4 二次曲线的仿射特征二次曲线的仿射特征 上页 下页 结束 本节讨论如何本节讨论如何用方程的系数用方程的系数来研究来研究圆锥曲线的圆锥曲线的 仿射特征仿射特征, 方法方法是是考察直线与圆锥曲线的相交情考察直线与圆锥曲线的相交情况况. 如如双曲线双曲线, 它有它有一个对称中心一个对称中心和和两条渐近线两条渐近线, 凡是凡是经过对称中心的直线经过对称中心的直线如果和它相交如果和它相交, 则交点则交点有有两个

3、两个, 它们的它们的中点中点就是就是对称中心对称中心; 凡是凡是平行于渐平行于渐近线的直线不会和双曲线有两个交点近线的直线不会和双曲线有两个交点. 于是于是, 研究研究直线与双曲线的相交情况直线与双曲线的相交情况就可以决定出就可以决定出它的对称它的对称中心和渐近线的方向中心和渐近线的方向. 4 二次曲线的仿射特征二次曲线的仿射特征 上页 下页 结束 设二元二次多项式设二元二次多项式 F(x, y) 的矩阵为的矩阵为 , cbbbaabaa212221211211A记记 F1(x, y) = a11x + a12y + b1, F2(x, y) = a12x + a22y + b2, F3(x,

4、 y) = b1x + b2y + c, 4 二次曲线的仿射特征二次曲线的仿射特征 上页 下页 结束 11212221211211yxcbbbaabaayxyx F),( cybxbbyaxabyaxayx2122212112111= xF1(x, y) + yF2(x, y) + F3(x, y). 本节总假定在某个本节总假定在某个仿射坐标系仿射坐标系中中, 二次曲线二次曲线 的方程为的方程为 F(x, y) = 0.则则 4 二次曲线的仿射特征二次曲线的仿射特征 上页 下页 结束 4.1 直线与二次曲线相交直线与二次曲线相交 设平面直线设平面直线 l 过点过点M0(x0, y0), 方向向

5、量方向向量 u(m, n), . tnyytmxx00将其代入将其代入 的方程得的方程得 (3.15) (m, n) t2 +2mF1(x0, y0)+nF2(x0, y0)t +F(x0, y0) = 0.整理得整理得 则其参数方程为则其参数方程为a11 (x0+ tm)2 + 2a12 (x0+ tm) (y0+ tn) + a22 (y0+ tn)2 + 2b1 (x0+ tm) + 2b2 (y0+ tn) + c = 0 ,上页 下页 结束 情形情形1 当当 (m, n) 0 时时, (3.15) 是是 t 的的二次方程二次方程, 其判别式其判别式 若若 0, 则则 l 和和 有有两

6、个不同交点两个不同交点; 若若 = 0, 则则l 和和 有有两个重合交点两个重合交点; 若若 0, (3.18)无解无解, 即即 无无 渐近方向渐近方向. 当当 是是双曲型双曲型曲线时曲线时, I2 0, (3.18)有两不同解有两不同解, 即即 有两个不同的渐近方向有两个不同的渐近方向. 当当 是是抛物型抛物型曲线时曲线时, I2 = 0, (3.18)有一个解有一个解, 即即 有一个渐近方向有一个渐近方向. 此时此时(3.18)的唯一解为的唯一解为 m = a12/a11 , 因此向量因此向量 (a12, a11) 代表了其代表了其渐近方向渐近方向.(ii) 如果如果 a22 0, 可类似

7、于可类似于(i) 进行讨论进行讨论. 此时此时, 对于抛物型曲线对于抛物型曲线, (a22, a12) 代表其代表其渐近方向渐近方向.4.3 渐近方向渐近方向 上页 下页 结束 注注: (1) 若若 a11 0, a22 0, 则对于抛物型曲线则对于抛物型曲线, 由由 I2 = a11a22 a122 = 0 易见易见 a12 /a11 = a22 /a12, 于是于是 (a12, a11) 与与 (a22, a12) 都代表其都代表其渐近方向渐近方向.(iii) 如果如果 a11 = a22 = 0, 则则 a12 0, 此时此时 I2 0, 即即s 9时时, 没有没有渐近方向渐近方向;当当

8、I2 0, 即即s 9时时, 有有两个两个渐近方向渐近方向;当当I2 = 0, 即即s = 9时时, 有有一个一个渐近方向渐近方向: (3, 1) .4.2 中中 心心 上页 下页 结束 的的中心中心受不变量受不变量I2 和和 I3 的影响的影响, ,)(494223293233123 tttI当当I2 0, 即即s 9时时, 有有唯一中心唯一中心;当当I2 = 0, 即即s = 9时时, 若若I3 0, 即即t 9, 则则 为为无心曲线无心曲线 .若若I3 = 0, 即即t = 9, 则则 为为线心曲线线心曲线 .4.2 中中 心心 上页 下页 结束 例例2 设设M0 (x0, y0) 是是

9、二次曲线二次曲线F(x, y) = 0 的一个的一个 中心中心, 证明证明: I3 = I2 F(x0, y0) . 证明证明: F(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0,设设二次曲线的方程二次曲线的方程为为则则 F(x, y) = xF1(x, y) + yF2(x, y) + F3(x, y) . 若若I2= 0, 因二次曲线有中心因二次曲线有中心, 必有必有I3 = 0, 结论成立结论成立. 下设下设I2 0, 此时此时 F(x0, y0) = xF1(x0, y0) + yF2(x0, y0) + F3(x0, y0)

10、 = F3(x0, y0) = b1x0 + b2 y0 + c4.2 中中 心心 上页 下页 结束 又又M0 (x0, y0) 是是二次曲线二次曲线F(x, y) = 0 的的中心中心, 故故 002221211211byaxabyaxa根据克莱姆法则根据克莱姆法则,2212111022221210I Ibabayababx 4.2 中中 心心 上页 下页 结束 cbababababb221211122221211I 于是于是 I2F(x0, y0) = I2F3(x0, y0) = I2(b1x0 + b2 y0 + c) cbbbaabaa212221211211 = I3 . 4.2

11、中中 心心 上页 下页 结束 4.4 抛物线的开口方向抛物线的开口方向 抛物线抛物线的的开口朝向开口朝向是一个是一个向量方向向量方向, 它它平行于抛平行于抛 物线的对称轴物线的对称轴, 从而从而平行于抛物线的渐近方向平行于抛物线的渐近方向. 那么如何判断那么如何判断 (a12, a11) 与与 ( a12, a11) 哪一个哪一个代表代表抛物线抛物线的的开口朝向开口朝向(假定假定 a11 0 )? 或者当或者当 a11 = 0时时, (a22, a12) 与与 ( a22, a12) 哪一个代表哪一个代表抛抛 物线物线的的开口朝向开口朝向? 上页 下页 结束 引理引理 如果点如果点 M0(x0

12、, y0) 不在抛物线上不在抛物线上, 则则 M0 在抛物线的内部在抛物线的内部 I1F(x0, y0) 0. 证明证明: M0 在抛物线的在抛物线的内部内部 过过 M0, 方向为方向为非渐近方向非渐近方向u(m, n)的直线的直线 与抛物线的与抛物线的两个交点位于两个交点位于 M0 的两侧的两侧 (m, n) 0, (m, n)F(x0, y0) 0 I1F(x0, y0) 0 (对于对于抛物线抛物线, I2 = 0, 根据根据 命题命题3.4 的引理的引理, I1与与 (m, n) 同号同号).4.4 抛物线的开口方向抛物线的开口方向 上页 下页 结束 命题命题 3.7 (a12, a11

13、) 是是抛物线的开口朝向抛物线的开口朝向 I1(a12b1 a11b2) 0. 证明证明: 从从原点原点出发出发, 作作指向指向(a12, a11) 的射线的射线, 则则 此射线上的点的坐标为此射线上的点的坐标为(a12t , a11t) , t 0.于是于是(a12, a11) 是抛物线的开口朝向是抛物线的开口朝向 t 充分大时充分大时, I1F(a12t, a11t) 0. F(a12t, a11t) = (a12, a11)t2 + 2(a12b1 a11b2)t + c = 2(a12b1 a11b2)t + c 于是于是, t 充分大时充分大时, F(a12t, a11t) 和和 a

14、12b1 a11b2 同同 号号, 从而结论成立从而结论成立. 4.4 抛物线的开口方向抛物线的开口方向 上页 下页 结束 作作 业业P163. 习题习题3.41(3, 5), 6, 7. 上页 下页 结束 4.5 直径与共轭直径与共轭 直径直径 把曲线把曲线 上的上的两个点的连线段两个点的连线段称为称为 的一条弦的一条弦. 圆的直径圆的直径由由平行于同一方向的所有弦的中点的平行于同一方向的所有弦的中点的轨迹轨迹构成构成, 它和这个方向垂直它和这个方向垂直. 在椭圆、双曲线、抛物线上有没有类似的情在椭圆、双曲线、抛物线上有没有类似的情 形形? 怎样来描述怎样来描述? 下面来进行讨论下面来进行讨

15、论. 取定一个取定一个非零向量非零向量 u(m, n). 如果如果 M0(x0, y0)是是平行于平行于u(m, n)的某条弦的中点的某条弦的中点, 由由命题命题1的证明的证明 可知可知, 由点由点M0(x0, y0) 和向量和向量u(m, n)决定的直线决定的直线与与 的相交方程的相交方程(3.15)中中, 一次项系数为一次项系数为 0, 即即 mF1(x0, y0) + nF2(x0, y0) = 0, 上页 下页 结束 这说明这说明点点M0的坐标的坐标 (x0, y0) 满足方程满足方程 mF1(x, y) + nF2(x, y) = 0, 即即 (ma11+na12) x + (ma1

16、2+na22) y + (mb1 + nb2) = 0. 若若u不是抛物型曲线的渐近方向不是抛物型曲线的渐近方向, 则则ma11+na12, ma12+na22不都是不都是0, 于是上述方程的于是上述方程的图像图像是是一条直线一条直线, 记作记作 lu , 称为称为u 所代表的直线方向所代表的直线方向关于关于 的的共轭直径共轭直径, 简称简称直径直径.注注: 上述的上述的直径直径是一条是一条直线直线, 不同于通常的直径不同于通常的直径 概念概念. 显然显然, 如果如果 有中心有中心, 则则中心一定在每一条中心一定在每一条直径上直径上.(3.19) 4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束

17、 命题命题 3.7 如果如果 u(m, n) 不是不是 的渐近方向的渐近方向, 则则u lu (1) 平行于平行于 u 的每条弦的中点在的每条弦的中点在 lu 上上; 若若平行于平行于 u 的直线的直线和和 只有只有 一个交点一个交点 P, 则则P 在在 lu 上上.证明证明: (1) 上面已证上面已证. (2) 设设平行于平行于 u 的直线的直线 l 和和 只有一个交点只有一个交点P(x1, y1) , 则则l 就是就是P 和和u 决定的直线决定的直线, 它和它和 的相交方程为的相交方程为: (m, n) t2 +2mF1(x1, y1)+nF2(x1, y1)t +F(x1, y1) =

18、0,4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 从而从而 mF1(x1, y1) + nF2(x1, y1) = 0, 即即 P 在在 lu 上上. 因因P (x1, y1)在在 上上, F(x1, y1) = 0, 于是方程变为于是方程变为 (m, n) t2 +2mF1(x1, y1)+nF2(x1, y1) t = 0,又又直线直线 l 和和 只有只有一个交点一个交点, 故上方程有故上方程有唯一解唯一解: t = 0, 其解为其解为 t = 0 或或 ,),(),(),(nmyxnFyxmFt 1121112 注注: 易见易见, 若若 u 代表代表双曲线的渐近方向双曲线的渐近方向,

19、则则 lu 就就 是平行于是平行于 u 的那条渐近线的那条渐近线.4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 方向关于方向关于 的共轭的共轭 当当u(m, n)不是抛物型曲线的渐近方向不是抛物型曲线的渐近方向时时, u 有有共轭直径共轭直径 lu, m (ma11 + na12) + n (ma12 + na22) = 0, 即即 ,),(00 nmnmA 此等式对于此等式对于 u 和和 v 是是对称对称的的, 从而如果从而如果 v 也有共也有共 轭直径轭直径 lv , 则则 lv 平行于平行于 u, 因此这种情况我们称因此这种情况我们称 lu 和和 lv 为为一对互相共轭的共轭直径一对互

20、相共轭的共轭直径.设设非零向量非零向量v (m , n ) 平行于平行于lu, 则则4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 下面把下面把共轭的概念从代数上加以推广共轭的概念从代数上加以推广, 给出给出两个两个直线方向关于直线方向关于 共轭共轭的定义的定义. 在第五章中将会进在第五章中将会进一步看到它的意义一步看到它的意义.定义定义 3.3 对方程为对方程为 F(x, y) = 0 的二次曲线的二次曲线 , 如如 果两个非零向量果两个非零向量 u(m, n) 和和 v(m , n ) 满足满足 .),(00 nmnmA 则称由则称由 u 和和 v 分别代表的直线方向互相分别代表的直线方向

21、互相共轭共轭.4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 注注: (1) 定义并定义并没有没有要求要求 u 和和 v 不是不是二次曲线的二次曲线的渐近方向渐近方向. 对于对于双曲型曲线的渐近方向双曲型曲线的渐近方向, 只有一个只有一个共轭共轭 方向方向, 就是它就是它自己自己. 这是因为这是因为.),(00 nmnmA (3) 如果如果 u(m, n) 是抛物线的渐近方向是抛物线的渐近方向, 则则, 00 nmA因此任何方向都与它共轭因此任何方向都与它共轭. 4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 例例3 求二次曲线求二次曲线 4xy 5y2 + 2x + 6y + 1 = 0 的

22、的通过点通过点( 4, 2) 的直径和它的共轭直径的直径和它的共轭直径. 解解: F1(x, y) = 2y + 1, F2(x, y) = 2x 5y + 3, 设过点设过点( 4, 2) 的直径为的直径为 mF1(x, y) + nF2(x, y) = 0, 即即 m (2y + 1) + n (2x 5y + 3) = 0, 将点将点( 4, 2) 代入上方程解得代入上方程解得 m : n = 3 : 1, 于是取于是取 m = 3, n = 1, 得过得过点点( 4, 2) 的直径为的直径为 2x + y + 6 = 0. 4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 它的共轭直径的

23、方向它的共轭直径的方向 (m , n ) 应满足应满足 .),(),(05220130 nmnmnm A 即即 2m + n = 0, 解得解得 m : n = 1 : 2, 于是它于是它的共轭直径为的共轭直径为 即即 4x 12y + 5 = 0. (2y + 1) + 2 (2x 5y + 3) = 0, 4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 例例4 证明证明: 对于中心型曲线对于中心型曲线, 过中心且沿非渐近过中心且沿非渐近方向的直线都是它的直径方向的直线都是它的直径. 证明证明: 设设M0 (x0, y0) 是是中心型中心型二次曲线二次曲线F(x, y) = 0 的的中心中心

24、, u (m, n) 为为非渐近方向非渐近方向. 则过点则过点M0 (x0, y0) 且方向为且方向为u(m, n) 的直线方程为的直线方程为 ,nyymxx00 即即 nx my + (my0 nx0) = 0, 4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 而而u(m, n)的关于二次曲线的关于二次曲线F(x, y) = 0的的共轭直径共轭直径为为 mF1(x, y) + nF2(x, y) = 0, 即即 (ma11+na12) x + (ma12+na22) y + (mb1 + nb2) = 0,其方向为其方向为 ( ma12+na22 , (ma11+na12) ),于是该方向的

25、共轭直径为于是该方向的共轭直径为(ma12+na22) F1(x, y) (ma11+na12) F2(x, y) = 0, 即即 a11(ma12+na22) a12(ma11+na12) x+a12 (ma12+na22) a22(ma11+na12) y+b1(ma12+na22) b2(ma11+na12) = 0,4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 化简得化简得nI2x mI2y +m(b1a12 b2a11) + n(b1a22 b2a12) = 0,又又M0 (x0, y0) 是二次曲线是二次曲线F(x, y) = 0 的的中心中心, 于是上式变为于是上式变为 I2

26、(nx my + (my0 nx0) = 0,而曲线为中心型二次曲线而曲线为中心型二次曲线, I2 0,因此上方程即为因此上方程即为 nx my + (my0 nx0) = 0,这恰为过点这恰为过点M0 (x0, y0)方向为方向为u(m, n) 的直线方程的直线方程. 结论得证结论得证! 4.5 直径与共轭直径与共轭 上页 下页 结束 4.6 圆锥曲线的切线圆锥曲线的切线 定义定义: 直线直线 l 如果与二次曲线如果与二次曲线 有有两个重合的两个重合的交点交点或者或者 l 在在 上上, 则称则称 l 是是 的切线的切线, l 与与 的交的交 点点称为称为切点切点.设直线设直线 l 过点过点

27、M0(x0, y0), 平行于向量平行于向量 u(m, n), 则则 l 是圆锥曲线是圆锥曲线 的切线的切线 (m, n) 0, 且且 (m, n)F(x0, y0) = mF1(x0, y0) + nF2(x0, y0)2 . 下面分情况讨论圆锥曲线的切线的计算方法下面分情况讨论圆锥曲线的切线的计算方法. (3. 20) 注注: 对于对于圆锥曲线圆锥曲线, l 在在 上上的情况不会出现的情况不会出现. 上页 下页 结束 此时此时只需确定切线的方向向量只需确定切线的方向向量 u(m, n). 由于由于 F(x0, y0) = 0, 由由(3.20)得得 m, n 应满足应满足 mF1(x0,

28、y0) + nF2(x0, y0) = 0. 由于圆锥曲线的中心不在曲线上由于圆锥曲线的中心不在曲线上, M0 不是中心不是中心, 即即 F1(x0, y0) 和和 F2(x0, y0) 不全为零不全为零, 于是于是m : n = F2(x0, y0) : F1(x0, y0) . 此时此时 (m, n) 0, 否则过否则过 M0 平行于平行于 u(m, n) 的直的直 线在线在 上上, 对于圆锥曲线这是不可能的对于圆锥曲线这是不可能的. 从而切线从而切线 的方程为的方程为 求以求以 上的点上的点 M0(x0, y0) 为切点的切线为切点的切线. 4.6 圆锥曲线的切线圆锥曲线的切线 上页 下

29、页 结束 F1(x0, y0)(x x0) + F2(x0, y0)(y y0) = 0. 由于由于 M0 在在 上上, 有有 F1(x0, y0)x0 + F2(x0, y0)y0 + F3(x0, y0) = F(x0, y0) = 0.从而从而 F1(x0, y0)x0 F2(x0, y0)y0 = F3(x0, y0) . 于是过于是过 M0 的切线方程为的切线方程为 F1(x0, y0)x + F2(x0, y0)y + F3(x0, y0) = 0.即即 a11x0 x + a12(y0 x + x0y) + a22 y0y+ b1(x0+ x) + b2 (y0+ y) + c

30、= 0 ,4.6 圆锥曲线的切线圆锥曲线的切线 上页 下页 结束 求平行于一个非渐近方向求平行于一个非渐近方向的切线的切线. 设设 u(m, n) 表示非渐近方向表示非渐近方向, 求平行于求平行于 u 的切线的切线, 这时只用求出这时只用求出切点切点.利用上面的结果利用上面的结果, 切点满足切点满足 .),(),(),( 0021yxnyxmyxFFF即即切点是切点是 u 的共轭直径和的共轭直径和 的交点的交点. 4.6 圆锥曲线的切线圆锥曲线的切线 上页 下页 结束 求过求过 外的一点的切线外的一点的切线 设设 M0(x0, y0) 不在不在 上上, 这时需求出这时需求出切线方向切线方向或或

31、 切点切点.切线方向切线方向 u(m, n) 满足满足 (m, n)F(x0, y0) = mF1(x0, y0) + nF2(x0, y0)2 . (3.21) 这时需检验方程的两个可能解是否使得这时需检验方程的两个可能解是否使得 (m, n) 0, 即它即它不平行于渐近方向不平行于渐近方向.切线方向切线方向 u(m, n) 满足满足 (m, n)F(x0, y0) = mF1(x0, y0) + nF2(x0, y0)2 . 4.6 圆锥曲线的切线圆锥曲线的切线 上页 下页 结束 切点切点 M1 的坐标的坐标 (x1, y1) 满足满足 00101121011111)(,()(,(),(yyyxxxyxyxFFF方程组中的第二个方程方程组中的第二个方程 F1(x1, y1)(x0 x1) + F2(x1, y1)(y0 y1) = F1(x1, y1)x0 + F2(x1, y1)y0 F1(x1, y1)x1 + F2(x1, y1)y1 = F1(x1, y1)x0 + F2(x1, y1)y0 + F3(x1, y1) 4.6 圆锥曲线的切线圆锥曲线的切线 上页 下页 结束 于是方程组可改写为于是方程组可改写为 001130112011111),(),(),(),(yxyyxxyxyxFFFF例例5 求二次曲线求二次曲线 x2 x