恒成立问题和存在性问题——设计

1、启东市第一中学赛课学案启东市第一中学赛课学案 第第 1 页共页共 2 页页 恒成立问题和存在性问题恒成立问题和存在性问题 主备人：施建华主备人：施建华 审核人：李岳审核人：李岳 【学习目标学习目标】 1.会识别和转化恒成立问题和存在性问题；会识别和转化恒成立问题和存在性问题； 2.能灵活应用能灵活应用几种常用解法解决恒成立问题和存在性问题几种常用解法解决恒成立问题和存在性问题； 3.培养辨析问题、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想培养辨析问题、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想 【学习重点学习重点】 理解恒成立问题和存

2、在性问题的实质，有效掌握解决此类问题的基本技能理解恒成立问题和存在性问题的实质，有效掌握解决此类问题的基本技能 【学习难点学习难点】 如何通过如何通过识别主元，简化恒成立问题和存在性问题识别主元，简化恒成立问题和存在性问题 【学习过程学习过程】 一一 温故链接温故链接导引自学导引自学 已知函数已知函数 f（x）2ax4，若对，若对 x1，2，恒有，恒有 f（x）0， 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围 （本题展示同学们的各种做法）（本题展示同学们的各种做法） 方法一：分离变量法方法一：分离变量法 方法二：找最值的方法方法二：找最值的方法 方法三：数形结合法方法三：数形结合法 二二 交流质疑

3、交流质疑精讲点拨精讲点拨 【例【例 1】 对任意的对任意的 x1，2，x2（2a1）x30， 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围 分离变量分离变量可直接分离可直接分离 2a1 找寻最值找寻最值应该找最小值应该找最小值 数形结合数形结合只需两端点在只需两端点在 x 轴的上方轴的上方 本题教师板演规范解法本题教师板演规范解法 启东市第一中学赛课学案启东市第一中学赛课学案 第第 1 页共页共 2 页页 【变式【变式 1】若存在】若存在 x1，2，x2（2a1）x30， 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围 与例与例 1 的区别在哪里？的区别在哪里？ 命题可以转化为：命题可以转化为： x2（2a

4、1）x30 在在 x1，2上有解上有解 恒成立问题和有解问题的解法区别是什么恒成立问题和有解问题的解法区别是什么？ af(x)有解有解 af(x)min af(x)有解有解 af(x)max 本题展示学生规范解法本题展示学生规范解法 【变式【变式 2】若】若 f（x）x22ax，g（x）x3，若对任意的，若对任意的 x1，2， 都有都有 f（x）g（x） ，则实数） ，则实数 a 的取值范围是的取值范围是 原题等价于原题等价于x22axx3 对对任意的任意的 x1，2恒成立恒成立 化简可得化简可得x2（2a1）x30 对对任意的任意的 x1，2恒成立恒成立 以下同例以下同例 1 这类这类 f（

5、x）g（x）型的问题型的问题，称为称为“双函数单变量问题双函数单变量问题” 解决办法是构造解决办法是构造 h(x)f(x)g(x)，然后利用分离变量等方法求解，然后利用分离变量等方法求解. 函数函数 f（x）的图像的图像恒在函数恒在函数 g（x）图像的上方图像的上方 【变式【变式 3】若】若 f（x）2xa，g（x）x3，若对若对 x11，2， x22，3， 使得使得 f（x1）g（x2） ，求实数） ，求实数 a 的取值范围的取值范围 分析：分析： x11，2 x22，3 f（x1） g（x2） min f（1） g（2） 2a 1 a 3 总结总结： “双函数双变量问题”的解决方法是： “

6、双函数双变量问题”的解决方法是两边求最值两边求最值. 【学生活动】议一议，填一填，做一做！【学生活动】议一议，填一填，做一做！ 启东市第一中学赛课学案启东市第一中学赛课学案 第第 1 页共页共 2 页页 请同学们花请同学们花 58 分钟的时间，讨论一下前面的两条横线有几种填法，同时把每种填法的结果填写完成！分钟的时间，讨论一下前面的两条横线有几种填法，同时把每种填法的结果填写完成！ 若若 f（x）2xa，g（x）x3；若；若 x11，2， x22，3， 使得使得 f（x1）g（x2） ，则实数） ，则实数 a 的取值范围是的取值范围是 【例【例 2】已知】已知 f（x）x22xax，若对任意的

7、，若对任意的 x1，)，f（x）0 恒成立，恒成立，则则实数实数 a 的取值范围的取值范围是是 【变式【变式 4】已知已知 f（x） x22xax，x1，)；若对任；若对任 意的意的 a1，1，f（x）4 恒成立，求实数恒成立，求实数 x 的取值范围的取值范围 解析解析 1,1,( )4,af x 时恒成立224,1,)xxaxx即恒成立；恒成立； 由题知由题知：x22xa0 对对 a1，1恒成立，恒成立， 把把 g(a)a(x22x)看成看成 a 的一次函数，的一次函数， 则使则使 g(a)0 对对 a1，1恒成立的条件是恒成立的条件是 g(1)0g(1)0 x22x10 x22x10 x

8、21. 22(1)0210,( 1)0210gxxgxx 即1221.xx 解得或 又又1,21,xx 故所求故所求x的取值范围是的取值范围是(21,) 三三 当堂反馈当堂反馈拓展提升拓展提升 启东市第一中学赛课学案启东市第一中学赛课学案 第第 1 页共页共 2 页页 1.已知函数已知函数 f（x）x22ax4； 若若 x1，2，有，有 f(x)0，则实数，则实数 a 的取值范围是的取值范围是 ； 若若 x1，2，有，有 f(x)0，则实数，则实数 a 的取值范围是的取值范围是 ； 2.已知已知函数函数 f(x)x22xa，g(x)4x，若对任意的若对任意的 x1，)， 函数函数 f(x)的的

9、图像图像恒恒在在 g(x)的上方的上方，则则实数实数 a 的取值范围的取值范围是是 a2 a52 a1 本堂总结：本堂总结： 恒成立（存在性）问题的常用解法；恒成立（存在性）问题的常用解法； 双函数单变量问题的处理办法；双函数单变量问题的处理办法； 双函数双变量问题的处理办法；双函数双变量问题的处理办法； 多变量问题中的主次元问题的辨认。多变量问题中的主次元问题的辨认。 【例【例 1】 对任意的对任意的 x1，2，x2（2a1）x30，求，求实数实数 a 的取值范围的取值范围 【变式变式 4】 对任意的对任意的 a1，2， x2（2a1）x30，求实数，求实数 x 的取值范围的取值范围 方法一：分离变量法方法一：分离变量法