第一章实数集与函数

1、第一章实数集与函数序言数学分析的主要内容: 微积分 研究的对象: 函数(连续量) 什么是连续量? 初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除)两种体系的区别：初等数学主要是恒等变形技巧; 而数学分析则是用不等式来刻划等式(用极限的概念)学习方法的不同：初、高中： 从填鸭式 启发式， 以教师为主，强烈地依赖于教师。大学： 从启发式 个人自发，以学生本身为主，教师引导。 学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法，更主要的是，培养自己的积极思考问题、分析问题和解决问题的能力。 一、内容简介一、内容简介主要讲述实数系的连续性（戴德金意义下）、确界定义和确界存在定理。由于本章是

2、建立数学分析理论的基础，对于习惯于中学数学思维方式的大学新生来讲，会感到很抽象，学习的难度相对会大一些二、学习要求二、学习要求（1）了解数系的演变；（2）正确理解上、下确界的概念；（3）掌握实数连续性描述：确界存在定理三、学习的重点和难点三、学习的重点和难点 重点：确界存在定理，实数系的连续性的描述 难点：上、下确界的分析描述，实数系连续性的描述 一一 实数的引入实数的引入自然数自然数减法减法负整数负整数除法除法有理数有理数开方开方无理数无理数cqz无理数的引入：无理数的引入：1）无限小数）无限小数2）区间套理论）区间套理论3）分划法）分划法 4）有理数基本序列的等价类定义）有理数基本序列的等

3、价类定义nq第一节实数第一节实数 也可用有也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；限十进小数或无限十进循环小数来表示；1. 1. 实数的无限十进制表示实数的无限十进制表示 有理数可用分数形式有理数可用分数形式pq有理数和无理数统称为有理数和无理数统称为实数实数. . 而无限十进不循环小而无限十进不循环小数则称为数则称为无理数无理数. . （p p、q q为整数，为整数，q q00）表示，）表示，012.nxa a aa 09,ia1,2,0nin a 012.(1)999 9,nxa a aa 0 xa 规定规定 对于正有限小数（包括正整数）对于正有限小数（包括正整数）x ，当，当时，其中

4、时，其中而当而当为正整数时，为正整数时，记记 a0 为非负整数，为非负整数， 0(1).999 9,xa 例如例如 2.001 记为记为 2.000 999；对于负有限小；对于负有限小( (包括负数包括负数) ) y，则记则记则先将则先将 - -y 表示为无限小数，表示为无限小数， 再在所得无限小数之前加负号再在所得无限小数之前加负号. . 例如例如 -8 记为记为 -7.999 9； 又规定数又规定数 0 表示为表示为 0.0000.于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示. .例例1 1 1）证明）证明6不是有理数不是有理数2）证明）证明32

5、 是无理数是无理数二二 两个实数的比较两个实数的比较.)2 , 1(, 0 1,. 90 , 90), 2 , 1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中定义定义1 1 给定两个非负实数给定两个非负实数定义定义2 2 012.nxa a aa 为非负实数，称有理数为非负实数，称有理数 012.nnxa a aa 为实数为实数 x 的的 n 位不足近似位不足近似， 110nnnxx 称为称为 x 的的

6、n 位过剩近似位过剩近似， n = 0, 1, 2, 2, 。对于负实数对于负实数 012.,nxa a aa 其其 n 位不足近似与过位不足近似与过 剩近似分别规定为剩近似分别规定为 0121.10nnnxa a aa与与012.nnxa a aa 。 以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件. . 设设 而有理数而有理数 nx012.xxx 注注 不难看出，实数不难看出，实数 x 的不足近似的不足近似 xn 当当 n 增大时不减增大时不减, , 当当 n 增大时不增，增大时不增，即有即有 x0 x1 x2 ； 而过剩近似而过剩近似 0

7、12.nxa a aa 与与012.nyb b bb 命题命题 则则 xy 的等价条件是的等价条件是: : 存在非负整数存在非负整数 n 使得使得 为两个实数为两个实数, , ,nnxy 其中其中 xn表示表示 x 的的 n 位不足近似，位不足近似， nyyn表表 示示 的的位位过剩近似。过剩近似。 关于这个命题的证明，以及关于实数的四则运算法则的定关于这个命题的证明，以及关于实数的四则运算法则的定义，可参阅本书附录义，可参阅本书附录iiii第八节。第八节。 例例2 2 设设 x、y 为实数，为实数，x y . . 证明：存在有理数证明：存在有理数 r 满足满足x r y . .即有即有设设

8、三三 实数的性质实数的性质1 实数对四则运算的封闭性实数对四则运算的封闭性. 2 有序性有序性 .3 传递性传递性.4 具有阿基米德（）性，即对任具有阿基米德（）性，即对任 何何 ，若，若 , 则存在正整数则存在正整数 使得使得.archimedesrba ,0 abnbna 实数的稠密性，即任何两实数之间必有另实数的稠密性，即任何两实数之间必有另 一实数，且既有有理数，也有无理数一实数，且既有有理数，也有无理数. 实数与数轴上点一一对应实数与数轴上点一一对应. 例例3 3设设 ，证明：若对任何正数，证明：若对任何正数， 有，则有，则rba , baba 注注：为常数，不能为变数：为常数，不能为变数rba ,4 4对于任何对于任何a、br ，有如下的三角形不等式：有如下的三角形不等式： .ababab ;ahhah 实数实数 a 的绝对值定义、几何意