2007年全国初中数学联赛试题及答案详解

1、2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为1. 已知满足，则的值为 （ ）（A）1. （B）. （C）. （D）.【答】B.解 由得，所以，故选（B）.注：本题也可用特殊值法来判断.2当分别取值，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （

2、）（A）1. （B）1. （C）0. （D）2007.【答】C.解 因为，即当分别取值，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值，时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）.3. 设是的三边长，二次函数在时取最小值，则是 （ ）（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.【答】D.解 由题意可得即所以，因此，所以是直角三角形. 故选（D）.4. 已知锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（ ）AECBDOH（A）30. （B）45. （C）60. （D）75.【答】C.解 锐角的垂心在三角形内部，如图，设的外心为

3、，为的中点，的延长线交于点，连、，则/，/，则，所以30，60，所以60.故选（C）.5设是内任意一点，、的重心分别为、，则的值为 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.【答】A.解 分别延长、，与的三边、交于点、，由于、分别为、的重心，易知、分别为、的中点，所以.易证，且相似比为，所以.所以.故选（A）.6袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.【答】B.解 设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且，.因为，所以可取值2，3，4，5.当时，只有一种可能，即；当时，有2种可

4、能，或；当时，有3种可能，或或；当时，有4种可能，或或或.因此，共有123410种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为.故选（B）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设，是的小数部分，是的小数部分，则_1_.解 ，而，.又，而，.，.2. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=解 由根与系数的关系得，所以，则， .3. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_4_.ABCDEFGMN解 延长交于点，设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以.4 若和均为四

5、位数，且均为完全平方数，则整数的值是_17_.解 设，则，两式相减得，因为101是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以.第二试 （A）一、 （本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.由题意，即，即.由题意知，且上式对一切实数恒成立，所以2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共8页） 所以或 ABCDEFMNP二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延

6、长线于点，与交于点.证明：=.证明 设与交于点，/，,. 又/，,.,故 又=，PNFPMC，PNFPMC，NF/MC ANFEDM.又ME/BF，FANMED.ANFFANEDMMED，AFN=DME.三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得 因为是正整数，所以关于的方程 （1）的判别式，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 设（其中为非负整数），则，即.显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以

7、只可能或当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.第二试 （B）一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以；一元二次方程的两根分别为和，所以. 所以， （1）由题意知，且（1）式对一切实数恒成立，所以所以或二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页（共8页）三、（本题满分25分）设是正整数，

8、二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.解 联立方程组消去得，即，分解因式得 （1）显然是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为是正整数，所以关于的方程 （2）的判别式，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 设（其中为非负整数），则，即.显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.第二试 （C）一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.解 联立方程组消去得，即，分解因式得 （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于的一元二次方程 （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式应该是一个完全平方数，